1주: 정전기학 입문(Introduction and Basics of Electrostatics)/강의자료
W1.0 강의안내(Introduction)
W1.1 전기-자기 입문(Introduction to Electromagnetism)
W1.2 전기역학 방정식 입문(Introduction to Electrodynamics equation)
W1.Q 1주 평가문제
2주: 스칼라, 벡터 그리고 미분 연산자(Scalars, Vectors and the ∇ Operator)/강의자료
W2.1 스칼라와 벡터(Scalars and Vectors)/동영상/영문자막
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2주차 강의를 시작하기 전에 [수식이 잔뜩 나오긴 하지만 수학은 아니기에] 물리학의 관점에서 '이해'의 의미에 대해 얘기해보자.
물리학자(과학자)들이 어떤 문제를 다양한 관점에서 들여다 보는데 그에 맞는 도구를 활용한다. 물리현상에 대해 정확하게 분석하는 일은 아주 난해하며 단지 미분 방정식을 푼것으로 결론을 내릴 수 있는 물리 문제는 거의 없다. 상이한 방법으로 해를 찾는 노력을 통해 그 대상이 되는 계(system)를 더 잘 이해할 수 있는 유용한 단서를 구할 수 있을 것이다.
첫주의 강의에서 전기장과 자기장의 개념을 이해하기 위해 두가지 특성을 활용 했는데 플럭스(flux)와 순환(circulation)이다.
* 플럭스와 순환은 전기장과 자기장의 종속 개념이 아니다. 플럭스는 시간당 단위면적을 통과하는 물리량을 기술하는 방법이다. 순환은 폐구간내에서 조건(시간)에 따라 변화하는 양상을 묘사하는 수학이다. 변화양상을 분석하기 위해 미분을 동원하고 단면을 통과하는 물리량의 직각성분을 위해 벡터연산과 면적분(surface integral), 선적분(line integral)이라는 도구들이 동원되었다. 물리현상인 전기장과 자기장의 특성을 이런 수학적 개념을 활용하여 기술하였다. 나중에 설명 되겠지만 맥스웰 방정식도 분석하는 관점에 따라 여러가지 다른 수학적 도구들이 사용된다.
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수학 문제의 풀이보다 먼저 수학 도구가 어떤 의미를 갖는지 이해하고 이를 다시 물리 현상에 적용될 수 있을지 고민해보기로 하자. 수학의 이해가 깊을 수록 물리학이 쉬워진다. 물리는 보이지 않는 현상을 수학으로 묘사하기 때문이다. 변화양상의 기술에 특화된 미분 방정식(differential equation)은 물리법칙을 표현하기에 아주 적절하며 거의 유일한 방법이라고 하겠다. 이 수학을 모르면 문제를 기술조차 하지 못한다.
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먼저 벡터를 살펴보자. 벡터는 다른 수학과목에서 이미 다 배웠을 것이다. 벡터의 연산중 곱셈은 두가지 종류가 있다. 벡터(vector)는 크기(magnitude)와 방향(direction)을 갖는다. 곱셈 방법(multiplication)도 값만 얻는 곱셈(scalar/dot product)이 있고 방향도 함께 취급하는 곱셈(vector/cross product)이 있다.
- 벡터의 스칼라 곱(scalar/dot product)는 다음과 같다. 값만 얻는 곱셈이다.
- 벡터의 벡터 곱(vector/cross product)는 다음과 같다. 값과 방향을 얻는 곱셈이다. 벡터 곱의 방향은 두 벡터가 이룬 평면에 수직이다.
그리고 벡터의 곱은 교환 법칙이 성립하지 않는다. 값은 같지만 방향이 다르다.
* 왼손 vs. 오른손 법칙. 너무나 헛갈리는 법칙이다. 감아쥐기 법칙과 펼치기 법칙으로 구분해 보자.
- 왼손 감아쥐기 법칙(Left hand grip rule): 전류 방향과 자기장의 순환
- 오른손 감아쥐기 법칙: 벡터 곱의 방향. 나사 돌리는 방향도 이에 일치한다.
두 벡터로 면을 표현한다. 따라서 벡터의 곱의 값은 면적(area)이며 이 면적 벡터의 방향은 면에 수직이다.
세개의 벡터를 가지고 벡터 곱과 스칼라곱의 연속은 결국 평행 사변형 입체의 체적(volume)이 된다. 먼저 두 벡터의 곱으로 면적을 구하고 나머지 벡터와 스칼라 곱으로 면적에 높이를 구한다.
* 고교 수능 '기하와 벡터' 과목에 여러가지 기발한 '공간도형' 문제들이 많다. 풀어보면 재미(?)있다.
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함수의 미분량, 거듭 편미분 연산자의 특성도 기억해 두자. 앞으로 자주 등장할 것이다.
- That is described in the 3 dimensional world by Cartesian numbers x, y, z, is equal to the linear combination of each increments along each axis. Which can be represented by the slope along that axis times the small change in that axis.
- For the second partial derivative, changing the order of two parameters like x and y will not influence the value of your second partial derivatives.
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장(field)는 연속된 값이 공간상에 분포된 것을 일컷는다. 장의 종류는 두가지다.
스칼라 장(Scalar field), 각 위치마다 값을 보유한다. 같은 값을 가진 연속된 점들의 가상 등고선을 그릴 수 있다.
벡터 장(Vector field), 각 지점마다 변화하는 흐름(방향)을 기술한다.
두 장을 단적으로 표현하면 다음과 같다.
The field is a set of values which describe the system. The scalar field have just quantities. The vector field also has magnitude and direction. So if you look at this velocity map on the turning cylinder you can see how fast each point is moving and which direction each point is moving.
스칼라 장과 벡터 장이 별개의 것이 아니며 서로 연관되어 있다. 예를들어 기상도에서 온도 분포도와 온도 변화도를 보자. 분포표는 스칼라장, 변화도는 벡터장이다.
Like in the case of temperature field, it's a scalar field, but based on that scalar field, by looking at the gradient of the temperature, we can build up the heat flow vector field. So you can see sometimes you can correlate the scalar and vector fields.
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전자기 장의 의미가 매우 추상적이므로 공간에 분포한 온도와 열의 흐름에 비유하여 설명해 보기로 한다.
Let's first define heat flow vector, h, this is a small letter h, which points in the direction of flow, as you can see in this picture, and has a magnitude equal to the amount of thermal energy that passes per unit time and per unit area. So that's the flux in transport.
Through an infinitesimal surface element at right angles to the direction of flow. So the equation here tells you the h factor has the direction of e_f, which is the unit vector of the flow, f stands for flow.
And the magnitude is ΔJ over Δa, where ΔJ is the flux, the amount of thermal energy that passes per unit time, and Δa will be the unit area. And e_f is a unit vector in the direction of flow.
So, if we do some mathematical manipulation, ΔJ over Δa_2, if you look at these two surfaces. That has some relationship of angle as described here is tilted then you see ΔJ will not change but delta a will change.
ΔJ over Δa_2 will be ΔJ over Δa_1 times cos(θ) and we can use the dot product, where the h heat flow vector and n it's the surface normal vector,
So the heat flow per unit time and per unit areas through any surface element Whose unit normal is n will be given by h.n.
When they are align in the same direction this will be maximize, when they have a perpendicular relationship it will be minimize.
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장(field)의 특징을 알아보기 전에 먼저 미분(derivatives)에 대해 공부해보자. 대학 수학 수업중에 테일러 급수(Taylor Series)를 배웠다.
이 급수는 아주 잘 알려졌 있는데, 어떤 함수라도 다항식으로 나타낼 수 있다는 것이다. 어떤 함수의 a=0일때 값을 알고 있다면, 이 함수를 n차 다항식으로 나타내면 다음과 같다.
다항식의 n 차항의 계수는 함수의 n차 미분계수다.
어떤 함수의 특정 위치에서 (예를 들어 0) 값 f(0)을 알고 고차 미분계수를 구할 수 있다면 그 지점에서 함수의 모든 값을 예측 할 수 있다. 이는 미분이 연속된 이웃값을 의미하기 때문에 가능하며 바로 미분의 중요한 특징이다. 고차 미분계수를 구할 수록 그 값의 정확도가 근접 하겠지만 천 두세항 만으로도 충분히 유효한 값을 얻을 수 있다.
* 미분의 '위대함(?)'을 보여주기 위해 테일러 급수를 보여주긴 했는데 굳이 벡터 설명에 필요 했을까?
앞서 예로 들었던 온도 분포를 위치에서 온도 변화, 기울기(gradient)를 구해보자. 세 공간 성분 중 하나로 미분한 ∂T/∂x 는 벡터가 아니다.
'벡터'는 '값'에 더하여 '방향'을 갖는다고 했다. 그리고 마치 좌표점 찍듯이 표기한다. 그리고는 좌표 무관(coordinates invariant)하다고 한다.
* '벡터'를 처음 배울 때 화살표가 등장한다. 그러더니 슬그머니 좌표점으로 나타내기 시작 하더니 한다. 왜 이러는 걸까? '값'과 '방향'을 동시에 표현하는 방법으로 죄표 '점'이 매우 유용하다. 직교 좌표계를 상정하고 그 좌표체계에 한점을 찍으면 원점으로부터 그 점까지 방향과 길이를 동시에 표현 할 수 있다. 삼각함수와 피타고라스 정리를 적용한다. 단, 벡터는 평행 이동 되어도 고유성이 변하지 않아야 한다. 따라서 '원점'이 이동 될 수 있고 이에따라 벡터의 평행 이동이 가능한 변환법이 존재 해야 한다.
두 벡터의 스칼라 곱은 스칼라다. (벡터 곱은 당연히 벡터다.) 벡터 A와 벡터 B의스칼라 곱이 S 였다고 하자. 임의의 세 값 {a, b, c}에 대하여 벡터 A의 성분 A_x, A_y, A_z와 스칼라 연산을 하여, (A_x)a + (A_y)b + (A_z)c = S가 나왔다면 a, b, c는 각각 벡터 B의 성분 B_x, B_y, B_z에 해당한다. 그런데 이를 벡터 '불변성(invariance)'의 예로 적절한 지 모르겠다.
* 고교 수학과정의 '벡터'에 관한 내용을 나름 요약해보면 다음과 같다. 벡터는 외부의 원점이 있는것이 아니라 벡터마다 스스로 시점 혹은 종점을 원점으로 삼고 나머지 한점을 좌표삼아 벡터라고 하자. 이 벡터의 전제는 저마다 직교 좌표계(직각 삼각형에 관한 수학을 모두 사용)를 쓴다. 이렇게 정의된 벡터는 평행이동이 자유롭다. 길이와 방향을 동시에 가지려니 벡처를 '좌표' 식으로 표현하려면 두개 이상의 요소가 있어야 한다. 벡터의 선형 연산(선형 이동 및 배율)이 허용 되므로 두개의 벡터로는 모든 평면을 기술 할 수 있다. 벡터 세개로는 모든 입체를 기술 할 수 있다. 대학과정에서는 벡터를 표현하는 좌표형삭의 요소에 미분 연산자가 들어가서 화살표 기울기의 변화 무쌍함을 나타내고 있다. 이 강좌에서도 이를 설명하기 위해 공간상에 퍼져나가는 열흐름을 비유하고 있다.
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위와 같은 편미분을 성분으로 갖는 벡터도 성립 하는지 보기로 하자. 먼저 다음과 같은 직교 좌표계(Cartesian coordinate system)에 매우 근접한 두 점 P1, P2 을 보자.\
이 직교 공간에 온도가 분포하는 스칼라 장(scalar field)라 하고 두 지점의 온도를 각각 T1과 T2라고 하자. 그럼 두 지점의 온도 차 ΔT는 T2-T1이다. 그리고 두지점 P1과 P2의 변위를 ΔR이라 하고 이를 벡터 형식으로 (세개의 성분 값) 나타내면 {Δx, Δy, Δz} 이 된다. 이때 T1, T2 그리고 ΔT는 모두 스칼라다. 하지만 두 점의 위치 P1, P2와 그 변위 ΔR은 좌표 값으로 나타내었다. 이는 모두 위치 벡터로 표현되었다는 점을 기억해 두자.
우리는 이미 벡터 미적분에서 벡터 함수의미소 변화 값 Δf(x,y,z)은 각 성분에 대한 편미분에 미소변위를 곱한 성분을 모두 더한 것(선형 결합)과 같다는 사실을 알고 있다.
이를 공간 위치에 따른 온도차에 적용해 보자. 공간에 온도 분포 함수는 T(x,y,z)이다.
벡터 ΔR의 성분 Δx, Δy, Δz과 온도의 공간분포 함수 T(x,y,z)에 대한 편미분의 곱의 선형 합이 스칼라 ΔT와 같으므로 벡터 불변성(invariance)의 법칙에 따라 다음이 성립한다.
Then, as you look into this equation, this is the operation of dot product between the relative position vector and the three numbers that I just wrote here. Will be dot product operations. So, we know delta R is vector, we know delta T's scalar, therefore, these three numbers constitute a vector. So that's the end of the proof.
* 온도분포는 스칼라지만 온도의 공간 축에대한 미분은 벡터다. 세 값(스칼라)이 벡터가 되려면 벡터 스칼라 곱의 '불변(invariance)'를 만족해야 한다.
So this might be a very easy and convenient way to prove that three numbers, whether three numbers constitute a vector or not. But another way we'll shortly discuss after thinking about the meaning of the equation, ΔT(x,y,z)=(∂T/∂x)∇x+(∂T/∂y)∇y+(∂T/∂z)∇z, that we just discussed.
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So del-T is called gradient of T or del-T, and mathematically is equal to round T over round x, round T over round y, round T over round z. Because it's a vector, you have a magnitude and direction. And we will think about what magnitude and direction of this vector mean.
This is the neat form to abbreviate what we just discussed, the change in delta temperature between those two positions will be the dot product between the del-T, the vector that we just proved to be a vector and relative position vector. Seeing this equation, now let's think about what the del-T really means.
So Melodie, from this equation what can we know about del-T?
>> The direction of the vector.
What is the direction of this vector?
>> The direction of the vector is the maximum point.
It's maximum uphill direction of temperature. So if you follow along this direction, which means delta R is aligned with del-T, then del-T will be maximized. If you follow perpendicular to the temperature change, the del-T, then there will be no temperature change.
So that will be the direction of the isotherm, iso-thermal line. So if the equation says that the difference in temperature between two nearby points is the dot product of the gradient of T and the vector displacement between the points.
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세 숫자가 벡터가 될 수 있을 요건에 대해 앞서 살펴봤다. 아울러 세 편미분 값으로도 벡터가 될 수 있음을 보였다. 다른 예를 가지고 다시 살펴보자. [앞으로 세 좌표축의 함수에 대한 편미분을 성분으로 벡터 표현이 자주 나올 것이다. 벡터화 하는 방법을 연습 해두자.]
공간상에 점 P가 있다. 직교 좌표계 (x, y, z)에서 이점의 위치는 P(x,y,z)다. 이 직교 좌표계를 θ 만큼 반시계 방향으로 회전 시켜놓은 좌표계 (x', y', z')에서 이 점을 표현해 보자.
[참고] 직교좌표계에서 회전변환 행렬: 직교 행렬의 예
이제 회전한 좌표계에서 온도의 변화(gradient)인 ∇T의 성분들(components)이 어떻게 변환되는지 보자.
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각도 θ 만큼 반시계방향으로 회전한 (x',y',z') 좌표계에서 ΔT를 구해보자. 아래의 그림에서 보는 것처럼 회전한 좌표계에서 P2는 x'와 y'의 두축으로 변화를 갖는다.
회전된 좌표계에서 ΔT(x',y',z')을 구하면 다음과 같다. 위치 P1에서 P2까지의 변위 벡터 ΔR'은 (Δx',Δy',0) 이므로 이를 온도 미분과 스칼라 곱 공식을 적용하였다.
두 좌표계에서 구한 온도변화(기울기)는 같아야 하므로, [ΔT(x,y,z)=ΔT(x',y',z')] 이는 좌표변환 공식이 온도 변화인 기울기 ∂T/∂x에도 그대로 적용됨을 알수 있다
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