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(연습 1.1) "단위(unit)" 혹은 "차원(dimension)"
(a) 미터(Meter) : 단위
(b) 전력 (Power) : 차원
(c) 초 (Second) : 단위
(d) 에너지 (Energy): 차원
(e) 전하 (Charge): 차원
(f) 킬로그램 (Kilogram): 단위
(g) 힘 (Force): 차원
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(연습 1.2) 경제개념의 "차원"
경제개념에서 [금액]과 [시간]을 각 단위에 대한 차원을 표기한 것으로 하자. 다음과 같은 경제 개념의 차원을 [금액] 과 [시간]의 차원으로 나타내보자.
(a) 빚(debt)
"빚"은 빌린 돈의 총액이다. 따라서,
(b) 재정적자(budget deficit)
"재정"이란 연간 예산의 의미이다. 따라서,
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(연습 1.3) 플랑크상수 h의 차원을 구해보자
플랑크 상수는 양자역학의 기본상수 중 하나라고 한다. 이 상수의 물리적의미는 각자 알아보기로 하자. 한줄로 요약하면, 진동수(주파수)를 가진 전자기파는 고유의 "에너지"량을 가지고 있다.
그런데 진동수(주파수)는 정수다. 진동수가 한개 높아지면 이 전자기파의 에너지도 한 계단 높아진다. 이 한 계단의 높이가 플랑크 상수만큼이다. 한 계단(한 단계, 한 칸, quantum;양자;양이 한개씩 한개씩)은 쪼개지지 않는다. 주파수는 시간당 파동의 갯수를 의미하는 차원으로 1, 2, 3, ...이렇게 정수(계단)이며 1.1...., 2.11....., 3.0001.... 따위의 무한히 쪼개지는 연속적인(비탈)이 아니다. 그렇다면 모든것이 연속이어야 하는 미적분 수학이 아닌 뭔가 새로운 수학이 있어야 할 것 같은 생각이 든다. 그래서 양자역학에 다른 수학적 방법이 동원되는가보다. 어쨌든 플랑크 상수의 차원을 구해보자.
질량이 있는 물체가 속도의 변화(가속도)를 일으키게 한 후 얼마나 이동 했는지 계량 한 것이 바로 일(work)이다. 에너지(Energy)는 그만한 일을 할 수 있는 능력치다. 에너지와 일은 동일하게 힘(Force)과 거리(S, Displacement)의 곱으로 정의된다.
힘의 차원은,
이제 플랑크 상수의 차원을 구해보자.
정리하면,
실제로 미터법 단위의 플랑크 상수값은,
플랑크 상수는 각운동량(angular momentum)의 뜀(quantum, 계단높이)으로 해석할 수 있다(뭔 소리야? 이쯤 해두자. 조만간 다룰 것이다.)
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(연습 1.4) 유량(flow)의 차원을 구해보자.
유량(flow)는 시간당 흐르는 유체의 체적(Volume) 이므로,
* 미분량은 차원에 포함된다.
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(연습 1.5) 속도 v 로 움직이는 물체가 반경 r의 원운동을 한다. 구심(또는 원심) 가속도의 차원을 구하라.
반경에 변화가 없고, 속도의 변화가 없어도 회전운동을 하는 경우 밖으로 쏠리는 신비함 힘이 생긴다. 바로 원심력이다. 물론, 질량을 가진 물체가 회전 운동을 하는 경우다. 이 "신비한" 원심력의 근원은 무엇인가? 뉴튼도 규명하지 못한 이 신비한 힘의 근원에 대한 의심이 상대론의 시작이다. "신비한" 원심 가속도 역시 선형 운동하는 가속도와 차원은 같다. 신비하든 아니든 "가속도"의 차원은 같아야 한다. 다만 그 가속도를 일으킨 원인이 다를 뿐이다.
원심 가속도는 반경 r 분의 속도 v의 제곱이다. 그런데 (거리) |r| 과 (속도) |v| 가 고정되어 있는데 가속도가 있다고? 도데체 이 가속도의 원인은 무엇인가? 바로 회전각도! 그런데 위의 식에 따르면 가속도 구할 때 각도의 고려 없이 r 과 v 만으로 계산하고 있다. 이상하지 않은가? 꼬리를 무슨 의심병이라니... 아무래도 이 신비한 힘을 해석하려면 이 각도를 참여시키는 해석법을 찾아봐야 겠다.
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(연습 1.6) 길거리로 나가보자. 20층 높이에서 떨어뜨린 동전이 지면에 충돌할 때 속도를 차원 해석 방법으로 구하라. 미분 방정식을 푼다거나 자유낙하 공식을 찾지말고 길거리 수학자가 되어 계산해 보자.
사건현장(?)부터 파악하자. 차원해석의 큰 잇점 이라면 주어진 값과 목표 값에 대한 차원을 모두 알고 있다는 것이다. 높이와 중력가속도의 차원을 잘 조합하여 속도의 차원을 구하면 된다.
길거리에서 암산하기 쉽게 중력 가속도 값을 10으로 근사했다. 대략 아파트의 층간 높이는 3미터다.
역시 길거리에서 암산으로 제곱근 구하기 쉽게 숫자를 6과 100의 곱으로 나눠 놓자. 100은 10의 제곱, 6은 대략 2의 제곱보다 크고 3의 제곱보다 작으므로 2.5로 잡자.
실제 미적분으로 풀어낸 충돌 속도는 다음과 같다. 처음에 정지해 있다가 자유낙하로 h 만큼 떨어진 물체의 속도다.
위의 자유낙하 속도는 초기조건이 정지 했었다는 것에 유의하자.
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먼저 차원해석을 해보자. 회전하며 생기는 "신비한" 힘의 원인인 원심가속도 역시 가속도다. 회전반경과 속도의 차원을 조합하여 가속도의 차원을 구해보자.
원심 가속도는 회전 반경 분에 속도의 제곱이다.
이렇게 생긴 원심 가속도는 중력가속도의 몇배에 해당하는가.
중력 가속도가 되었든, 원심 가속도가 되었든 모두 가속도다. 이것이 "등가의 원리"다. 질량으로 생긴 가속도나 운동으로 생긴 가속도나 다 똑같다. 장거리 우주여행을 하다보면 중력에 익숙한 지구인의 몸이 힘들어 한다. 무중력 상태에 오래 머물 수 없다. 동물은 몇달 정도 견딜 수 있다지만 식물은 무중력에서 어떨까?
가속도로 인공 중력을 만들어야 하는데 무작정 앞으로 내달릴 수 없으니 크게 원을 돌려 원심력으로 중력을 만들어낸다. 공상과학 영화에서 도넛 모양을 하는 회전체가 등장하는데 바로 인공 중력을 만드는 것이다.
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(연습 1.9) 지면에서 각도로 쏘아올린 포탄의 운동을 기술하여 보자.
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