아무나 하는 수학, 과학 & 라디오: W2.2 ∇ 연산자 활용(Applying the ∇ Operator)

[커세라] 전기역학: 기초편(Electrodynamics: An Introduction)

1주: 정전기학 입문(Introduction and Basics of Electrostatics)/강의자료
W1.0 강의안내(Introduction)
W1.1 전기-자기 입문(Introduction to Electromagnetism)
W1.2 전기역학 방정식 입문(Introduction to Electrodynamics equation)
W1.Q 1주 평가문제

2주: 스칼라, 벡터 그리고 미분 연산자(Scalars, Vectors and the ∇ Operator)/강의자료
W2.1 스칼라와 벡터(Scalars and Vectors)

W2.2 ∇ 연산자 활용(Applying the ∇ Operator)/동영상/영문자막

[W2.2-1]-----------------------------------------------------------------

[W2.2-2]----------------------------------------------------------------

∇ (del 또는 gradient라고 읽는다)은 스칼라 장을 대상으로 벡터화 하는 연산자다.

∇ 연산자 자체로서 의미없다. [피 연산자 없는 연산자는 그저 기호일 뿐이다.]

연산 대상(피연산자)가 반드시 뒤따라야 하는데 대부분의 벡터 대수의 대상(스칼라)이 피연산자로 가능 하다.

* 스칼라 장 T에 대해 벡터 연산자 ∇를 취한 ∇T는 벡터가 된다. 단 ∇가 마치 벡터처럼 취급 되지만 정확히는 벡터 연산자라는 점을 잊지말자.

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∇ 연산자의 활용. 다시 상기 하자면 ∇은 특이하게도 벡터처럼 행동하는 연산자다. 피 연산자로 스칼라와 벡터에 적용될 때 다른 결과를 낳는다.

벡터 연산자 ∇에 벡터를 곱하는 방법은 두가지가 있다. 이는 앞서 배웠던 벡터 사이의 곱으로 스칼라 곱(dot/scalar product)과 벡터 곱(cross/vector product)이다. 두 벡터의 스칼라 곱 결과는 스칼라 장(scalar field)이 된다. 좌표의 회전 변환에 대해서도 스칼라 곱은 같다. 따라서 ∇의 스칼라 곱은 스칼라 장이다. [모든 방향에 대해 직교 방향으로 흐르는 에너지 량은 같다.]

벡터 연산자 ∇의 피 연산자는 공간(직교 좌표계)에 분포된 물리량(장)이라고 간주하자. 그렇다고 세개의 변수를 갖는 함수가 모두 해당하는 것은 아니다. 반드시 세 변수의 관계는 직교(orthogonal)이어야 한다.

- 벡터 연산자의 스칼라 곱을 다이버전스(divergence)라 하며 한점에서 단위 영역을 직각으로 통과하는 에너지 량인 벡터 장의 플럭스(flux of vector field)다.
- 벡터 연산자의 벡터 곱을 컬(curl)이라고 하며 벡터 장의 한점에서 단위 영역을 회전하는 벡터 장(circulation of vector field)이다.

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벡터 형식(vector equation)으로 보는 맥스웰 방정식이다. 앞서 적분 형식(integral form)으로 봤던 것보다 간결하다.

Revisit Maxwell's equations in vector form. This is neater than the forms in the previous lectures using integration and this is a point function. So, you can plot it in a space by using these equations.
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The first equation is about the characteristic of E field; the flux of the electric field at a given point is equal to the excess charge density at the point of interest, divided by the permittivity(유전율) of vacuum(진공, 제로 에너지).

In most cases, as we discussed in spite of huge electric force, most of the time you will find the raw is equal to zero;electrical neutrality. But, at a very small scale as we'll discuss for the salt or lattices of small scale molecules, this will vary as a function of position. In that case you will be able to calculate the divergence of electric field.
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The second equation is about circulation of electric field, which depends on the change of magnetic field. Remembering the Lenz's law, where you have magnets underneath and shake the magnets up and down, changing the magnetic flux through this (wire) ring and making a alternating current. Change of magnetic flux in time, ∂B/∂t causes circulation of electric field.

Most of the time, electric field is a gradient function of electrostatic potential and a gradient of a scalar field has no rotation.
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The third equation is the characteristic of magnetic field which states there is no such a thing as magnetic mono-pole as we discussed. So, the divergence of B will always be zero, and this is always true, up to now.
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The fourth equation is about circulation of magnetic field and we know from the Benjamin Franklin's experiment, current carrying wire will have circulation of magnetic field and that is taken care of by this term,j/ε_0, where you have the current density at a given point.

Even for capacitor where there is no direct current, if there is a change of electric field, then it will also cause circulation of magnetic field, ∂E/∂t. Combining these two, we will learn that it will create electromagnetic wave.

전류가 흐르면(j/ε_0) 자기장이 형성된다는 것은 이미 전자석 실험으로 잘 알려졌다. 그런데 전류가 흐르지 않고 전기장의 변화(∂E/∂t)만으로도 자기장의 순환이 생긴다. 이로부터 전자기 파(electromagnetic wave)의 존재가 예견되었다.

[W2.2-5]----------------------------------------------------------------

델 연산자 ∇와 이를 적용한 새로운 관점의 맥스웰 방정식에 대해 배웠다. 델 연산자가 전기장과 자기장에 어떻게 적용될 수 있었는지 이해를 돕기 위해 열전달(heat flow)에 비유해 보기로 한다.

단열벽을 사이에 두고 양측의 온도가 T1<T2 일때, 양쪽의 온도가 같을 때까지 열이동이 이뤄지며 단위 시간당 벽을 통과하는 열 에너지 양 J는 벽의 두께 d에 반비례하고 면적 A에 비례한다. 이때 비례상수로 벽의 열전도율 k 가 곱해진다.

이번에는 온도가 공간에 분포한다고 하자(. 등온선(iso-thermal) 사이에 열 에너지가 이동할 것이다. 임의의 모양을 한 두 등온선(iso-thermal line) 사이를 작은 영역으로 나누고 위의 열 에너지 이동 식을 적용해보자. 이 미소 공간을 통과하는 열 에너지 량 ΔJ는 열이 이동 할 면적 Δa에 비례하고 거리 Δs에 반비례 한다. J는 단위 시간당 열 에너지 이동량이다. 이를 단위 시간 및 단위 면적당 이동하는 열 에너지로 바꿔보자. 즉 플럭스(flux)를 구해보기로 한다.

[W2.2-6]----------------------------------------------------------------

이제까지 스칼라 필드 혹은 벡터 필드에 일차 ∇ 연산을 다뤘는데 연속으로 적용될 경우를 살펴보기로 한다. 이차 미분으로 장의 특성에 대해 더 많은 특성을 알 수 있다. [고교수학 과정에서 일차 미분으로 접선의 기울기, 이차 미분으로 변곡점을 찾아 함수의 개형을 그려봤었다.]

이중 ∇ 연산자의 조합이 가능 하다. 이중 몇가지는 아주 특이하다. 연산자 ∇가 벡터는 아니지만 벡터 역활을 한다는 점에 유의하자. 이제 하나씩 살펴보기로 한다.

[W2.2-7]----------------------------------------------------------------

벡터 연산의 수학적의미로 이해 할 수 있으나 물리적으로 어떻게 이해할 수 있을까?

We learned that the cross-product of two vectors which have same direction is always zero. But mathematically you can understand that, maybe physically you may not able to understand why this is the case. The curl and the gradient of a scalar field will be always zero. But these are all mathematical proof. So, we want to understand this equation in different way, in physical sense.

If you think about this conceptually, a gradient is continuous. So, for example, if you have something in a loop like a staircase, and the staircase is continuously going up, it's impossible for this loop to be continuous. Actually, the staircase would look something like this, a spiral. That's why if you take the curl of the gradient it's zero because you can't physically realize this concept.

이 역시 벡터연산의 정의에 따라 수학적인 결론이지만 물리적으로 어떤 의미를 가질까?

So, if you can think of the divergence of something like a charge, for example. Here's to the right divergence of the field going out from the charge. However, if you have something circulating in a loop, there is no such divergence like that going from the loop and that's why it's zero.

If you have a circulation of a vector field at any point, you will have inflows and outflows that are matched to each other. So, there'll be no net accumulation or depletion of the field. Therefore, divergence will always be zero.

[W2.2-8]----------------------------------------------------------------

앞서 살펴봤던 두 개의 방정식으로부터 두개의 원리를 도출 해냈다.

첫번째 공식은,

컬A가 0이면, 기울기(gradient)가 벡터 A인 스칼라 장(scalar field) ψ이 반드시 존재한다.
"If the curl A is zero, then vector A is always the gradient of something(scalar field)."

이 법칙은 맥스웰의 두번째 방정식을 '정전기(electrostatic potential)'현상에 적용할 수 있다. 자기장의 변화가 없어도 정전기(electrostatic potential)가 존재할 수 있다. [자석을 운동시키지 않아도 발생하는 전기]

There is no change in magnetic flux as a function of time. Because of this equation, we can understand electric field will be a function of electrostatic potential, which match with this theorem.

두번째 공식은,

If you come across a vector field D for which divergence D is zero, then you can conclude that D is the curl of some vector field C.

[W2.2-9]----------------------------------------------------------------

이번에 살펴볼 ∇제곱 연산자는 보통 라플라시언(Laplacian)이라고 불린다. 라플라스 연산자(Laplace operator)는 나비에-스토크 공식(Navier Stokes theorems)등 매우 다양한 이공계 수학에 등장한다. 전기역학의 뽀와송 방정식(Poisson's equation)에도 쓰인다.

∇의 제곱으로 스칼라 연산자지만 벡터에 대해서도 적용된다.

라플라시언은 매우 복잡한 개념을 담고 있어서 이 연산이 무엇을 의미하는지 이해하기는 쉽지 않다. 그 예로서 픽의 확산법칙(Fick's Law of diffusion) 제 2법칙에 라플라시언이 적용된다.

Laplacian really means the curvature of your concentration in this space. The curvature of the concentrations of field will determine whether you will have out floor or inflow. Whether this will be the source of the atoms or sink of the atom. Laplacian in this way, you can visualize it as kind of a curvature field.

[W2.2-10]----------------------------------------------------------------