이번 동영상 강의는 텐서의 색인 올림(index raising)과 내림(lowering)에 대하여 다뤄본다.
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강의중 사용될 텐서 곱은 대개 교과서에서 보았던 원형십자(circled-times) ⊗ 와 기호없는 일반곱셈이 혼용되어 사용될 것이므로 주의하기 바란다.
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지금까지 강의를 봐왔다면 대문자 V와 대문자 V*의 의미를 알았을 것이다. V는 벡터가 속한 공간(vector space)이며 V*는 이중-기저(dual-basis)라고 하는 여벡터(covector)가 속한 공간이다. 벡터공간 V와 여벡터 공간 V*사이를 서로 대응 시킬 공식을 찾아보자. 즉, V의 원소인 벡터 v와 대응되는 V*의 원소인 여벡터 α 를 구하는 방법을 찾아보자는 것이다. [물론 그 반대의 경우도 성립되어야 한다.]
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[0:45] V와 V*의 대응관계를 찾는 첫번째 방법으로 V의 요소인 기저벡터(basis vector) e_i와 V*의 요소인 기저여벡터(basis covector) ε_i 간 관계를 구하는 것이다[기저벡터 e_i와 기저여벡터(basis covector) ε_i 는 등치될 수 있을까?]
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기저벡터와 기저여벡터의 예를 그림으로 표현하면 다음과 같다. 그림은 2차원 이지만 다차원으로 확장하여 일반화 할 수 있다. 이때 아래 첨자를 붙인다. [일단 두 기저는 서로 일대일 대응 하는 짝이 있다. 하지만 등치는 별개의 문제임.]
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임의의 벡터 v는 기저벡터 e_i 의 선형합(linear summation)으로 기술 될 수 있다. 여벡터 α 역시 기저여벡터 ε_i 의 선형합으로 확장시켜 표현된다. 기저벡터와 기저여벡터가 서로 대응되는 관계에 있으로 확장된 두 벡터와 여벡터는 등치 된다고 할 수 있을까? [기저에 계수를 곱한 선형 합은 결국 다항식의 꼴을 취한다(벡터 합). 기저벡터와 기저여벡터는 일대일 대응이므로 각 기저에 곱해진 계수의 관계를 알면 되겠다는 발상이다.]
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언뜻 보기에 이 접근 방법(기저벡터와 기저 여벡터의 선형합)이 타당해 보이긴 하지만 한가지 문제점이 있다. 그 이유로 (e_i 에서 ε_i로) 기저를 등치 시켰을 때 발생할 문제를 살펴보자.
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기저를 변경시켜보자. 일테면 e_i에 두배 키운 새 기저 e_i_tilde 를 설정 하려면 모든 기저축에 대해 같은 값을 곱한다. 이 변경을 순방향 변환이라 하고 변환행열로 나타 내면 대각 원소(diagonal element)가 같은 값을 넣고 다른 원소는 모두 0으로 둔다(Forward transform matrix). 역으로 변경된 기저벡터를 원래의 기저로 되돌리려면 대각 원소에 1/2을 곱한 역반향 변환 행렬(Backward transform matrix)을 적용한다.
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[2:00] 이때 주목해야 할 점은 기저벡터(basis vector)는 공변(covariant)하는 반면 기저여벡터(basis covector)는 반변(contravariant)한다는 점이다. 즉, 원 기저벡터에서 새 기저벡터로 변환 하기 위해 순방향 변환을 적용하지만 새 기저에서 원 기저로 변환 할 때는 역방향 변환을 적용한다. 이에 반해 원 기저여벡터에서 새 기저여벡터로의 변환은 역방향 변환행렬을 적용해야 한다.
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V와 V* 사이의 대응관계를 구하기 위해 기저벡터와 기저여벡터의 일대일 대응 관계로 구하고자 했던 발상은 타당 했던것 처럼 보이나 두 기저의 공변과 반변 특성이 있어 적용하기 어렵다. 기저벡터와 기저여벡터는 상호대응 관계에 있으나 변환은 서로 다른 값을 곱해 줘야 하므로 정역변환이 성립하지 않는다.
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[2:36] 이번에는 기저 관계는 사용하지 않고 다른방법으로 접근해보자. 벡터와 벡터공간에 속한 벡터 v 와 그에 대응하는 여벡터를 구해보자. 벡터 v에 또다른 벡터를 스칼라 곱(dot product)하여 여벡터를 구하는 시도다. 그러려면 두 벡터의 스칼라 곱이 여벡터공간 V*에 포함되야 하고 그 곱의 결과는 여벡터가 될까?
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결론적으로 말하면 그렇다. 두 벡터의 스칼라 곱의 결과는 숫자(scalar)가 되므로 '벡터 v⋅_' 를 벡터 공간에서 스칼라로 사상하는 함수라 하자. 입력은 벡터다. 하지만 벡터에서 스칼라로 사상하는 함수가 V*에 속한다고 할 수 있을까? 무엇보다도 이 함수가 선형성을 가져야 한다. 스칼라 곱의 특성을 활용하여 이 함수의 선형성을 규명해보자.
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먼저, 함수의 입력에 값을 곱하여 얻은 결과와 함수의 결과에 값을 곱하여 얻은 결과가 동일 해야 한다. 또한 두 입력의 합을 주어 얻은 함수의 결과와 각 입력을 주어 얻은 두 함수 결과를 더한 것이 같아야 한다. 스칼라 곱의 특성은 이를 만족한다. 따라서 벡터의 스칼라 곱은 스칼라를 출력하며 선형성을 만족하므로 여벡터 공간 V* 에 속한다.
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앞서 봤던 여벡터의 선형성과 벡터 스칼라 곱 함수의 선형성을 비교하면 다음과 같다.
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기저벡터와 기저여벡터로 V와 V*의 대응관계를 만들어 보려 했으나 성공하지 못했다. 기저벡터의 크기를 증가 시키면 오히며 기저 여벡터는 작아져야 한다(반변). 이에 반해 벡터의 스칼라 곱 함수, v⋅_ 는 벡터의 크기 증가(또는 감소)에 비례하여 함수 결과의 크기도 증가(또는 감소)하는 선형성을 따르므로 벡터의 스칼라 곱을 통해 V와 V*의 대응 관계를 갖는다고 할 수 있다.
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[5:24] 벡터 스칼라곱 함수, v⋅_ (v dot something)가 여벡터 공간 V* 에 포함 된다면[여벡터 공간의 일원이라면] 이 함수는 기저여벡터로 기술 될 수 있다는 뜻이다. 그렇다면 기저여벡터에 곱해질 계수 값은 어떻게 정할 수 있을까? [기저여벡터 ε_i 의 선형합으로 표현할 경우 계수 x_i 를 구하는 문제]
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먼저 벡터의 스칼라 곱을 알아보자. 두 벡터의 스칼라 곱은 측량텐서 g의 함수가 된다는 것을 이미 배웠다[참조: 9.측량텐서 / 10.쌍선형 형식 / 12.여벡터-여벡터의 짝]. 이 (함수로서)측량텐서를 계산하기 위해 측량텐서와 입력인 두 벡터를 선형확장해야 한다(expand as linear combination).
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기저 여벡터를 벡터에 분배한다. 측량텐서는 대칭성(symmetry)을 가지기 때문에 분배하는 순서에 무관하다.
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확장하고 분배하는 이유는 기존에 알고 있는 간략화 단순화를 적용하기 위함이다. 크로네커 델타(Kronecker delta)를 적용하고 크로네커 색인 소거(index cancellation)를 적용할 수 있다.
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[6:37] 이제 우리의 원래 문제였던 벡터 스칼라곱 함수, v⋅_ (v dot something)의 성분 x_i 를 구해보자. 두 벡터의 스칼라 곱을 측량 텐서 함수 전개에 적용한다. 결국 벡터v⋅_ 의 성분을 기저 여벡터 ε^i의 선형합에서 구할 수 있다.
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[크로네커 델타는 색인 소거의 결정적 도구]
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같은 방법으로 기타 어떤 기저여벡터에 대해서도 v⋅_ 의 성분을 구할 수 있다.
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이번에는 v⋅_ 의 성분 표기를 바꿔보자(notation change). 벡터의 성분인 v^j 윗첨자를 여벡터의 성분인 v_j 아랫첨자로 변경한다. 이렇게 함으로써 v⋅_ 가 V*에 속한다는 것을 확실히 해줄 수 있다. 다른 기저 여벡터 표현에서도 이렇게 색인 내림(index lowering)을 적용 할 수 있다. [측량텐서의 중요성: 색인 내림을 할 수 있었던 것은 측량텐서가 있었기 때문이다.]
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[8:06] 요약: 벡터 v 의 성분은 윗첨자로, 벡터 스칼라곱 함수 v⋅_ 의 성분은 아랫첨자로 표기한다. 이렇게 첨자 내림이 가능한 원인은 측량텐서 성분으로 총합(summation)을 수행 할 수 있었기 때문이다.
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하지만 v^j와 v_j가 동일한 것은 아니라는 점을 분명히 해두자. 이는 매우 중요하다. 윗첨자와 아랫첨자의 두 성분은 측량텐서 성분 총합을 통해 상호 교환될 수 있다. 단, 측량텐서가 크로네커 델타와 같을때 v^j = v_j 의 관계가 성립 하는데 이는 아주 특별한 경우로 정규직교 좌표(orthonormal coordinate system)인 경우에 해당한다.
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[9:02] 측량텐서 g가 함수로서 두 벡터를 입력으로 스칼라(두 벡터 길이 측정치)를 출력한다. 측량 텐서의 또다른 용도로서 벡터공간 V와 이중기저(여벡터)공간 V*의 순방향 대응관계를 맺어주는 역활을 한다는 것도 배웠다. 그렇다면 그 역관계, 즉 여벡터에 대응하는 벡터는 어떻게 구할수 있을까?
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이 질문에 답은 역원(inverse element)을 찾는 문제와 같다. 이미 잘 알고 있는 측량텐서의 역원을 다음과 같이 정의한다. 측량텐서와 역 측량텐서(inverse metric tensor)의 곱은 크로네커 델타로 정의한다. [측량텐서와 역측량텐서 모두 행렬이다. 두 행렬의 곱을 단위행렬(=크로네커 델타)로 놓으면 두 행렬은 서로 역원의 관계에 놓인다].
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[#1]벡터 성분의 색인 내림 식에서 출발하자. [#2]양변에 역측량텐서를 곱해 주면 우변에 측량텐서와 곱해져 크로네커 델타를 뽑아낼 수 있다. [#3]크로네커 델타와 벡터성분의 윗첨자를 색인제거한다. [#4] 결국 좌변에 역측량텐서와 아랫첨자 벡터성분의 곱과 우변의 윗첨자 벡터 성분이 남는다. 따라서 아렛첨자 벡터성분 v_i 에 역 측량텐서를 곱해주면 윗첨자 벡터성분 v^k이 된다. 다른 좌표계의 벡터 성분에도 동일한 색인 올림을 적용할 수 있다.
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벡터에서 여벡터로 대응하는 짝을 찾기위해 측량텐서를 사용했다. 역으로 여벡터에서 벡터로 대응하는 짝은 역측량텐서를 사용한다. 이때 측량텐서는 공변한다. 이를 공변측량텐서(covariant metric tensor)라 한다. 역측량텐서는 반변하며 이를 반변측량텐서(contravariant metric tensor)라 한다.
[공변 측량텐서->성분의 색인을 내려 공변하게 만듬/반변측량텐서->성분의 색인을 올려 반변하게 만듬]
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요약:
[#1] We know about component of vector v, we know about component of covector v dot something, v⋅_.
[#2] We know about definition of inverse metric tensor.
[#3] We know that ordinary metric tensor lowers index while the inverse metric tensor raises indexes.
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[11:16] Now these raising and lowering operation don't just apply to vectors and covector components. We can also raise and lower indexes on the components of other tensors,too.
앞서 본것 처럼 벡터와 여벡터 성분의 색인 올림이나 내림을 직접 수행할 수 없다[v^i ≠ v_i]. 반드시 측량텐서 혹은 역측량텐서 곱을 통해야 한다. 벡터나 여벡터 뿐만 아니라 텐서의 성분 역시 측량텐서 혹은 역측량텐서를 적용을 통해 색인 올림과 내림을 실시할 수 있다.
텐서의 색인 올림과 내림의 예를 보자. 텐서 곱 공간 (V⊗V*⊗V*)에 속한 텐서 Q가 있다. 이 텐서 Q의 성분은 윗첨자로 i(벡터 성분)와 아랫첨자로 j와 k (여벡터 성분)을 갖는다고 하자. 이 텐서 성분에 j 색인과 새 색인 x을 갖는 역측량텐서를 곱함 으로써 새로운 성분을 구했다. 이 성분은 (V⊗V⊗V*)의 원소인 텐서 Q'의 성분과 일치한다.
[Q의 성분에서 색인 j는 텐서 공간 (V⊗V*⊗V*)에서 가운데 V*에 해당하는 성분이다. 역측량텐서에 색인 j를 선택한 이유는 가운데 V*의 여벡터를 V의 벡터로 변환하기 위해서다. 역측량텐서의 곱으로 텐서 Q의 성분 중 아랫첨자 j가 윗첨자 x로 색인 올림 되었다. 여벡터 성분에서 벡터 성분으로 변함]
두번째 예는 텐서 공간 (V⊗V)에 속한 텐서 D다. 측량텐서를 곱하면 텐서 성분 색인 내림을 할 수 있다. 이는 (V*⊗V)의 원소인 D'의 성분과 일치한다. [벡터 성분에서 여벡터 성분으로 변함]
[색인 올림과 내림은 측량 텐서를 곱한 후 크로네커 델타를 적용한 색인 소거의 과정과 같다. 단, 측량텐서의 두 색인 중 한 색인은 소거되는 대신 다른 색인은 올림 또는 내림의 대상이된다.]
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[12:16] 어떤 턴서든 그 성분의 구성요소중 어느 하나도 색인 올림과 내림을 할 수 있다는 것을 알게됐다. 그 예로서 아래와 같은 변환 관계(벡터 공간과 여벡터공간의 대응)를 측량텐서 혹은 역측량텐서 곱을 통해 세울 수 있음을 보여준다. 파란 화살표는 일반측량텐서(normal metric tensor) 곱을 통한 벡터(V)에서 여벡터(V*) 성분으로의 변환을, 적색 화살표는 역측량텐서(inverse metric tensor) 곱을 통한 여벡터(V*)에서 벡터(V) 성분으로의 변환이 가능함을 보여주고 있다.
So it turns out that raising and lowering indexes can be done on the components of any tensor. So all these vector spaces on the slide can be travel between using ordinary metric tensor to lower index which means we can travel through blue arrow. Or we can use inverse metric tensor to raise index which corresponds going in the direction of red arrow.
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[12:44]------------------
<생략>
[15:02]-----------------------------------------------------------
기초 텐서 과정의 내용을 한마디로 요약하면 다음과 같이 정리할 수 있겠다. [이미 앞서 소개된 적이 있는 그림이다.]
벡터와 그 짝이되는 여벡터 구하기. 벡터는 기저벡터와 그 성분(윗첨자로 표기됨)의 선형 합 확장. 기저벡터의 짝이되는 여벡터는 v⋅_ (v dot something)는 성분(아래첨자로 표기됨)의 선형 합 확장.
측량 텐서와 역측량텐서의 정의. 즉량텐서와 역측량텐서는 서로 역관계. 따라서 두 측량텐서를 곱하면 크로네커 델타(단위행렬)
윗첨자가 붙은 벡터성분에 측량텐서를 곱하면 아랫첨자가 붙은 여벡터성분을 얻음(색인 내림)
아래첨자가 붙은 여벡터성분에 역측량텐서를 곱하면 윗첨자가 붙은 벡터성분을 얻음(색인 올림)
색인 올림과 내림은 벡터 뿐만 아니라 벡터와 여벡터를 임의로 조합하여 생성된 텐서에 대해서도 적용됨
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'텐서의 기초' 대단원은 '색인 올림과 내림'을 아무런 거리낌 없이, 마치 1 더하기 1은 2 라는데 아무 의구심 없이 받아들일 수 있어야 한다. 아울러 다음에 나열한 용어에 낮설지 않아야 할 것.
벡터와 여벡터 그리고 성분
벡터/여벡터와 기저벡터/기저여벡터
벡터와 여벡터의 기저벡터 총합으로 표기
총합기호 생략의 의미(아인슈타인 표기법)
공변과 반변/아랫첨자와 윗첨자
텐서 곱/크로네커 곱
선형 사상/쌍선형 형식/다중 선형형식
측량텐서/역측량텐서
색인 올림과 내림
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[이전]15. 텐서 곱 공간(Tensor Product Spaces)
[처음으로]구구단만 알아도 텐서/동기(Motivation)
[다음] [구구단보다 조금더 '텐서미적분] 소개
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[구구단만 알아도 '텐서']
-1. 동기(Motivation)
0. 텐서의 정의(Tensor Definition)
1. 정역방향 변환(Forward and Backward Transformation)
2 벡터의 정의(Vector Definition)
3. 벡터 변환 규칙(Vector Transformation Rules)
4. 여벡터 란?(What's a Covector?)
5. 여벡터 성분(Covector components)
6. 여벡터 변환 규칙(Covector Transformation Rules)
7. 선형 사상(Linear Maps)
8. 선형사상 변환규칙(Linear Map Transformation Rules)
9. 측량 텐서(Metric Tensor)
10. 쌍선형 형식(Bilinear Form)
11. 선형사상은 벡터-여벡터의 짝(Linear-Maps are Vector-Covector Pair)
12. 쌍선형 형식은 여벡터-여벡터 짝(Bilinear Forms are Covector-Covector Pairs)
13. 텐서 곱 vs. 크로네커 곱(Tensor Product vs. Kronecker Product)
14. 텐서는 벡터-여벡터 조합의 일반형(Tensors are a general vector-covector combinations)
15. 텐서 곱 공간(Tensor Product Spaces)
16. 색인 올림과 내림(Raising/Lowering Indexes)
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