이번 강의는 이제까지 배운 텐서의 일반화(generalized tensor)에 관한 것이다. 텐서는 벡터와 여벡터의 곱으로 생성된다. 일반화된 텐서란 임의 갯수의 벡터와(또는) 여벡터가 곱해진 것이다. 아울러 이번 강의에서 보여줄 텐서 곱(tensor product)에 교과서 표현인 '원곱(circled-times) ⊗' 기호를 사용하지 않는 경우가 있으므로 주의하기 바란다.
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앞서 선형사상(Linear Maps)은 벡터와 여벡터 곱의 선형조합(linear combination)이라고 배웠다. 이렇게 생성된 텐서의 변환 규칙(Transformation rules), 곱셈공식(Multiplication formula) 그리고 배열형(Array shapes)을 수월하게 구하는 방법을 배웠다.
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쌍선형 형식(Bilinear Forms)은 여벡터와 여벡터 곱의 선형조합이라는 것을 알게 되었고 그 들의 변환, 곱 그리고 배열 형에 대해 살펴봤다.
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이전에 보지 못했던 좀더 복잡한 구성의 텐서를 취급해 보자. 그 예로서 아래와 같이 복수의 벡터와 여벡터 연속곱의 선형조합의 텐서다. 텐서 D는 2개의 벡터가 연속적으로 곱해진 (2,0) 텐서이고 Q는 한 벡터와 두 여벡터가 연속으로 곱해진 (1,2)텐서다.
이들 두 텐서에 대해 위에서 선형사상이나 쌍선형 형식에서 구해봤던 것처럼 다음과 같은 문제에 대해 답을 해보자.
* 다음 강의 에서도 나오겠지만 여러 텐서가 연속적으로 곱해진 것은 매우 추상적인 공간의 표현을 의미한다. 고도의 추상적 공간에서 불변 벡터의 변환[transformation,다른 좌표계사이에서 불변성을 유지하며 표현하는 방법]과 선형사상[linear map,크기와(또는) 회전변형. 단, 원점고정]을 다뤄보자.
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변환 규칙(Transformation rule)은 쉽다. 두 좌표계 사이의 변환을 위한 기저벡터와 기저 여벡터의 선형조합(linear combination)을 연속 적용하면 된다.
텐서 성분의 변환(transforming tensor components)은 기저 벡터와 기저 여벡터 변환 규칙만 알고 있다면 이를 연속적으로 적용하면 되므로 '어렵지 않게' 구할 수 있다.
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텐서 D에 작동하는 텐서 Q의 공식을 구하라. 이 공식은 복수의 공식이 존재한다. 그 이유를 보면 텐서 Q에 복수개의 여벡터 곱을 포함하고 있기 때문이다. 벡터 v에 작용하는 선형사상 함수 L(v)의 경우 한 여벡터 함수는 한개의 벡터를 입력으로 취하여 유일한 사상된 값을 출력한다.
복잡한 구성의 두 텐서의 작용을 다뤄보자. 단일 벡터에 작동하는 단일 여벡터 함수의 작용은 유일의 답을 갖지만 복수의 벡터에 작용하는 복수의 여벡터 함수의 작용은 답이 복수로 존재한다. 한 벡터와 두 여벡터(여벡터는 함수가 될 수 있다)를 갖는 Q를 역시 두 벡터의 곱으로 구성된 텐서 D에 작용 시키면 어떤 결과를 낳게 될까? 여러개의 답이 나올 수 있는데 그중 몇개만을 꼽아보면 다음과 같다.
기저 여벡터(함수)를 기저 벡터(입력)에 분배하는 방식에 따라 다른 답을 얻게된다. 위의 예는 그중 몇가지를 보여준 것이다. 위의 식만을 봐서 이 분배가 다소 특이하게 보일 수 있다. 하지만 위의 식에서 색인이 붙은 항은 선형조합(linear combination)을 의미한다. 즉, 총합 기호 ∑의 생략이다. 색인이 붙은 항마다 덧셈으로 확장되는 다항식이며 복수의 다항식의 곱에 따라 분배법칙으로 생성될 수 있는 항의 수는 엄청나게 증가한다. 게다가 더많은 경우의 공변 및 반변 색인이 가담하면서 혼동을 증가 시킨다. 총합 기호 ∑를 생략한 아인슈타인 방식 기술법(Einstein's notation)을 사용하므로써 표현이 간략화 될 뿐만 아니라 수식의 의도를 명확히 나타낼 수 있다.
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텐서를 배열 형상(Array Shape)으로 나타내보자. 텐서의 성분 값을 배열로 나타내는 것이다(tensor's component values as array). 텐서 D의 배열형상은 다음과 같다. 두 벡터의 곱이므로 열 벡터 행렬의 텐서 곱이다. 먼저 좌측의 열벡터를 우측의 열벡터 원소에 각각 분배하여 2개원소를 가진 열의 2개 원소를 가진 열이 된다(a column of columns).
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기저 여벡터(함수)를 기저 벡터(입력)에 분배하는 방식에 따라 다른 답을 얻게된다. 위의 예는 그중 몇가지를 보여준 것이다. 위의 식만을 봐서 이 분배가 다소 특이하게 보일 수 있다. 하지만 위의 식에서 색인이 붙은 항은 선형조합(linear combination)을 의미한다. 즉, 총합 기호 ∑의 생략이다. 색인이 붙은 항마다 덧셈으로 확장되는 다항식이며 복수의 다항식의 곱에 따라 분배법칙으로 생성될 수 있는 항의 수는 엄청나게 증가한다. 게다가 더많은 경우의 공변 및 반변 색인이 가담하면서 혼동을 증가 시킨다. 총합 기호 ∑를 생략한 아인슈타인 방식 기술법(Einstein's notation)을 사용하므로써 표현이 간략화 될 뿐만 아니라 수식의 의도를 명확히 나타낼 수 있다.
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텐서를 배열 형상(Array Shape)으로 나타내보자. 텐서의 성분 값을 배열로 나타내는 것이다(tensor's component values as array). 텐서 D의 배열형상은 다음과 같다. 두 벡터의 곱이므로 열 벡터 행렬의 텐서 곱이다. 먼저 좌측의 열벡터를 우측의 열벡터 원소에 각각 분배하여 2개원소를 가진 열의 2개 원소를 가진 열이 된다(a column of columns).
이번에는 텐서 Q를 배열 형상으로 기술해보자. 텐서 Q는 한개의 벡터와 두개의 여벡터 곱이다. 벡터의 배열의 열(column)로 여벡터의 배열형상은 행(row)다. 벡터와 여벡터 배열의 곱은 크로네커 곱이다. 왼편의 열을 오른편 행의 각원소에 모두 곱한다. 이어서 두 행의 곱에서 분배하여 최종적으로 열의 행의 행 형상을 얻었다. 세개의 색인을 가지고 있어서 종종 육면체로 묘사하기도 하는데 시각적 효과는 있으나 의미상 썩좋은 방법은 아닌것 같다. 원소에 윗첨자(벡터의 반변하는 성분)와 아랫첨자(여벡터의 공변하는 성분)로 기술할 수 있어 텐서의 형을 보여줄 수 있는 행렬 방식이 좋다.
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텐서를 배열로 표현하고자 하는 이유중 하나는 표준 행렬 곱셈(행과 열의 원소를 곱한 후 모두 더하는 기계적 연산)을 적용할 수 있기 때문이다. 예를 들어 선형사상 L(v)의 배열형상은 다음과 같다. 표준의 행렬과 열의 곱이된다.
행렬과 열의 곱으로 얻은 열의 각 원소를 떼내어 일반화 한 것(cracked column vector)은 위와 같다.
[7:05]------------------------------------------------------------
하지만 앞선 예에서 보인 Q와 D 같은 고차 텐서(high-type tensors)의 경우, 텐서 곱을 행렬 곱으로 표현하기 매우 어렵다.
배열 표시 방식이 행렬계산이 직관적이라는 장점이 있긴 하지만 텐서 구성이 낮을 때(색인의 갯수가 작을 때) 유리할 뿐이다. 앞서 본 것처럼 텐서의 구성이 3개만 되어도 행렬 표기는 거의 불가능할 정도로 복잡해진다.
따라서 2 이상의 고차 텐서(high-type tensor)의 성분을 곱하는 행렬 곱셈은 총합 기호를 생략한 아인슈타인 표기법의 유용성이 확실히 드러난다.
With high-type tensors the array representation becomes sort of less useful and tensor be better stick to much compact Einstein notation to describe multiplication rules of components.
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[이전]13. 텐서 곱 vs. 크로네커 곱(Tensor Product vs. Kronecker Product)
행렬과 열의 곱으로 얻은 열의 각 원소를 떼내어 일반화 한 것(cracked column vector)은 위와 같다.
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하지만 앞선 예에서 보인 Q와 D 같은 고차 텐서(high-type tensors)의 경우, 텐서 곱을 행렬 곱으로 표현하기 매우 어렵다.
배열 표시 방식이 행렬계산이 직관적이라는 장점이 있긴 하지만 텐서 구성이 낮을 때(색인의 갯수가 작을 때) 유리할 뿐이다. 앞서 본 것처럼 텐서의 구성이 3개만 되어도 행렬 표기는 거의 불가능할 정도로 복잡해진다.
따라서 2 이상의 고차 텐서(high-type tensor)의 성분을 곱하는 행렬 곱셈은 총합 기호를 생략한 아인슈타인 표기법의 유용성이 확실히 드러난다.
With high-type tensors the array representation becomes sort of less useful and tensor be better stick to much compact Einstein notation to describe multiplication rules of components.
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So, really with high-type tensors the abstract notation and the array notation have the limitation.
When trying to express tensor multiplication fomula, it's usually easier just stick with Einstein component notation.
For this reason a lot of sources just write tensors like this as the components only and leave out the basis vectors and covectors completely. [텐서를 기저벡터 표기를 빼고 성분 행렬로만 표기하는 경우가 많은데, 사실 행렬 성분의 표기만으로도 기저 벡터와 기저 여벡터의 곱 구성이 어땠는지 색인만 봐도 알 수 있다]
But it is important to remember that tensor component always compromise choice of basis. And the same tensor can have different component which is to represent any different basis.
[8:09]---------------------------------------------------------------
Hopefully after watching this video you can finally appreciate the best definition of tensor. Tensors are just collection of vectors and covectors combined together using the tensor product. And the matter how crazy easy tensors to get, you can still figure out the transformation rules just as we did with Linear Maps and Bilinear Forms and even tensors we have never seen before like Q and D, here.
And while we can write tensor out in the abstract or as array if we want when dealing with tensor multiplication for high-type tensors is usually better write things in the Einstein compact notation since it make summation rules obviously.
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When trying to express tensor multiplication fomula, it's usually easier just stick with Einstein component notation.
For this reason a lot of sources just write tensors like this as the components only and leave out the basis vectors and covectors completely. [텐서를 기저벡터 표기를 빼고 성분 행렬로만 표기하는 경우가 많은데, 사실 행렬 성분의 표기만으로도 기저 벡터와 기저 여벡터의 곱 구성이 어땠는지 색인만 봐도 알 수 있다]
But it is important to remember that tensor component always compromise choice of basis. And the same tensor can have different component which is to represent any different basis.
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Hopefully after watching this video you can finally appreciate the best definition of tensor. Tensors are just collection of vectors and covectors combined together using the tensor product. And the matter how crazy easy tensors to get, you can still figure out the transformation rules just as we did with Linear Maps and Bilinear Forms and even tensors we have never seen before like Q and D, here.
And while we can write tensor out in the abstract or as array if we want when dealing with tensor multiplication for high-type tensors is usually better write things in the Einstein compact notation since it make summation rules obviously.
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[다음]15. 텐서곱 공간(Tensor Product Spaces)
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[구구단만 알아도 '텐서']
-1. 동기(Motivation)
0. 텐서의 정의(Tensor Definition)
1. 정역방향 변환(Forward and Backward Transformation)
2 벡터의 정의(Vector Definition)
3. 벡터 변환 규칙(Vector Transformation Rules)
4. 여벡터 란?(What's a Covector?)
5. 여벡터 성분(Covector components)
6. 여벡터 변환 규칙(Covector Transformation Rules)
7. 선형 사상(Linear Maps)
8. 선형사상 변환규칙(Linear Map Transformation Rules)
9. 측량 텐서(Metric Tensor)
10. 쌍선형 형식(Bilinear Form)
11. 선형사상은 벡터-여벡터의 짝(Linear-Maps are Vector-Covector Pair)
12. 쌍선형 형식은 여벡터-여벡터 짝(Bilinear Forms are Covector-Covector Pairs)
13. 텐서 곱 vs. 크로네커 곱(Tensor Product vs. Kronecker Product)
14. 텐서는 벡터-여벡터 조합의 일반형(Tensors are a general vector-covector combinations)
15. 텐서 곱 공간(Tensor Product Spaces)
16. 색인 올림과 내림(Raising/Lowering Indexes)
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