8. 선형사상 변환규칙(Linear Map Transformation Rules)

8. 선형사상 변환규칙(Linear Map Transformation Rules)

In this video we're going to over transformation rules that linear map obey, when we go from one basis to another.

이번편 강의는 한 기저공간에서 다른 기저공간으로 변환될 때 '선형사상(=행렬로 표현된 선형변환 함수)'이 따라야 할 규칙에 대해 다룬다.

Ok. So, let's say I have linear map given by this matrix, here, and it is expressed in the e-basis. And, let's remind that this linear map turns e_1 into 1/2e and this turns e_2 into 2e_2. So, these just the outputs of the linear map but remember the basis isn't changing, still measuring outputs linear map using same basis.

먼저 간단한 예를 들어보자. 선형사상이 기저공간 e_i 에서 다음과 같은 행렬로 주어졌다. 이 선형사상은 기저벡터 e_1을 1/2e_1으로, e_2를 2e_2로 변환시킨다. 이런 변환의 결과는 선형사상[=함수 L()]을 기저 벡터 e_1과 e_2를 적용하여 얻은 것일 뿐이며 기저벡터가 변한 것이 아니라는 점을 꼭 기억해두자.



불변의 벡터 v 에 대하여 기저벡터 e_i인 공간과 변형된 기저벡터 e_i_tilde인 공간에서 위의 예와 같이 선형사상된 벡터 L(v)의 성분(components)을 구해보자.

예를 들어 기저가 e_1과 e_2인 공간에서 좌표성분이 1 과 1인 벡터 v 에 대하여 선형사상된 벡터 L(v)의 성분은 행렬 곱셈으로 쉽게 구할 수 있다. 변환된 벡터 L(v)는 여전히 기저벡터 e_i 의 공간에 있다.

이번에는 변형된 좌표계(changed coordinate), 즉 기저벡터가 e_i_tilde 인 공간에서 변환(transformation)된 벡터를 구해보자. 먼저 기저벡터 e_i 에서 벡터 v 를 변형된 좌표계 e_i_tilde 로 변환한다. 벡터의 성분은 반변하므로 역방향 변환행렬(Backward)을 곱하여 얻는다. [정역방향 변환행렬은 '1. 정역변환' 강의때부터 사용한 예제다.]



벡터 v의 변형된 좌표계에서 성분을 구했으므로 선형사상 함수 L()를 적용하면 변형된 기저벡터 공간에서 선형사상된 벡터 v의 성분을 구할 수 있다. 하지만 기저벡터 e_i 의 선형변환 함수 L()_e_i 는 변형된 기저벡터 e_i_tilde 에서 적용될 수 없다.



변형된 기저공간에서 적용할 수 있는 선형사상 함수(행렬)을 구해보자. 선형사상은 입력 벡터에 대한 행렬곱(matrix multiplication)이므로 다음과 같이 풀어쓸 수 있다. 풀어쓴 변형 기저벡터 연립 방정식의 계수 4개의 값을 정해주면 된다. 변형된 기저벡터 e_i_tilde에서 변환은 이탤릭체 L(), L로 기술한다.



먼저 우리가 알고 있는 몇가지 공식을 정리해보면, '벡터 변환규칙(Vector Transformation Rules)'과 선형사상(Linear Maps)이 있다.



다시 문제로 돌아가 보자. 지금 구하려는 것은 변형된 기저공간에서 선형사상계수들이다.  변형된 기저벡터의 선형사상은 기저벡터와 L의 선형 조합으로 나타낼 수 있다. [표준 행렬-벡터 곱의 형태가 아니다!]



원 기저벡터 e_i 와 변형 기저벡터 사이의 정역방향 변환행렬 F, B와 원 기저벡터 공간의 선형 사상 L()_e_i 이 주어 졌을 때, 임의벡터 v 에 대하여 변형된 기저공간에서 성분을 구하는 문제다. 임의 벡터 v의 원 기저벡터 공간에서 선형변환 된 성분은 L(v_e_i)_e_i 로 구할 수 있다. 하지만 L(v_e_i _tilde)_e_i _tilde 를 구하려면 L()_e_i _tilde 를 알아야 한다.



F, L, B는 모두 변환 행렬의 원소들로 숫자다. 따라서 곱셈의 순서를 바꿔도 성립한다. 이제 변형 좌표계에서 벡터의 선형사상 L(v)_i_tilde을 구했다. 변환 행렬 B와 F, 그리고 선형사상 행렬 L 을 벡터 성분에 순차적 곱하는 수식은 변형된 좌표 공간에서 벡터의 선형 사상된 성분을 구하는 과정을 보여주는 것이라 하겠다. 아래 그림에서 L_tilde로 바로 변환이 불가 하므로 F > L > B 의 경로를 취한 것이다.



예제의 값을 실제로 계산해 보자. 연속적인 행렬 곱셈 끝에 L_e_i_tilde 선형사상 행렬을 구했다.



마침내, 변형 기저벡터 공간에서 선형사상된 벡터 v의 성분을 구할 수 있게 되었다. 대략 그림으로 맞춰보면 맞다는 것을 알 수 있다.



이번에는 표기법에 대해 생각해보자. 총합 기호 ∑ 가 너무 많이 나온다. 그와중에 일정한 공통점이 발견된다. 행렬 원소의 윗 첨자와 기저벡터 아랫 첨자가 일치한 색인의 인수에 총합이 적용되는 공통점이 있다. 그렇다면 텐서를 선형 다항식(계수 곱과 합의 조합)으로 다룰 때 총합 기호를 생략하면 어떨까? 세상 간편하다. 필기공간도 줄이고 식을 전개할 때 손가락도 덜 아푸다. 다만 익숙해 지려면 머리 아푸다.



앞으로 자주 등장할 행렬곱셈을 총합기호를 사용해 선형 다항식으로 표현하게 된다. 총함기호를 가급적 작게 쓸 방안을 찾아보자. 먼저 행렬 M에 단위 행렬 I를 곱하면 다시 M이 된다는 사실을 알고 있다. 단위행렬 I을 선형대수 다항식으로 쓰면 크로네커 델타다. 크로네커 델타를 곱하면 결국 j=k항만 남게 되므로 총합 기호없이 행렬 곱셈을 표현 할 수 있다. 이 때문에 크로네커 델타(혹은 단위행렬)을 총합기호 제거용(summation index canceler)으로 사용한다. 이는 앞으로 지속적으로 등장하게될 행렬계산에서 수식의 간략화에 매우 요긴하게 사용될 것이다.



크로네커 델타(단위행렬)를 활용한 총합기호를 제거 기법을 적용하면 선형사상의 전방향 및 역방향 변환 규칙을 쉽게 유도해 낼 수 있다.




결국 총합기호가 제거 될 수 있다는 사실을 토대로 총합기호를 과감하게 버리고 색인의 소거로 단순화 시키도록 표기하자고 제안한 사람이 아인슈타인이다.

끝으로 요약....



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[구구단만 알아도 '텐서']
-1. 동기(Motivation)
0. 텐서의 정의(Tensor Definition)
1. 정역방향 변환(Forward and Backward Transformation)
2 벡터의 정의(Vector Definition)
3. 벡터 변환 규칙(Vector Transformation Rules)
4. 여벡터 란?(What's a Covector?)
5. 여벡터 성분(Covector components)
6. 여벡터 변환 규칙(Covector Transformation Rules)
7. 선형 사상(Linear Maps)
8. 선형사상 변환규칙(Linear Map Transformation Rules)
9. 측량 텐서(Metric Tensor)
10. 쌍선형 형식(Bilinear Form)
11. 선형사상은 벡터-여벡터의 짝(Linear-Maps are Vector-Covector Pair)
12. 쌍선형 형식은 여벡터-여벡터 짝(Bilinear Forms are Covector-Covector Pairs)
13. 텐서 곱 vs. 크로네커 곱(Tensor Product vs. Kronecker Product)
14. 텐서는 벡터-여벡터 조합의 일반형(Tensors are a general vector-covector combinations)
15. 텐서 곱 공간(Tensor Product Spaces)
16. 색인 올림과 내림(Raising/Lowering Indexes)

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