[구구단만 알아도 '텐서'] -1. 동기(Motivation)

[구구단만 알아도 '텐서'] -1. 동기(Motivation)

* 유튜브 동영상 강좌를 들어가며 대략 한글직역 한 것이라 첨삭된 내용이 틀릴 수 있습니다. 원본 동영상도 함께 시청해 주세요.


원본출처: Tensors for Beginners by eigenchris(YouTube)

'텐서(Tensor)'

텐서를 쉽게 설명 하겠다. 먼저 왜 텐서를 공부해야 할까? 그리고 텐서를 뭐라고 해야 할지 정의를 내려보기로 한다. 시작하기 전에 먼저 기본으로 갖춰야할 배경을 알아보자. 선형 대수(Linear Algebra)를 알고 있다면 좋겠지만, 벡터와 행렬 그리고 곱셈과 덧셈 [구구단] 정도는 알고 시작 하자. 초보자용 강의 시리즈인 만큼 생소하다면 강의를 진행하면서 배우면 된다.



텐서를 미적분(Calculus)으로 접근 하는 강좌도 있겠으나 이 강좌는 미적분 이야기는 하지도 않겠다. 나중에 미적분 턴서 강좌를 소개 할테니 초보 과정에서는 빼기로 한다.

그럼 '텐서'를 왜 배우려고 하는가? '텐서'라 하면 기하학(geometry)를 떠오르는 사람도 있을 텐데 굳이 틀리진 않다. 다만 초중고교에서 배우던 아주 직관적인 각종 도형이나 삼각법(trigonometry)이 아니라 아주 추상적인 개념의 기학학이라는 점을 알아두자. 가령 아인슈타인의 일반 상대성(General Relativity)에 등장하는 시공간(Space-Time)의 기하학을 수학적으로 표현하는 도구가 '텐서'다.



기왕 이야기가 나왔으니 상대론을 감깐 들여다보자. 수많은 과학 동영상을 통해 시공간이 휜다는 이야길 들었을 것이다. 매우 높은 밀도의 블랙홀(Black hole)에 의해 빛이 휜다던가 초기 우주의 대폭발(Big-Bang)이후 점점 (가속)팽창 한다는 이야기도 들어봤을 것이다. 공간이 휘었다거나 우주가 팽창한다는 것을 수학적으로 표현 하려면 텐서가 필요하다. 아인슈타인의 장 방정식(Field Equation)이라는 것이다.



한개의 수식으로 보이지만 실은 16개의 방정식으로 어떻게 빛이 휘는지, 우주가 팽창하는지 설명한다. 위의 방정식에 나오는 모든 기호를 지금 이해하기는 곤란하지만 적이도 이 방정식에 등장하는 빨간 밑줄 친 항들이 바로 '텐서'라는 점만 알아두자. 특히 빨간 상자로 표시된 항이 핵심인데 소위 측량 텐서(Metric Tensor)라는 것이다. 이 텐서는 4x4 짜리 행렬로 된 랭크 2(Rank 2) 텐서로서 시공간(space-time)에서 길이, 각도 따위를 측량(계산하여 구함)하는 데 사용된다. 측량 텐서에 관한 설명도 이 강좌 7이나 8편 쯤에 나올 것이다. 이 측량 텐서의 기본을 배우고 나면 시공간이 휘었다던가 우주가 가속 팽창을 조금이나마 이해할 수 있으리라 기대한다.



'텐서'를 배워야 하는 다른 중요한 예는 양자 역학, 특히나 최신 연구 과제로 등장한 양자 컴퓨팅을 이해하는데 필요하다는 것이다. 양자역학에 관한 과학 강좌를 보면 꼭 등장하는 양자 중첩(Quantum Superposition)이 꼭 등장한다. 두가지 상태가 동시에 존재할 수 있다는 것인데 어떻게 받아들여야 할지 모르지만 죽은 고양이와 산 고양이로 흔히 비유된다. 다른 예로 양자 얽힘(Quantum Entanglement)이 있다. 양자 특성이 얽혀있는 두 입자는 수백 킬로미터 떨어트려 놓아도 서로 영향을 교환한다는 것이다. 과연 이런 이상한 중첩이라거나 얽힘이라는 특성들을 어떻게 수학적으로 표현 할 수 있을까? 바로 텐서라면 가능하다. 중첩은 벡터의 선형 겹합(스칼라곱과 벡터 덧셈)으로 설명하며 얽힘은 서로다른 두 텐서 곱셈으로 새로운 공간을 만들어냄으로 설명된다. 이에 대해서도 이 강좌 후반부에 다뤄 볼 것이다.

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[다음] 0. 텐서의 정의(Tensor definition)

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[구구단만 알아도 '텐서']
-1. 동기(Motivation)
0. 텐서의 정의(Tensor Definition)
1. 정역방향 변환(Forward and Backward Transformation)
2 벡터의 정의(Vector Definition)
3. 벡터 변환 규칙(Vector Transformation Rules)
4. 여벡터 란?(What's a Covector?)
5. 여벡터 성분(Covector components)
6. 여벡터 변환 규칙(Covector Transformation Rules)
7. 선형 사상(Linear Maps)
8. 선형사상 변환규칙(Linear Map Transformation Rules)
9. 측량 텐서(Metric Tensor)
10. 쌍선형 형식(Bilinear Form)
11. 선형사상은 벡터-여벡터의 짝(Linear-Maps are Vector-Covector Pair)
12. 쌍선형 형식은 여벡터-여벡터 짝(Bilinear Forms are Covector-Covector Pairs)
13. 텐서 곱 vs. 크로네커 곱(Tensor Product vs. Kronecker Product)
14. 텐서는 벡터-여벡터 조합의 일반형(Tensors are a general vector-covector combinations)
15. 텐서 곱 공간(Tensor Product Spaces)
16. 색인 올림과 내림(Raising/Lowering Indexes)

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