2019년 10월 24일 목요일

4. 미분하면 벡터 된다(Derivatives are Vector)

4. 미분하면 벡터 된다(Derivatives are Vector)



이번 강의는 '텐서의 기초' 강좌중 '2. 벡터의 정의(Vector Definition)'의 심화 편으로 미분이 벡터가 되는 이유를 설명한다.
-

-
벡터 v는 기저벡터(basis vector)와 성분값(components)의 선형 확장(linear expansion)으로 기술될 수 있다. 기저벡터 e_1과 e_2로 정의된 좌표계와 e_1_tildee_2_tilde 로 정의된 좌표계에서 각각 기술할 수 있으며 서로 다른 성분 값을 갖는다[기저벡터의 선형합].
-

-
개별 벡터는 기저벡터의 선형합으로 수월하게 기술할 수 있다. 이번에는 공간에 무한개의 벡터가 존재하는 벡터장(vector field)을 다뤄 보자. 벡터장의 벡터를 개별적으로 기술하기는 불가하다. 개별 벡터를 다루는 대신 관점을 공간으로 돌려보자. [원래 한종류 벡터가 괴상하게 굴곡진 공간에 놓이게 되어 다양한 모습을 하게 되었다면 어떨까? 벡터가 놓인 위치의 기저벡터가 변화무쌍 하다는 관점을 취해보자.]
-

-
벡터가 2차원의 '괴상한' 곡선에 접선(tangential line)의 규칙에 따라 놓였다고 하자. 이를 접선 벡터(tangent vectors)라 한다. 위치에 따라 크기와 방향이 제각각인 벡터들이 놓일 것이다. 이 수많은(곡선은 연속이다) 접선벡터들이 곡선에 놓인 벡터장이 된다.
-

-
원점에서 곡선위의 한 점에 이르는 벡터 R을 정의해보자. 이 벡터 R은 입력인자 λ를 갖는데 이를테면 시간에 따라 벡터의 끝점이 곡선위를 움직인다고 하자. 평면에 놓인 벡터는 좌표축의 성분으로 기술된다 [ R = (x,y) ]. 따라서 벡터의 인수는 성분의 인수가 된다[ R(λ) = (x(λ), y(λ)) ].
-

-
곡선위를 움직이는 벡터 R은 λ의 함수 R(λ) 이다. 입력이 h 만큼 변한 후 움직인 벡터 R(λ+h)와 벡터 R(λ) 의 차 벡터는 R(λ+h)-R(λ)다. 입력 변화량 h의 미소극한을 취하면 벡터 R의 λ에 대한 미분이며 이는 접선벡터와 같다. 그리고 이 곡선을 따라 수많은 접선벡터들이 모여 벡터장을 이룬다.
-



-
이 벡터장의 벡터들은 직교좌표계 상에 표시되었다. 직교좌표계의 기저벡터는 어느 위치에서도 동일하게 고정되어 있다. 곡선위의 벡터장을 구성하는 무한개 벡터들을 일일이 기술하는 것은 불가능 하지만 미분이라는 수식을 동원하면 수월하게 표현할 수 있다. 벡터 R은 (x,y) 평면상의 곡선을 따라 움직이므로 미분 dR/dλ 은 다변수 미분(편미분)의 연쇄 법칙에 따라 아래와 같이 전개된다.
-

-
앞서 배운대로 벡터 R 을 좌표계 한축으로 편미분한 ∂R/dx, ∂R/dy는 각 좌표축의 기저벡터와 같다. 미분 dR/dλ을 정리하면 기저벡터의 계수가 되는 dx/dλ와 dy/dλ는 벡터장의 성분 값(components of vector field)이다. [λ을 시간으로 본다면, 시간상 공간 변화율이다. 운동의 관점을 벡터에서 공간으로 변경해 가고 있다. dR/dλ, ∂R/dx, ∂R/dy는 벡터, dx/dλ, dy/dλ는 스칼라.]

이어서 기저벡터와 벡터장 성분의 선형합 확장식을 아인슈타인 표기법으로 단순화 하였다.
-

-
이제 처음 이 강의를 시작할 때 한 벡터 v를 기저벡터 e_1, e_2와 그 성분v^1, v^2의 선형합으로 나타냈듯이 벡터장 역시 이와 동일하게 선형합 확장식으로 나타 낼 수 있다고 했었다. 그대신 다변수 미분인 편미분 x와 편미분 y를 벡터장의 기저벡터로 하고 공간의 미분을 벡터장의 성분으로 한다.

아래의 두 식은 서로 달라 보이지만 그 의미는 일치한다. 벡터를 기저벡터와 성분의 선형합으로 확장하여 표현한 것이다. 위의 식은 벡터 한개, 아래식은 무수히 많은 벡터로 구성된 벡터장이다.
-


-
위의 벡터 표현을 일반화 한 아인슈타인 표기법으로 간략하게 기술하면 다음과 같다.
-

-
실제적인 예를 들어보자. '기괴한' 공간으로 변환시키는 이유를 좀더 잘 이해할 수 있을 것이다.

[1] 먼저 직교좌표계에서 원 둘레를 따라 분포된 벡터장(vector field)을 기술해 보자. 벡터장을 형성하려면 위치가 계속 변화해야 하므로 새로운 인수 λ 를 도입한다.
[2] 아래 그림과 같이 원 둘레의 점들을 향한 수많은 벡터 R이 있다. 입력 인수가 λ인 벡터 R(λ)은 2차원 직교좌표에서 반지름이 2인 원둘레 위에 놓여있다. 벡터 R(λ)의 x성분과 y성분은 (2cos(λ), 2sin(λ)) 다. [λ를 시간이라고 놓고, 시간의 흐름에 따라 벡터 R이 원둘레를 회전한다. 즉, λ는 각도다.] 
[3] 벡터 R을 λ로 미분하여 접선벡터로 이뤄진 벡터장을 기술한다. 점들은 평면위 (x,y) 좌표체계에서 움직이므로 다변수 미분 연쇄법칙을 적용하였다.
[4] 편미분 ∂R/∂x 와 ∂R/∂y는 각각 x축과 y축의 기저벡터다. 두 기저벡터에 대한 성분 dx/dλ, dy/dλ를 구한다.
[5] 원둘레를 움직이는 벡터 R(λ)의 미분으로 표현된 벡터장이다.
[6] 미분식 대신 열행렬로 표시하기도 한다.
-

-
원둘레를 도는 벡터 R(λ)에 의해 생성된 벡터장 dR/dλ 을 구성하는 벡터 몇가지를 직교좌표계(∂R/∂c)에서 구해봤다.

λ=0: 벡터 R(0)의 접선벡터의 x축 성분은 0, y축 성분은 2 다.
λ=π/4:벡터 R(π/4)의 접선벡터의 x축 성분은 -√2, y축 성분은 √2 다.
λ=π/2:벡터 R(π/2)의 접선벡터의 x축 성분은 -2, y축 성분은 0 다.
-

--------------------------------------------------------
이번에는 조금은 '괴이한' 극좌표계로 관점을 옮겨보자. 벡터장을 구하기 위한 과정은 직교좌표계에서 수행했던 것과 동일하다. 좌표축을 극좌표계인 r과  θ로 바꿔 벡터 R이 그리는 궤적의 접선벡터를 모아 벡터장을 형성한다.
-

-
개별 벡터와 벡터장을 기저벡터와 성분의 선형조합으로 기술 한 것을 비교해보면 같은 의미를 갖는다는 것을 알 수 있다. 물론 아인슈타인 표기법을 사용하여 일반화된 선형조합의 벡터 표현을 간략하게 기술 할 수 있다.
-


-
직교좌표계에서 살펴봤던 원주의 접선 벡터장을 극좌표계로 바꿔보자. 직교좌표의 두축 x, y를 극좌표의 r 과 θ 로 변환시킨다.

[1] 원의 반지름은 직교좌표계의 두 축으로부터 정의된다. 아울러 x와 y를 2cos(λ)와 2sin(λ) 로 치환하여 정리하면 반지름은 λ 에 무관하게 항상 같다.
[2] x와 y를 치환 한후 간단한 삼각함수 등가 변환으로 θ 가 곧 λ가 됨을 알 수 있다.
[3] 결국 극좌표계로 표현한 벡터 R(λ)은 매우 단순하다. r축은 단순 상수이며 θ축은 λ의 1차함수다.
-

-
벡터 R(λ)에 의해 생성된 벡터장을 극좌표계에서 구해보자. 미분하면 된다. 극좌표계에서 벡터장의 모양은 매우 단순하다.
-

-
원둘레를 도는 벡터 R(λ)에 의해 생성된 벡터장 dR/dλ 을 구성하는 벡터를 극좌표계 ∂R/∂p 에서 구면, r축으로는 0, θ 축으로는 1이다.
-

-
원운동을 하는 벡터 R(λ)의 벡터장을 직교 좌표계와 극좌표계로 기술한 벡터장을 비교해보자. 극좌표계의 기술이 엄청나게 단순하다. 이로써 '기괴한' 좌표계를 만들어내야할 이유가 충분하다.
-

-
요약...
-

-


----------------------------------------------------------------
[이전] 3. 자코비언(The Jacobian)
[다음] 5. 미분 변환 규칙(반변)(Derivative Transformation Rules (Contravariance))
----------------------------------------------------------------
강의목차:
Tensor Calculus by eigenchris @ Youtube

0. 소개(Introduction)
1. 다변수 미적분 요약(Multi-variable Calculus Review)
2. 직각좌표계와 극좌표계 그리고 기저벡터(Cartesian & Polar Coordinates, and Basis Vectors)
3. 자코비언(The Jacobian)
4. 미분하면 벡터된다(Derivatives are Vectors)
5. Derivative Transformation Rules (Contravariance)
5.1_ Derivative Operators are Vectors Discussion
6. Differential Forms are Covectors
7. Covector Field Components
8. Covector Field Transformation Rules (Covariance)
9. Integration with Differential Forms
10. Integration with Differential Forms Examples
11. The Metric Tensor and Arc Lengths (flat space)
12. The Metric Tensor in Curved Spaces for Measuring Arc Length
13. Gradient vs d operator (exterior derivative_differential)
14. Gradient explanation + examples
15. Geodesics and Christoffel Symbols (extrinsic geometry)
16. Geodesic Examples on Plane and Sphere
17. The Covariant Derivative (flat space)
17.5 Covariant Derivative (Component Definition) - Optional
18. Covariant Derivative (extrinsic) and Parallel Transport
19. Covariant Derivative (Intrinsic) and Geodesics
20. The Abstract Covariant Derivative (Levi-Civita Connection)
21. Lie Bracket, Flow, Torsion Tensor
22. Riemann Curvature Tensor Geometric Meaning (Holonomy + Geodesic Deviation)
23. Ricci Tensor Geometric Meaning (Sectional Curvature)

댓글 3개:

  1. 답글
    1. 별말씀을.... 저도 취미로 수학공부하는 중입니다.

      삭제
  2. 음 텐서가 궁금해서 들어왔습니다.
    감사히 보겠습니다..
    책으로는 너무 어렵네여~

    답글삭제