2019년 9월 23일 월요일

7. 선형 사상(Linear Maps)

7. 선형 사상(Linear Maps)






여벡터 논의를 마무리하고 이어서 텐서의 세번째 예로서 '선형사상(Linear Maps)'을 다룬다. '선형사상'은 벡터를 입력받아 다시 벡터를 출력하는 변환(Transformation)[함수] 이다. 이번 강의에서 선형사상를 다음과 같이 세가지 측면에서 다뤄보겠다.

선형변환(Linear Transformation): 선형대수학에서, 선형 변환(線型變換, 영어: linear transformation) 또는 선형 사상(線型寫像, 영어: linear map) 또는 선형 연산자(線型演算子, 영어: linear operator) 또는 선형 작용소(線型作用素)는 선형 결합을 보존하는, 두 벡터 공간 사이의 함수이다.[위키백과]

먼저, 좌표상 정의(Coordinate Definition)로 선형사상을 좌표상의 숫자 배열(array of numbers)[좌표값]로 설명한다. 이어서 기하학적 정의(Geometric Definition)로서 말 그대로 사상(변환)을 그림으로 표현한다. 끝으로 추상적 정의(Abstract Definition)인데 대수수학(algebra)으로 선형사상(변환)을 표현한다. 이 방법이 선형사상을 설명하는 가장 좋은 방법이 될 수 있지만 직관적 이해를 위해 세가지를 서로 연관시켜 보기로 한다.

선형사상을 좌표(coordinate)로 나타낸 것이 '행렬(matrices)'이다. '행렬'은 2차원 숫자의 배열이다. 앞서 배운 '벡터(Vector)'는 숫자의 열(column array of numbers)로 좌표를 표현한 것이다.  '여벡터(Covector)' 또한 숫자의 배열로 좌표를 나타낸 것이긴 하지만 행배열(row array of numbers)이다.


Matrices are coordinate representation of liear maps. So, let's take a look at how matrices transform vectors.

행렬은 성형사상을 좌표로 표현한 것이므로, 행렬이 어떻게 벡터를 변환 시키는지 살펴보자. 아래와 같이 2x1 열벡터열벡터에 작용하는 2x2 행렬이 있다. 행렬 곱셈의 결과로 열벡터를 얻는다.



It might be confusing to understand what a matrix is doing just by looking at the numbers inside matrix. But, there's easy interpretation for what all these numbers mean.

일반적인 행렬과 벡터의 곱셈연산을 수행 했지만 행렬이 그 결과인 벡터에 어떤 작용을 일으켰는지 이해하기는 쉽지않다.

행렬에 기저벡터 e_1과 동일한 벡터 1,0을 곱하면 행렬의 첫번째 열이 된다. 그리고 기저벡터 e_2와 동일한 벡터 0,1 을 곱하면 행렬의 두번째 열이 된다.



이와 같이 행렬에 기저 벡터를 곱하면 복사한 것과 같은 결과가 된다는 사실은 중요하다. 즉, 선형사상 함수로서 행렬은 입력 벡터를 변환 시키지만 기저벡터에 대해서 변화를 주지 않는다. [행렬은 선형사상 또는 선형변환 함수다] 따라서 선형변환 함수인 행렬(=선형 사상)을 이용하여 벡터를 변환 시킬 수 있다. 이때, 이동하지 않는 한 기저는 변하지 않는다.


Linear Maps transform vectors. But, Linear Maps DO NOT transform the basis. So, when we transform vectors using Linear Maps, the basis isn't changing while we aren't moving the basis.

While the output vector might be different to an input vector we're still gong to be measuring the output vector using the same basis. Above that said with matrices the i-th column tells you what to map a copy of the i-th basis vector. Let's take a look at that visually.

'행렬'은 벡터를 변환시키는 함수다. 행렬의 i번째 열은 i번째 기저 벡터의 변환에 해당한다. 행렬의 역활을 보여주는 예를 그림으로 보자.

두개의 기저벡터 e_1과 e_2로 구성된 공간에 두 벡터 v와 w가 있다. 벡터 v는 첫번째 기저벡터 e_1의 복사본이며 w는 두번째 기저벡터 e_2의 복사본이다. 그리고 변환행렬(=선형사상)의 첫번째 열은 5,3 그리고 두번째 열은 -1과 4다.



벡터 v를 변환 행렬에 적용하여 얻은 벡터 L(v)는 노란 화살표가 된다. 벡터 w를 행렬에 적용하여 얻는 벡터 L(w)는 보라색 화살표가 된다. 이때 기저가 이동하지 않아야 하는데 선형사상이 기저를 변화시키지 않으므로  같은 기저공간에서 출력 벡터가 유효해진다.

Note that basis vectors have not moved because Linear Maps don't change the basis then still measuring the output vectors with the same basis.

행렬은 선형사상을 좌표로 나타낸 것이라는 점은 이해 했을 것이다. 기하학적인 의미를 좀더 알아보자.

So, Matrices are coordinate interpretation of Linear Maps. Let's try to get more Geometrical definition.

선형사상을 그림으로 표현하면 공간은 세가지 조건을 만족해야 한다.
1. 격자선은 서로 평행할 것
2. 격자선은 각각 등간격일 것
3. 원점은 이동하지 않을 것




원 격자공간은 수평으로 팽창될 수 있고, 회전 변형되며, 회전과 확장이 연이어 질 수도 있다. 변환된 격자는 각 축에 대해 서로 평행하며 등간격이고 원점의 이동은 없다. 한가지 주의할 것은 이동을 포한하는 변위(translation)는 선형변환에 해당하지 않는다.

끝으로 선형사상의 추상적 정의(abstract definition)를 해보자. 선형대수식으로 표현하는 것으로 매우 일반화되면서 적절한 방법이긴 하지만 처음 접하기엔 아주 난해할 수 있다. 선형사상은 벡터를 입력으로 취하여 벡터로 출력(사상, 대응)하는 함수로 선형성을 갖는다. 벡터를 입력으로 취하는 여벡터 또한 선형성을 갖는다는 점에서 유사하지만 여벡터가 스칼라 출력이지만 선형사상은 벡터 출력이라는 점이 다르다.



선형사상을 행렬로 표현된 함수로 보려면 생소하기도 하고 다른 선형성의 예와 비교해서 이해가 까다로울 수 있다. 그림으로 선형사상 함수의 선형성을 직관적으로 이해해 보자.





선형사상 함수의 선형성을 그림으로 표현한 경우와 좌표(행렬)로 표현한 경우를 서로 비교해 보자. 행렬의 곱셈을 알고 있다면 선형성을 규명해 보기는 어렵지 않을 것이다.



---------------------------------------------
선형사상의 표기를 추상화 해보자[대수식으로 일반화 해보기]. 앞으로 전개될 대수식들은 처음 보면 혼란 스럽겠지만 앞서 다뤘던 선형성을 토대로 하며, 단지 표기법이 생소할 수 있다는 점을 기억해 두자(윗첨자는 반변 Contravariant, 아랫첨자는 공변 Covariant).

벡터 w는 입력 벡터 v에 대한 선형사상이다. 입력 벡터 v 는 기저벡터 e_1 과 e_2에 각 성분값 v^1과 v^2를 곱한 합으로 표현된다. 벡터의 성분은 반변한다(Vector component=Contravariant).



선형사상 L()은 선형성에 따라 다음과 같이 각각의 합으로 표현된다.



기저벡터 e_1과 e_2에 대한 선형사상 L(e_1)과 L(e_2)는 결국 동일한 기저벡터를 사용하는 공간에서의 벡터 합이므로 다음과 같이 놓을 수 있다. 첨자가 붙은 L은 모두 숫자(스칼라)다. 윗첨자와 아랫 첨자로 구분되어 있음에 유의하자. 지금은 그냥 표기법이라 하고 넘기자. 첨자를 구분한 이유는 나중에 설명될 것이다.



기저벡터에 선형사상을 적용하여 확장한 후 공통 기저벡터로 정리하면 벡터 w 는 다음과 같다.



위의 식에서 각 기저벡터의 계수는 결국 숫자값이므로 다음과 같이 놓자. 결국 w^1과 w^2는 계수 L의 행렬과 벡터 성분 v의 곱과 같다.



최종적으로 벡터 w는 다음과 같이 표현된다. 결국 변환은 동일한 기저벡터에 계수값의 변화임을 알 수 있다.



--------------------
선형사상을 일반화하여 요약하면 다음과 같다.



-------------------
[이전] 6. 여벡터 변환규칙(Covector Transformation Rules)
[다음] 8. 선형사상 변환규칙(Linear Map Transformation Rules)

------------------------------------
[구구단만 알아도 '텐서']
-1. 동기(Motivation)
0. 텐서의 정의(Tensor Definition)
1. 정역방향 변환(Forward and Backward Transformation)
2 벡터의 정의(Vector Definition)
3. 벡터 변환 규칙(Vector Transformation Rules)
4. 여벡터 란?(What's a Covector?)
5. 여벡터 성분(Covector components)
6. 여벡터 변환 규칙(Covector Transformation Rules)
7. 선형 사상(Linear Maps)
8. 선형사상 변환규칙(Linear Map Transformation Rules)
9. 측량 텐서(Metric Tensor)
10. 쌍선형 형식(Bilinear Form)
11. 선형사상은 벡터-여벡터의 짝(Linear-Maps are Vector-Covector Pair)
12. 쌍선형 형식은 여벡터-여벡터 짝(Bilinear Forms are Covector-Covector Pairs)
13. 텐서 곱 vs. 크로네커 곱(Tensor Product vs. Kronecker Product)
14. 텐서는 벡터-여벡터 조합의 일반형(Tensors are a general vector-covector combinations)
15. 텐서 곱 공간(Tensor Product Spaces)
16. 색인 올림과 내림(Raising/Lowering Indexes)
-------------------------

댓글 없음:

댓글 쓰기