2019년 10월 29일 화요일

5.1 미분연산자가 벡터인 이유(Derivative Operators are Vectors Discussion)

5.1 미분연산자가 벡터인 이유(Derivative Operators are Vectors Discussion)



이번 강의는 이전 편에서 미분 연산자가 벡터가 되는 이유에 대해 부연 설명을 한다. 만일 미분 연산자가 벡터인 이유를 이해 했다면 다음 강의편으로 넘겨도 좋다. [다음]
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지난 강의에서 위치벡터 R을 기저축으로 편미분 하면 기저벡터가 된다는 것과 위치벡터가 없는 편미분 연산자 만으로도 기저벡터라고 표현하기로 하자고 배웠다.

{이번 강의는 원저자 eigenchris가 일반 상대론을 독학 하면서 격은 학습경험을 이야기 하고 있음.}

처음에 왜 이렇게 해야하는지 의문이 들었지만 그 답을 아무데서도 찾지 못했다. 이번 강의는 왜 이런 표기가 필요 했는지 자세히 살펴보기로 한다.
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텐서 미적분을 배워야 겠다고 마음먹은 것은 일반 상대론(GR)을 공부하고자 했을 때였다. 여러 교과서와 온-라인 자료들을 보면서 텐서 미적분안에 휜 공간(curved space), 시공간의 4-차원(4-dimensional time-space), 미분(differentials)에 대한 새로운 관점, 공변미분(covariant derivative) 따위가 나왔지만 처음부터 이해하기란 아주 어려워 더이상 진전할 수 없었다.
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그래서 이 텐서 미적분 강좌를 마련하였다. 턴서 대수(Tensor Algebra), 평면 텐서 미적분(Flat Tensor Calculus) 그리고 곡면 미분 기하학(Curved Differential Geometry)을 배운 후 마침내 일반 상대론(General Relativity)으로 들어갈 수 있으리라 생각했다. 그런데 곡면 미분 기하학을 배우기전에 텐서 미적분에서 편미분이 기저벡터가 되는 생소한 개념을 알고 넘어가야 한다는 사실을 알게되었다. 어느정도 개념을 익힌 후 미분 기하학을 배우고 다시 텐서 미적분으로 번갈아 공부하는 것이 효과적이다. 그래서 이 강좌는 평면에서 텐서 미적분을 다룬 후 향후 곡면 기하학으로 넘어갈 것이다.
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지난 강의에서 '2차원 평면(flat surface)' 위에서 움직이는 벡터 R를 x축으로 미소극한을 취하면 기저축과 같은 방향이되므로, 이 x축에 대한 편미분(partial derivative)을 기저벡터로 정의했다. [y축도 마찬가지임]
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그리고 평면위에서 곡선을 따라 움직이는 벡터 R을 이동인자 λ로 미분하면 곡선위 임의 위치의 접선벡터(tangent vector=벡터장 vector field)라 하였다.
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접선벡터를 다변수 미분 연쇄법칙(multi-variable chain rule)에 따라 확장하면 기저벡터와 기저축 성분 조합의 선형 합의 꼴이된다. 이 계산은 모두 2차원 평면에서 이뤄진다. [벡터 R과 그 원점(origin) 그리고 접선 벡터 모두 2차원 평면위에 놓여있다.]
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이번에는 '평면'이 아닌 '곡면'의 2차원을 생각해보자. [평평하든 굽었든 '면(surface)'은 2차원(2-dimension)이다. 면 위의 한지점은 기저축의 성분 값으로 표현된다. '평면(Flat surface)'과 '곡면(Curved Surface)'의 차이를 인식해보자.] 곡면의 쉬운 예로 지구 표면을 달리는 자동차를 생각해보자. 지표면을 달리는 자동차의 속도를 구하려면 구면을 따라 움직이는 위치벡터(position)의 원점을 잡아야 한다.
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움직임 벡터의 원점은 지구의 중심이 되고 위치 벡터를 움직인 인자(물리학에서 대개 시간)으로 미분한 속도 벡터는 구면의 접선 방향이 된다. 이때 곡면과 평면의 차이가 발생한다. 곡면의 경우 원점과 접선 벡터가 모두 '면' 위에 놓이지 않게된다. 이를 'Extrinsic' 기하학 이라 한다. 말그대로 원점과 속도벡터가 면 외부에 놓이는 것을 허용한다는 뜻으로, 2차원 구면위의 현상을 기술 하려면 3차원이 동원 되어야 한다.
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지구 구면을 평면에 옮겨놓은 지도상에서 위치벡터를 어떻게 정의할지 생각해보자. 2차원 평면에 옮겨놓은 지도상에는 (구의 중심인) 원점을 표기하기는 불가능하다. 지도상 한점에서 위치 벡터를 잡아보자. 벡터는 직선이다. 하지만 구면의 지구 표면에서 실제로는 곡선이다. 직선이어야 하는 벡터를 그리는 것은 불가하다.
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직선인 벡터를 그리기 위해 표면의 시점에서 구를 가로질러 종점이 닫는 표면까지 직선을 그을 수 있다. 이렇게 표면을 벗어나 (실제로는 허용되지 않지만) 벡터를 그려 해석하는 방법을 'intrinsic' 기하학이라 한다. 면의 내부로 들어갔다는 의미다.
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In General Relativity, when we are studying 4-dimensional space-time geometry, we run into this exact situation[INTRINSIC Geometry로 풀어야 하는 상황]. Space-time in GR is curved. So we can draw straight lines in the curved surface. So, that means we can draw position vectors. And we can pick an origin point outside 4-dimensional space-time, because that would mean we'd be picking a point outside of universe. And I don't really even know what that would mean.

So, we have problem here in GR. We will force to use intrinsic geometry to study space-time. But how can we study things like velocity, if we are not allowed to use position vectors?

시공간을 다루는 일반 상대론의 기하학에서도 굽은 면에 직선을 그으려 할 때 이와 동일한 경우를 접하게 된다. 일반상대론의 시공간은 굽어있다. 물론 이 굽은 면 위에 직선을 그을 수도 있다. 이 말은 위치벡터를 그릴 수 있다는 뜻이된다. 그리고 4차원 시공간 밖에 원접을 잡을 수 있다는 뜻이된다. 그렇다면 우주의 중심을 어디로 잡을수 있단 말인가.

일반상대론의 문제가 바로 여기에 있다. 할 수 없이 'intrinsic' 기하학을 채택할 수 밖에 없다. 하지만 (우주의 원점을 잡을 수 없으므로) 위치 벡터를 잡을 수 없는 상황에서 속도 같은 문제를 어떻게 묘사할 수 있을까. [속도는 dR/dλ 다. 그런데 위치 벡터 R를 표현할 원점을 모른다]
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The solution is realized that while we can draw straight line on the surface we can still draw curved path.

You notice that on this surface of the Earth, here, we're already have some grid lines defined on the map already. And if we have curves that means that we can still define derivatives with respect to those curves. right?

If this is the curve of increasing x, then we can still define derivatives with respect to the x. And if this is a curve of any increasing y, then we can still define derivatives with respect to y. So we can use normal position vectors to talk about direction on that surface. But we can't use this derivative operator when we talk about different directions.
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The partial derivative with respect to x points in the x direction. And the partial derivative with respect to y points in the y direction.
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And if we have some path that travel around on Earth's curved surface, we can still consider the direction at the path that is pointing in using the derivative with respect to the curve parameter, λ.

And we can break this direction out into x and y components using the multi-variable chain rule that we have for derivative operators.

So, you shouldn't think of this direction vector as actually connecting these two point on the Earth. This derivative just gives the general direction that the curve is traveling in at any given point.

So, derivatives give us a way talk about directions on a curved surface in a ways that is completely intrinsic to the surface, and doesn't require an outside space in any way.
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And we can use same approach in 4-dimensional space-time. While we can't draw straight line we can still draw a curved path. And that means we can take derivatives with respect to path parameter to get a sense of different directions.
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So the old notation uses the actual vectors from the vector spaces, R2, R3 to define the directions. But the new notation uses the vector space of derivative operators which is formally call the tangent vector space as denoted TpM, which is the vector space of derivatives at some point p on a surface M. So keep in mind that these vectors and these vectors are in fact different vectors from different vector spaces.
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[이전] 5. 미분 변환 규칙(반변)(Derivative Transformation Rules (Contravariance))
[다음] 6. 차분형은 여벡터(Differential Forms are Covectors)
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강의목차:
Tensor Calculus by eigenchris @ Youtube

0. 소개(Introduction)
1. 다변수 미적분 요약(Multi-variable Calculus Review)
2. 직각좌표계와 극좌표계 그리고 기저벡터(Cartesian & Polar Coordinates, and Basis Vectors)
3. 자코비언(The Jacobian)
4. 미분하면 벡터된다(Derivatives are Vectors)
5. Derivative Transformation Rules (Contravariance)
5.1 Derivative Operators are Vectors Discussion
6. Differential Forms are Covectors
7. Covector Field Components
8. Covector Field Transformation Rules (Covariance)
9. Integration with Differential Forms
10. Integration with Differential Forms Examples
11. The Metric Tensor and Arc Lengths (flat space)
12. The Metric Tensor in Curved Spaces for Measuring Arc Length
13. Gradient vs d operator (exterior derivative_differential)
14. Gradient explanation + examples
15. Geodesics and Christoffel Symbols (extrinsic geometry)
16. Geodesic Examples on Plane and Sphere
17. The Covariant Derivative (flat space)
17.5 Covariant Derivative (Component Definition) - Optional
18. Covariant Derivative (extrinsic) and Parallel Transport
19. Covariant Derivative (Intrinsic) and Geodesics
20. The Abstract Covariant Derivative (Levi-Civita Connection)
21. Lie Bracket, Flow, Torsion Tensor
22. Riemann Curvature Tensor Geometric Meaning (Holonomy + Geodesic Deviation)
23. Ricci Tensor Geometric Meaning (Sectional Curvature)

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