원본출처: Tensors for Beginners by eigenchris(YouTube)
지난번 강의에서 텐서의 한 예로 벡터를 다뤘다. 이번에는 텐서의 또다른 예로 여벡터(Covector)를 소개한다. 먼저 여벡터란 무엇인지 알아보자. [벡터도 아닌 것이 벡터인 척(如)하는 벡터. 벡터의 transpose 꼴]
여벡터는 기본적으로 행 벡터다(row vector). 벡터가 수직(column)으로 배열된 숫자라 한다면 여벡터는 행(row)으로 배열된 것이다. 행으로 배열 되었다고 뭐가 다르랴 하겠지만 그리 간단치 않다. 열 벡터(column vector)와 행 벡터(row vector)는 완전히 다른 객체이기 때문이다. 열 벡터와 행 벡터는 모든 기저벡터가 직각이고 길이가 1일 직교단위(ortho-normal)인 경우 실질적인 차이는 없다. 하지만 (기저 벡터가 임의 각도에 임의 길이인) 일반화된 기저벡터에서는 열 벡터와 행벡터는 완전히 다르다.
행 벡터는 열 벡터에 대한 함수(function)로 취급될 수 있다. 예를 들어 원소가 2와1인 행 벡터와 3과 -4인 열 벡터를 곱해 보자. 잘 알고 있는 대로 곱의 결과는 2다. [스칼라 값이 나온다. 다대'일' 대응은 함수의 가장 기본적인 요건이다!].
[갯수가 n개인] 열벡터 v에 작용하는 일반 여벡터(혹은 행벡터) α 를 α(v)라고 표현하고 [함수의 기능을] 행벡터와 열벡터의 곱이라고 정의하자. 이 곱셉은 간단하게 총합(summation)기호 ∑로 기술될 수 있다[벡터 성분은 윗첨자(contravariant)로 표기되어 있음]. 이를 다시 함수관계로 표현하면 함수 α는 벡터공간 V을 취하여 스칼라인 실수 R로 사상되는 함수다.
[여벡터의 선형성]
행벡터의 함수작용을 보여주는 예를 더 보자. 두 열벡터의 합을 입력으로 하는 행 벡터의 예다. 계산의 한 방법은 두 열 벡터에 행 벡터가 각각 작용한 경우다. 계산 결과는 5다.
이번에는 다른 방식으로 열벡터의 합을 먼저 계산하는 경우다. 두 열벡터의 합을 입력으로 행벡터 함수를 계산하면 역시 5가 된다.
이로써 행 벡터의 특성을 알 수 있다. 행벡터 함수가 열벡터의 합에 작용한 것과 각각의 열벡터에 작용한 것이 같다.
이번에는 스칼라 값을 벡터에 곱하는 경우다. 이 역시 스칼라 값을 입력인 열벡터에 곱한 후 행벡터 함수 입력으로 적용한 경우와 행벡터에 열벡터를 적용한 후 나중에 스칼라 값을 곱하는 경우와 같은 결과를 얻는다.
앞서 보인 예를 통해 여 벡터(행벡터)의 중요한 특성을 정리해보면 여 벡터[함수]는 선형성(Linerity)을 갖는다는 것이다.
여벡터를 어떻게 그림(화살표)으로 표현할 수 있을지 알아보자. 이미 알고 있듯이 화살표로 표현한 벡터는 익숙하다(노란색 화살표). 하지만 여벡터가 함수라는데 이렇게 화살표로 표현해도 될지 어색할 뿐이다(검은색 화살표). 다른 방법을 찾아보자.
2열의 행벡터가 함수라고 했으니 입력이 될 벡터를 2개의 변수 x와 y로 놓자. 그리고 두 변수를 입력으로 하는 이 함수가 만들어낼 한개의 값을 그림으로 나타내 보자. 이는 마치 지도의 등고선을 긋기나 입체도형의 단면 자르기와 같다. 입체도형에서 동일한 높이 단면을 그려보면 다양한 외곽선(contour)을 볼 수 있다. 지도의 등고선을 보면 짧은 길이에 여러 등고선을 통과하면 매우 가파르고(A), 같은 갯수의 등고 선이 통과하더라도 길이가 길면 완만하다(B). [가로 지르는 등고선의 수와 벡터의 기울기(방향)를 생각해보자. 등고선은 '눈금'으로 볼 수 있다.] 이 아이디어를 기초로 여벡터를 그림으로 설명해 보기로 한다.
2차원 행벡터 함수 [2 1]를 시각화 해보면 다음과 같다. 이 함수가 갖게될 값[지도에서 고도선(contour line)의 갯수]를 0, 1, 2, 4, 5, ... 그리고 -1, -2, -3.... 로 놓고 각 값에 해당하는 함수의 그래프를 그리면 기울기가 -2인 여러 직선[y=-2x+c]의 다발(stack of line, 지도에서 적층된 등고선)로 아래 그림과 같다. 직선의 수직 방향으로 부호를 갖는데 우측 상단 반향으로 적층선[지도의 고도]이 증가하는 방향이며 좌하단 방향으로 감소하는 방향이다.
[7:10] 적층선에 직각으로 벡터 [2 1]을 검은색 화살표로 그려놓자. 이 화살표가 통과한 적층선의 갯수가 여벡터 함수 α를 표현한 것이다.
벡터가 통과하는 직선의 수로 여벡터를 표현하는 방법은 매우 유용하다. 그 유용함을 보여주는 예를 보자. 다음과 같이 동일한 여벡터 α에 다양한 크기와 방향을 갖는 벡터를 그렸다. ['stack of line'이 여벡터다. 여벡터는 '벡터 같은 것'이지 실제로 벡터가 아니다.] 벡터 v에 작용하는 여벡터 α의 값[입력 v에 대한 함수 α의 결과]은 벡터 v가 통과하는 여벡터의 등간격 선의 갯수로 표현된다. 한 여벡터 선상의 모든 점은 같은 여벡터 값을 갖는다. [따라서 벡터의 방향과 크기가 달라도 화살표의 끝이 한 여벡터 선상에 도달 했다면 여벡터 값이 동일한 벡터들이다.] 좌표계와 성분에 상관 없이 등간격 선(계량눈금)의 숫자 만으로 벡터 v를 이해할 수 있다. 여 벡터의 유용성을 보여주는 단순하면서도 중요한 예다.
이번에는 여벡터의 변형을 보기로 한다. 동일한 벡터에 대해 눈금 간격이 다른 여벡터를 적용해 보자.
눈금간격이 촘촘해 지면, 다시말해 여벡터 스케일이 커지면 함수 값도 증가한다. 반대로 눈금간격이 넓어지면(스케일이 작아지면) 함수 값도 감소한다. 이것이 여벡터(covector)의 스케일 특성이다[스케일과 벡터의 크기가 같이 변한다. 앞서 봤던 벡터 성분(vector components)은 이와 반대였다(contravariant)는 점을 기억해 두자.] 이번에는 여벡터의 합을 보자.
두 여벡터를 각각 β와 γ라 하고 눈금 간격은 같다. 여벡터 β는 수직 등간격이며 γ는 수평 등간격이다. 벡터 v에 대하여 β는 3, γ는 2다. 두 여벡터를 더한 새로운 여벡터 (β+γ)에서 벡터 v는 5다. 수평 눈금으로 3칸, 수직눈금으로 2칸이 적용된 벡터 합이다. 이중 벡터공간에서 여벡터의 합은 앞서 봤던 선형성과 다르다.
여벡터(Covector)를 정리해 보자.
여벡터는 벡터를 실수로 대응(사상, mapping)시키는 함수로 선형성(Linearity)을 갖는다. 아울러 이중 벡터 공간의 원소이기도 하다. 앞서 보인 벡터공간에서의 여벡터 선형성과 비교해보면 이중 벡터 공간에서는 선형성은 차이가 있다. 여 벡터는 등위선 들의 집합으로서 특정 좌표계와 성분에 의존하지 않아도 벡터를 기술 할 수 있다.
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[이전] 3. 벡터 변환규칙(Vector Transformation Rules)
[다음] 5. 여벡터 성분(Covector Components)
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[구구단만 알아도 '텐서']
-1. 동기(Motivation)
0. 텐서의 정의(Tensor Definition)
1. 정역방향 변환(Forward and Backward Transformation)
2 벡터의 정의(Vector Definition)
3. 벡터 변환 규칙(Vector Transformation Rules)
4. 여벡터 란?(What's a Covector?)
5. 여벡터 성분(Covector components)
6. 여벡터 변환 규칙(Covector Transformation Rules)
7. 선형 사상(Linear Maps)
8. 선형사상 변환규칙(Linear Map Transformation Rules)
9. 측량 텐서(Metric Tensor)
10. 쌍선형 형식(Bilinear Form)
11. 선형사상은 벡터-여벡터의 짝(Linear-Maps are Vector-Covector Pair)
12. 쌍선형 형식은 여벡터-여벡터 짝(Bilinear Forms are Covector-Covector Pairs)
13. 텐서 곱 vs. 크로네커 곱(Tensor Product vs. Kronecker Product)
14. 텐서는 벡터-여벡터 조합의 일반형(Tensors are a general vector-covector combinations)
15. 텐서 곱 공간(Tensor Product Spaces)
16. 색인 올림과 내림(Raising/Lowering Indexes)
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