2019년 9월 30일 월요일

9. 측량 텐서(Metric Tensor)

9. 측량 텐서(Metric Tensor)



이번편은 텐서의 마지막 예로서 측량 텐서를 다룬다. 측량텐서(metric tensor)는 공간에서 벡터의 길이, 각도 측정할때 활용된다.



먼저 다음과 같은 질문을 해보자.

벡터의 길이는 어떻게 측정할까(How do you get the length of vector)?

2차원 공간의 벡터의 길이는 직각 삼각형의 사선의 길이를 구하는 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)로 쉽게 측정할 수 있다. 이때 벡터를 e_i 공간에 놓고 측정한 것이다.



이번에는 e_tilde 기저공간에서 동일한 벡터의 길이를 구해보자. 길이가 다르다. 그 이유는 다 알다 시피 직각 삼각형이(right angle triangle) 아니기 때문이다.



피타고라스 정리는 직교정규 좌표계(orthonormal basis)가 아닌 경우 통하지 않는다. 그러니까 피타고라스 정리는 기저의 길이가 1일고 서로 직교인 경우에 만 적용된다.



기저벡터가 서로 직각이라고 해서 맞는 것도 아니다.



그렇다면 벡터의 길이는 어떻게 구할까? 피타고라스 정리에 의한 벡터 길이를 구하는 방법은 직교정규 좌표계라는 특별한 경우에 적용될 수 있다. 벡터의 길이를 구하는 범용의 계산 방법은 두 벡터의 스칼라 곱(dot product)이다.




먼저 직교정규 좌표계인 e_i 기저에서 벡터 v의 길이를 구해보면 다음과 같다. 아울러 직교정규 좌표계에서 벡터의 길이를 구하는 공식은 다음과 같다.



이어서 변형된 좌표계 e_i_tilde 에서 벡터 v의 길이는 다음과 같다. 변형된 기저의 스칼라 곱은 이미 알고 있는(피타고라스 정이라 작동되는) 직교정규 기저 e_i로 부터 구할 수 있다. 아울러 변형된 좌표계에서 벡터의 길이를 구하는 공식은 다음과 같다.



벡터의 스칼라 곱(dot product)이 기저공간의 변형에 불변하는 벡터 길이 측정 방법이 됨을 알아봤다. 앞서 본 예를 통해 벡터의 스칼라 곱과 성분(계수 값)의 관계를 다시 살펴보자. 기저벡터의 길이가 길어지면 성분은 작아지고 반대로 기저 벡터 길이가 짧아지면 벡터 길이의 불변성을 보전하기 위해 성분은 증가함을 알 수 있다.



각 기저공간에서 벡터의 제곱길이를 측정하는 방법을 연속적인 행렬의 곱으로 나타내 보자. 각 기저공간에서 불변인 벡터의 길이를 측정할 때 사용되는 행렬을 측량 텐서(metric tensor)라 한다. 측량 텐서는 g로 표현하며 벡터와 마찬가지로 불변하며 각 기저에서 행렬의 모습은 다르지만 동일한 벡터의 길이를 측정한다.



벡터의 길이를 측정하는 공식을 일반화 시켜보면 다음과 같다. 이때 각 기저의 스칼라 곱을 알아야 한다.


이들 기저의 스칼라 곱을 벡터로 표현하면 다음과 같다. 각 좌표계에서 측량 텐서를 의미한다.



행렬로 표현된 측량 텐서로 벡터 길이 제곱을 구하는 공식을 총합기호 간략화로 기술하면 다음과 같다.



앞서 측량 텐서는 벡터의 길이뿐만 아니라 각도의 측정에도 활용 된다고 했었다. 길이는 이미 다뤘고 이제부터 측량 텐서로 각도의 측량에 대해 알아보자.

예를 들어 다음과 같이 직교정규인 원 기저(청색)공간과 한 축이 약간 기울어진 변형된 기저(적색)공간의 예를 보자. 원 기저벡터로부터 변형된 기저벡터의 스칼라 곱을 구해보자.



기저벡터의 스칼라 곱을 구한 이유는 각 좌표계에 적용할 수 있는 측량텐서를 얻기 위함이다.



길이가 각각 a, b인 두 벡터 v와 벡터 w가 각도 θ로 벌어져 있다. 변형 기저벡터를 길이가 1로 놓고 각 벡터에 평행하게 놓자. 정규 기저벡터의 스칼라 곱을 알고 있다. 따라서 두 벡터 v와 w의 곱은 두 벡터의 길이 곱에 코사인 θ가 된다. 두 벡터 사이의 각도를 알려면 두 벡터의 스칼라 곱을 알면 된다.



간단한 대수 연산으로 두 벡터의 곱을 계산할 수 있다. 마침내 두 벡터의 곱을 해당 좌표계의 성분과 측량 텐서로 기술 할 수 있다는 것을 알수 있다.



이제 측량 텐서가 서로다른 기저 좌표계 사이의 변환에 어떻게 활용 되는지 보자.

변형 좌표계에서 측랼텐서는 기저벡터 사이의 스칼라 곱이다. 원좌표계와 변형 좌표계 사이의 변환 식을 적용하여 변형 좌표계의 측량 텐서를 원 좌표계의 측량텐서로 기술 할 수 있다. 이때 두번의 전방향 변환행렬 곱이 이뤄진다.



반대로 역방향 변환도 같은 방식으로 구하면 두번의 역방향 변환행렬 곱이 포함된다. [행렬의 색인 관계를 참조하여 총합 기호가 간략화 된 식임에 기억하자.]



원좌표계와 변형 좌표계 사이의 벡터 성분 변환 공식과 측량텐서 식을 활용하여 두 좌표계사이에 벡터의 불변성을 측량 텐서로 보이도록 하자.




텐서에 대해 지금까지 배운 내용을 정리해보자. 다음과 같은 4가지 텐서에 대해 배웠다.

1. 기저 여벡터의 변환과 벡터의 성분 변환은 1회의 반변으로 이뤄진다.이를 '(1,0) 텐서'라 한다.

2. 기저벡터의 변환과 여벡터의 성분 변환은 1회의 공변으로 이뤄진다. 이를 '(0,1) 턴서'라 한다.

3. 선형사상은 1번의 반변과 1번의 공변으로 이뤄진다. 이를 '(1,1) 텐서'라 한다.

4. 측량 텐서는 2번의 공변으로 이뤄진다. 이를 '(0,2) 텐서'라 한다.



이번 강좌 시리즈를 시작하면서 '텐서'에 대해 다음과 같이 정의 했었다. 텐서는 좌표변화에 불변(invariant)하며, 좌표 성분의 변화는 특별하면서 예측 가능해야 한다고 했었다. 이제 이정의에 대해 어느정도 이해가 되었을 것이다. '특별한 예측 가능한'이란 법칙(rule)의 존재를 의미한다.




'텐서' 라는 객체에 적용될 변환의 법칙은 변환에 관한 것으로 다음과 같이 기술된다.

The transformation rules that tensors will obey is this:




If you have some object with components and some of those components are upstairs which are the contravariant components and that some components are downstairs which are the covariant components.

언뜻 보기에 다소 복잡해 보이지만 어렵지 않게 설명 될 수 있다. '성분을 갖는 어떤 객체(object with some components)' T 에 적용되는 규칙이다. 윗 첨자로 표기되는 성분은 반변(contravariant)의 법칙을 따르며 아랫 첨자로 표기되는 성분은 공변(covariant)의 법칙을 따르는 성분이다.

The way we transform them just by applying a series of Backward and Forward transforms.

텐서에 변환을 적용하는 방법은 일련의 역방향 및 정방향 변환 행렬을 적용[주) 표준 행렬 곱셈이 아니다]하는 것이다.

In the forward direction going from Old to New, on these upstairs, series transformation using the Backward Transformations like these i,j,k,.... And the downstairs in these series transform using the forward transformations like here with the r, s, t,...

'정방향 변환 규칙'은 원 좌표계에서 새 좌표계로의 변환인데 역방향 변환B 와 정방향 변환 행렬 F 를 연속으로 적용한다. 이때 역변환 행렬 B의 아래첨자 색인 i, j, k... 가 텐서의 윗첨자로 간다(contravariant). 이어서 순변환 행렬 F의 윗첨자 색인 r, s, t... 가 텐서의 아랫첨자로 가는(covariant) 규칙이다.




And the reverse transformation from 'New' to 'Old', it's the same thing but opposite. We replace the Forward transforms with Backward transforms and we replace Backward transforms with Forward transforms.

'역방향 변환'의 규칙은 변형된 좌표(New)에서 원 좌표(Old)로의 변환으로 '정방향 변환'과 같으나 변환행렬이 적용되는 순서가 반대다. 먼저 순방향 변환 행렬이 적용되고 역방향 변환행렬이 나중에 적용된다.




So, anything that follows these rules, when changing coordinates whether its transform or whether to any, anything that follows these rules is Tensor.

변형된 좌표계 사이에 위와 같은 변환 규칙을 따르는 (행렬)이 바로 텐서다.

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[주) 행렬의 '적용(apply transformation)': 위의 변환규칙은 총합기호 ∑ 가 생략된 간략화 표기이며 첨자 표기는 변환행렬을 나타 내지만 '표준 행렬 곱셈'이 아니다. 8. 선형사상 변환규칙 편 참조]


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.... Just to make it clear, when a Tensor has m-upstairs, contravariant indices and n-downstairs, covariant indices, we call that tensor an (m,n)-Tensor. So, these two numbers are called tensor's type. They tells how many contravariant rules and covariant rules, when we need to follow coordinate transforming tensor.


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And last thing we're going to say, you may recall this other definition. I gave tensor is, Tensors are collection of vectors and covectors combined together using  the tensor product. And I tald you that these were the best definition of tensor we can come up with.

끝으로 텐서에 대한 가장 적절한 정의를 다음과 같이 했었다는 것을 기억해보자.


이제까지 공부해 오면서 벡터(vector)와 여벡터(covector)가 무엇인지 배웠다. 이제 '텐서 곱(tensor product)'이 무엇을 의미하는지 알아보자. 그럼으로써 위와 같은 정의가 가장 적절한지 알게될 것이다.

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[이전] 8. 선형사상 변환규칙(Linear Map Transformation Rules)
[다음] 10. 쌍선형 형식(Bilinear Forms)

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[구구단만 알아도 '텐서']
-1. 동기(Motivation)
0. 텐서의 정의(Tensor Definition)
1. 정역방향 변환(Forward and Backward Transformation)
2 벡터의 정의(Vector Definition)
3. 벡터 변환 규칙(Vector Transformation Rules)
4. 여벡터 란?(What's a Covector?)
5. 여벡터 성분(Covector components)
6. 여벡터 변환 규칙(Covector Transformation Rules)
7. 선형 사상(Linear Maps)
8. 선형사상 변환규칙(Linear Map Transformation Rules)
9. 측량 텐서(Metric Tensor)
10. 쌍선형 형식(Bilinear Form)
11. 선형사상은 벡터-여벡터의 짝(Linear-Maps are Vector-Covector Pair)
12. 쌍선형 형식은 여벡터-여벡터 짝(Bilinear Forms are Covector-Covector Pairs)
13. 텐서 곱 vs. 크로네커 곱(Tensor Product vs. Kronecker Product)
14. 텐서는 벡터-여벡터 조합의 일반형(Tensors are a general vector-covector combinations)
15. 텐서 곱 공간(Tensor Product Spaces)
16. 색인 올림과 내림(Raising/Lowering Indexes)
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