2019년 10월 17일 목요일

2. 직각좌표계와 극좌표계 그리고 기저벡터(Cartesian & Polar Coordinates, and Basis Vectors)

2. 직각좌표계와 극좌표계 그리고 기저벡터(Cartesian & Polar Coordinates, and Basis Vectors)




이번 강의는 2차원 직각 좌표계와 극좌표계 그리고 편미분이 기저벡터가 되는 이유를 설명한다.
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2차원 평면위의 각종 기하학적 객체(도형)를 숫자(좌표)를 이용하여 기술하는 방법으로 좌표계가 도입되었다.
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대표적 좌표계로 직교 좌표계와 극좌표계가 있다. 원점(origin)을 정하고 직각인 두 축의 거리를 값 (x,y) 으로 표현한다. 극좌표는 한축에서 반시계 방향으로 각도를 그리고 원점에서 거리를 값 (θ,r)으로 표현한다.
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이렇게 두가지 좌표체계를 만들어낸 데는 두가지 이유를 꼽을 수 있다. 먼저, 물리현상을 기술의 편리성이다. 예를 들어 공을 위로 던졌다가 떨어지는 현상을 기술 하기에는 직교좌표가 편하다. 지구를 도는 인공위성의 원궤도 운동을 기술하기에는 극좌표가 편리하다.
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두번째 이유라면 직각 좌표계가 인간이 만들었다는 점이다. 직교좌표계가 아주 직관적이긴 하나 좌표계가 아주 특이하더라도 물리법칙은 동일하다.
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동일한 점 P에 대한 직교좌표(Cartesian Coordinate)와 극좌표(Polar Coordinate)의 표현은 달라보이지만 변환식을 통하면 서로 대응된다. 같은 점 P가 다른 값으로 표현 되었다면 두 좌표계의 기저벡터(basis vector)가 다르다는 뜻이된다.
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두 좌표계의 기저벡터는 어떻게 정의 될지 알아보자. 2차원 좌표계의 기저벡터를 정의 할때 두개의 축(방향이 반드시 달라야 함)으로 각각 평행하게 등간격의 격자를 놓았다. 두 축이 직각이고 각 축에 평행한 등간격 격자를 놓고 격자선을 따라 기저벡터를 정의하였다. 변형된(찌그러 지거나/또는[skew] 두 축의 격자 간격이 다른[scale]) 좌표계 역시 격자선을 따라 기저벡터를 정의 하였다.
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원의 반지름 r과 회전 각 θ을 좌표계의 축으로 삼는 극좌표계(Polar Coordinate) 역시 기저벡터를 정의하는 방식은 같다. 성분증가를 따라가며 기저벡터를 정의한다. 극좌표에서는 원점에서 반지름이 증가하는 방향을 따라 한 기저벡터를 정의하고, 반지름의 회전각도에 접선방향을 따라 기저벡터를 정의한다.
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처음 강의를 시작할때 기저벡터는 편미분과 같다고 했었다. 이에 대해서 알아보기로 하자.
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먼저 직교좌표계다. 벡터 R의 시점을 좌표계 원점으로 잡았다. 그리고 원점에서 x축으로 미세하게 h 만큼 움직인 벡터 R_h가 있다. 벡터 R_h에서 벡터 R을 뺀 벡터가 e_x 다. 움직임이 0으로 접근하는 극한값을 취하면 벡터 R의 x축에 대한 편미분이 된다. 벡터 R의 편미분을 ∂R/∂x 이 기저벡터(basis vector)다. [벡터 R의 끝점은 좌표 (x,y)로 표현된다. 이 끝점이 공간상에서 움직일때 x축만의 편미분을 취하여 이를 기저벡터로 삼는다.]

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y축에 대해서도 동일하다.
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극좌표계의 경우를 보자. 반지름이 증가하는 방향을 r축으로 잡자. 반지름 r축으로 미세하게 증가한 벡터 R_h에서 벡터 R을 뺀 벡터의 극한값을 e_r을 극좌표의 r축의 기저벡터로 삼는다. 즉, 벡터 R의 반지름 방향만의 미소극한 ∂R/∂r 이 극좌표 r 축의 기저벡터다.
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기저벡터 e_r는 극좌표의 또다른 한 축인 각도 θ가 변하면 방향이 변한다는 점에 주목하자. [편미분은 관심있는 변수에 대해서만 변위를 측정한다.]
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2차원 극좌표의 다른 축인 각도 θ의 기저벡터의 정의는 다음과 같다. 기저벡터는 오직 해당 축의 증가하는 방향에 따라서 정의된다. 미세 각도 증가는 벡터 R_h에서 벡터 R을 뺀 벡터 e_θ다. 미소극한은 원의 접선(tangential line)으로 θ축의 기저벡터로 정의한다.
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회전각 θ의 위치(성분)에따라 기저벡터 e_θ의 방향이 달라진다는 점에 유의하자.
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이에 덧붙여 반경이 넓어질 수록(원점에서 멀어 질수록) 기저벡터 길이가 길어진다.
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극좌표의 다른 축 반지름의 길이에 따라 각도 축 기저벡터가 변하는 특징을 보정하기 위해 반지름으로 나눠주어 정규화 시키는 과정을 한번 더 거친다. 대부분 교과서에서 각도축 기저벡터의 정규화(normalization)을 위한 추가 과정을 포함 하고 있으나 이 강좌에서는 생략한다.

[9:57] A lot of textbooks actually go on extra step and enforce to the theta basis vector to have length 1 by dividing it by little r. But I feel like this is very artificial choice because it breaks the this idea of equating basis vector with partial derivatives. So, the result that your textbook gives about polar coordinate might look a little different that I give because of r coordinate.
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직교좌표와 극좌표의 기저벡터를 비교해보면 아래와 같다. 직교좌표에서는 어느 지점에 있든 기저벡터는 동일하다. 이에 반해 극좌표에서 기저벡터는 위치에 따라 방향도 다르고 특히 각도축 기저벡터는 길이도 달라진다. [기괴해지는 좌표계. 하지만 기괴한 좌표계에서 원운동을 하는 인공위성을 해석하기 훨씬 수월하다.]
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이번 강의를 요약해보자.
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2차원 좌표계 두가지를 배웠다. 직각 좌표계와 극좌표계. 그 두 좌표계는 표시하는 방법이 다를뿐이다. 상호 동등하게 변환하는 공식이 있다.
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기저벡터를 정의하는 새로운 방법을 배웠다. 임의 벡터를 좌표계의 한 축으로 편미분 한 것이 해당 축의 기저벡터다.
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왜 이렇게 복잡하게 좌표계를 꼬는가?

After having heard all this, you might feeling like this use of partial derivatives as basis vector is kind of convoluted and silly. But there's actually and extremely good reason for doing things this way. And that's on figure out the forward and backward transform is between old basis and new basis.

And I'm gonna talk about the forward and backward transform for Polar and Cartesian coordinate in the next video. But, in the mean time, trying to see if you can get this forward transform might be. And as a hands, you know that the forward transform is related to multi-variable chain rule.
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직교좌표계와 극좌표계의 변환 규칙에 대해서 다음편에서 논의 해보겠으나 그전에 살짝 맛보기로 보면, 기저벡터의 변환이 다변수 미분의 연쇄법칙과 비슷하지 않은가.


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따지고보면 공간을 규정하는 것, 시스템을 규정하는것, 해석을 수월케하는 것 모두 기저벡터가 관건이다. 직교좌표계에서 기저벡터는 일직선 축상에서 정의된 것으로 매우 단순했다. 극좌표에서 기저벡터는 원의 반경과 둘레의 접선으로 다소 복잡하다. 게다가 한 축의 성분이 변하면 기저벡터의 방향이 원둘레를 따라 변한다. 만일 기저벡터가 단순히 직선이거나 원의 모습을 취하지 않는 다면 매우 기괴한 좌표계를 만들어 낼 수도 있다. 기괴한 좌표계에서 벡터의 모습도 기괴하게 변한다. 두점사이의 가장 짧은 경로를 단순 직선으로 보는 직교좌표계의 시각으로 기괴한 좌표계의 최단경로를 보면 기괴하게 굴곡져 보인다. 직선이든 기괴하든 '최단경로'라는 조건을 만족하기는 마찬가지다. 이상한 좌표계를 만들어내는 이유를 다시 생각해보라.


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[이전] 1. 다변수 미적분 요약(Multi-Variable Calculus Review)
[다음] 3. 자코비언(The Jacobian)
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강의목차:
Tensor Calculus by eigenchris @ Youtube

0. 소개(Introduction)
1. 다변수 미적분 요약(Multi-variable Calculus Review)
2. 직각좌표계와 극좌표계 그리고 기저벡터(Cartesian & Polar Coordinates, and Basis Vectors)
3. The Jacobian
4. Derivatives are Vectors
5. Derivative Transformation Rules (Contravariance)
5.1_ Derivative Operators are Vectors Discussion
6. Differential Forms are Covectors
7. Covector Field Components
8. Covector Field Transformation Rules (Covariance)
9. Integration with Differential Forms
10. Integration with Differential Forms Examples
11. The Metric Tensor and Arc Lengths (flat space)
12. The Metric Tensor in Curved Spaces for Measuring Arc Length
13. Gradient vs d operator (exterior derivative_differential)
14. Gradient explanation + examples
15. Geodesics and Christoffel Symbols (extrinsic geometry)
16. Geodesic Examples on Plane and Sphere
17.5_ Covariant Derivative (Component Definition) - Optional
17. The Covariant Derivative (flat space)
18. Covariant Derivative (extrinsic) and Parallel Transport
19. Covariant Derivative (Intrinsic) and Geodesics
20. The Abstract Covariant Derivative (Levi-Civita Connection)
21. Lie Bracket, Flow, Torsion Tensor
22. Riemann Curvature Tensor Geometric Meaning (Holonomy + Geodesic Deviation)


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