3. 자코비언(The Jacobian)

3. 자코비언(The Jacobian)



자코비언(The Jacobian)은 좌표계 간 변환에 사용된다. 사실 자코비언은 '텐서의 기초' 강좌에서 순방향 변환과 역방향 변환을 심화한 내용이라 하겠다.
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좌표계 변환에서 배운 내용을 기억해 보자. 벡터의 합 원리에 따라 원 기저벡터의 덧셈에 계수를 채워 넣는 것이었다. 그리고 변환 행렬을 세워 이를 순방향 변환 행렬이라고 불렀다. [참조: 1. 정역방향 변환(Forward and Backward Transformation)]
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같은 방법으로 직각좌표계에서 극좌표계로 변환 하는 방법을 찾아보자. 직각 좌계의 점들을 극좌표계로 나타내면 방향이 변하고 거리에 따라 길이도 달라지는 이상한(?) 기저벡터 체계로 바뀐다. [굳이 극좌표계라는 이상한 좌표계를 도입하려는 이유를 생각해보자.] 벡터의 합 원리에 따라 직교좌표계의 기저벡터 합으로 극좌표계로 변환 법칙을 세운다. 다만 계수를 찾아 채워 넣을 일이 남았다.
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이전 강의에서 벡터 R의 기저벡터는 편미분과 같다고 했으므로 이를 이용하면 쉽게 변환을 구할 수 있다.
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기저벡터를 편미분으로 대치하고 연쇄법칙을 적용하자.
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직교좌표의 위치 (x,y)와 극좌표계의 위치(r,θ)의 등가 표기방법을 알고 있으므로 이를 적용하자.
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그런데, 각도 축의 기저벡터 ∂R/∂θ는 거리 r에 따라 크기가 변한다는 점을 감안해 주어야 한다. 기저벡터는 측정도구의 눈금에 해당하므로 정규화 되어야 한다. 거리 r로 나워 줌으로서 쉽게 정규화 할 수 있다. [하지만 이번 강의에서는 정규화 하지 않은 표현을 쓰기로 한다]
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따라서 직교좌표계에서 극좌표계로의 변환을 순방향 변환이라고 하고 이를 변환행렬로 나타낸 것을 자코비언 행렬(Jacobian Matrix)이라 하자.
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자코비언 행렬은 순방향 변환으로 직교좌표계로부터 극좌표계로 기저벡터를 변환에 사용된다.
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직교좌표에서 극좌표로의  기저벡터 변환의 예를 들어보자. 아래와 같이 한점의 좌표는 (1,1)이다. 원점에서 거리 r은 √2 다. 각도 θ는 arctan(1/1)=π/4 이므로, 이점의 극좌표 위치는 (√2,π/4). 이 점벡터(point vector)에 대한 순방향 변환 행렬 F 는 아래와 같다. 순방향 변환행렬로부터 극좌표계의 r 축 기저벡터와 θ축의 기저벡터를 구할 수 있다. 그림 해석으로도 이 변환을 명백하게 알 수 있다.
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다른 예를 보자. 직교좌표계의 점 (-1,0)이다. 극좌표로 옮기면 이 점은 (1, π)다. 원점에서 거리 r=1이므로 순방향 변환 행렬 F 는 아래와 같다.
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순방향 행렬로부터 얻은 기저벡터 변환식과 그림해석을 비교해보자.
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이번에는 직교좌표계의 점 (1,-√3)에 대한 극좌표계로 변환의 예다.
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[그러고 보니 이상하다! 원래 기저벡터란 것이 좌표계의 기준을 잡아주는 것 아니었나? 그런데 여기저기 위치를 옮겨가며 점마다 그 위치에서 기저벡터를 따로 잡고 있다. 단위(unit)벡터와 기저(basis)벡터를 구분하자.]
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[4:48] Using this Jacobian matrix we can get different forward transform matrix for every single point in space, that takes the Cartesian basis vectors and gives us the Polar basis vectors. The Jacobian is a sort of like a master forward transform that works everywhere in the space. We just pick a point, substitute coordinates  of that point into Jacobian matrix and we have the forward transform matrix for that point.
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[5:15] Now we can also go on the reverse direction and build up the Cartesian basis vector out of the Polar basis vector using the same reasoning. We just write the basis vector as partial derivatives and use the multi-variable chain rule to get the equation.
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So, I'm not gonna go through the walk of calculating these derivatives, you can calculate the derivative of square root using chain rule and I actually had look up the derivative table on-line, because I didn't know of by heart. But the coefficients we get from partial derivatives are here.
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[모처럼 미분 연습]

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And I'm going to simplify a bit and rewrite like this. So, this is the backward transform, B also known as the Inverse Jacobian Matrix which we denoted by J with little minus 1 exponent.
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This matrix of partial derivative is the inverse Jacobian and gives us coefficients to build Cartesian basis vectors out of Polar basis vectors.
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Just like before, we can serve coordinates into the inverse Jacobian at any points and get the backward transformation matrix for that points.
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직교좌표계와 극좌표계간 기저벡터의 순방향 변환과 역방향 변환에 대해 알아봤다. 다변수 체계의 좌표계에서 편미분이 기저벡터가 되며 연쇄법칙으로 변환 규칙을 세울 수 있다는 것도 알았다. 연쇄법칙 덕분에 기저벡터를 정의하고 그 계수를 편미분을 취하여 구할 수 있다.

기저벡터의 합으로 표현된 변환식에서 계수를 뽑아 행렬로 표현한 것을 자코비언이라 한다. 순방향 변환행렬을 자코비언, 역방향 변환 행렬을 역 자코비언이다.
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새삼스러울 것도 없이 자코비언과 역 자코비언의 곱은 단위 행렬(identity matrix)이 된다. 두 행렬의 곱을 풀어 쓰면 다음과 같다.
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풀어쓴 행렬곱의 첫번째 원소를 따로 떼어 살펴보자. 마치 함수 f(r, θ)에 대한 전미분을 각 변수에 대한 편미분의 합으로 나타낸 표현한 공식과 같다. 함수 f 대신 x를 대입하면 그 값은 당연히 1이다. 이는 위의 자코비언과 역 자코비언 곱의 첫번째 원소와 일치한다.
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같은 방법으로 다른 원소들을 간략화 시켜 놓으면 결국 단위 행렬이 됨을 알 수 있다. 따라서 자코비언과 역 자코비언은 서로 역관계에 있다는 것을 증명한 셈이다.
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아인슈타인 표기법(Einstein Notation)을 사용하여 수월하게 자코비언을 기술해 보자. 먼저 좌표계의 축에 색인을 붙인다. 직교좌표계는 c 로 극좌표계는 p로 표기하기로 하자.
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이에따라 자코비언 행렬 곱을 다시 쓰면 다음과 같다. 연쇄법칙을 적용하면 가코비언 행렬 곱의 각 원소들은 결국 크로네커 델타와 같게된다. 이로서 자코비언과 역 자코비언 행렬은 서로 역관계에 있다는 것을 증명한 셈이다.
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요약...

서로다른 좌표계 사이의 정역변환을 다변수 미분으로 기술 될 수 있음을 보였다.
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편미분을 기저벡터로 나타내고 다변수 미분의 연쇄법칙에 따라 기저벡터의 성분인 계수도 편미분으로 구할 수 있다.
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기저벡터 변환식의 성분은 변환 행렬에 담을 수 있다. 다변수 편미분으로 표현된 변환 행렬은 자코비언 또는 역 자코비언이라 한다.
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다차원으로 일반화한 표현법은 다음과 같다. 아인슈타인 표기법이 활용된다.
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물론 편미분 대신 기저벡터로 표현 할 수 있다.
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[이전] 2. 직각좌표계와 극좌표계 그리고 기저벡터(Cartesian & Polar Coordinates, and Basis Vectors)
[다음] 4. 미분하면 벡터된다(Derivatives are Vectors)
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강의목차:
Tensor Calculus by eigenchris @ Youtube

0. 소개(Introduction)
1. 다변수 미적분 요약(Multi-variable Calculus Review)
2. 직각좌표계와 극좌표계 그리고 기저벡터(Cartesian & Polar Coordinates, and Basis Vectors)
3. 자코비언(The Jacobian)
4. 미분하면 벡터된다(Derivatives are Vectors)
5. Derivative Transformation Rules (Contravariance)
5.1_ Derivative Operators are Vectors Discussion
6. Differential Forms are Covectors
7. Covector Field Components
8. Covector Field Transformation Rules (Covariance)
9. Integration with Differential Forms
10. Integration with Differential Forms Examples
11. The Metric Tensor and Arc Lengths (flat space)
12. The Metric Tensor in Curved Spaces for Measuring Arc Length
13. Gradient vs d operator (exterior derivative_differential)
14. Gradient explanation + examples
15. Geodesics and Christoffel Symbols (extrinsic geometry)
16. Geodesic Examples on Plane and Sphere
17. The Covariant Derivative (flat space)
17.5 Covariant Derivative (Component Definition) - Optional
18. Covariant Derivative (extrinsic) and Parallel Transport
19. Covariant Derivative (Intrinsic) and Geodesics
20. The Abstract Covariant Derivative (Levi-Civita Connection)
21. Lie Bracket, Flow, Torsion Tensor
22. Riemann Curvature Tensor Geometric Meaning (Holonomy + Geodesic Deviation)
23. Ricci Tensor Geometric Meaning (Sectional Curvature)