10. 쌍선형 형식(Bilinear Form)

10. 쌍선형 형식(Bilinear Forms)



원래 '텐서곱(tensor product)' 강의로 이어질 계획이었으나 확실한 이해를 위해 몇편의 강의를 추가하기로 했다.먼저 텐서의 또다른 형태인 쌍 선형 형식(Bilinear Forms)이다. 앞선 강의에서 공부한 측량 텐서(metric tensor)가 쌍선형 텐서의 아주 특별한 경우다.



쌍선형 형식을 간략히 살펴보고 난 후 텐서곱을 다루기로 한다. 먼저 측량텐서를 복습해보자.

측량텐서는 기저벡터의 스칼라 곱이다. 스칼라 곱은 순서에 상관 없다. 이는 행렬에서 사선을 축으로 양쪽의 원소들이 일치 한다는(mirror images) 뜻이다.




그리고 '측량'이란 어떤 벡터의 길이와 두 벡터의 각도를 측정을 의미한다.




측량 텐서는 두개의 벡터를 입력받아 한 값(스칼라)를 출력하는 함수다. 따라서 두 벡터사이의 각도를 원한다면 두 벡터를 입력해 주고 길이를 원한다면 동일한 벡터를 입력으로 준다.




두 벡터를 입력으로 하는 측량 텐서의 계산식은 다음과 같다. 두 벡터를 다음과 같은 방식으로 연속적인 '행렬 곱셈'을 수행한다. [두 벡터중 하나는 행으로 다른 하나는 열로 놓고 행렬 곱셈 수행]



측량 텐서 함수의 a 배(scaling)는 함수 전체에 적용하거나 입력이 되는 각 벡터 혹은 벡터의 원소에 배값을 주어 계산한다.



주의 할 것은 배값을 두 입력인 벡터에 모두 적용해서는 않된다.



이번에는 덧셈 규칙이다. 함수 입력에 대한 덧셈 규칙,



하지만 입력의 분배 법칙 적용은 주의할 것.



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측량텐서는 쌍선형 형식의 아주 특별한 경우다. 쌍선형 형식은 측량텐서와 동일하게 두개의 입력을 받아 한 스칼라 값을 출력하는 함수다. 쌍선형 형식은 측량 텐서와 동일한 특성을 갖는다.


아울러 측량텐서와 마찬가지로 쌍성형 형식 또한 (0,2)-텐서다. 따라서 좌표계의 변형에 대하여 [벡터의 불변성을 유지하기 위한] 두개의 공변 규칙(행렬 곱)이 적용된다.



쌍선형 형식에 대해 알아보자. 먼저 '형식(Forms)'은 무슨 의미를 갖는지 알아보자. 복수의 벡터를 입력받아 한 실수를 출력하는 함수를 일컽는다. 앞서 배웠던 여벡터(covector)를 '선형 형식(Linear Forms)'이라 하는데, 입력에 대하여 함수가 선형성을 가지고 있으며 한개의 벡터를 입력받는 1-형식(1-Forms) 이라는 뜻이다.



쌍선형 형식(Bi-Linear Forms)는 두개의 벡터를 입력으로 받는 2-형식(2-Forms)이다. '쌍선형(Bilinear)'은 두 입력에 대하여 각각 독립적인 선형성을 갖는다.



두 입력 벡터 v와 w 중, v만의 선형성을 다룰 때 다른 입력 w는 상수 취급되어도 등식이 성립된다. 상대적으로 w만의 성형성을 다룰때 다른 입력 v는 상수 취급되어도 등식이 성립된다.

측량텐서와 쌍선형 형식모두 동일하게 특성들(두번의 공변 규칙적용과 선형성)을 가진다. 하지만 이 두 텐서는 확실하게 다른점을 가지고 있다. 앞서 말했듯이 측량텐서는 쌍선형 형식의 아주 특별한 경우라고 했었다. 다른 쌍선형 형식이 가지지 않은 측량텐서 만의 특성이라면 다음과 같이 두가지 점을 들 수 있다. 첫째, 입력의 두벡터 순서가 달라도 결과는 같다.  즉, g_ij와 g_ji가 같다. 행렬의 대각 원소를 기준으로 양쪽이 일치한다. 쌍선형 형식에서는 입력의 순서가 바뀌면 값이 달라진다. 두번째, 동일한 벡터를 입력으로 줄 경우 0보다 크거나 같아야 한다는 것이다. 벡터의 길이를 측정하기 위한 경우라 하면 길이는 0보다 작을 수 없다. 하지만 쌍선형 형식의 경우 음수가 나올 수 있다.



위의 예를 보자. 첫번째 측량텐서는 대각 원소 1과 1의 양쪽이 0으로 일치한다. 직교정규 좌표계에서 벡터의 길이 측정을 위한 텐서다[피타고라스 정리가 유효함]. 두번째 예는 대각으로 5와 5/16을 기준으로 양쪽 원소는 일치한다. 직각도 아니고 정규도 아닌 변형된 좌표계에서의 벡터 길이 측정 측량 텐서다. 이에 비해 비측량 쌍선형 형식의 예는 대각을 기준으로 좌우 원소가 다르다. 더구나 두번째의 경우, 만일 벡터 v의 원소가 1,1 이라면 출력이 -8로 음수가 된다[측량용이 아님, Non-metric]. 이 쌍선형 텐서는 측량 이외의 더 넓은 개념을 갖는다.


쌍선형 형식의 정의:

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[구구단만 알아도 '텐서']
-1. 동기(Motivation)
0. 텐서의 정의(Tensor Definition)
1. 정역방향 변환(Forward and Backward Transformation)
2 벡터의 정의(Vector Definition)
3. 벡터 변환 규칙(Vector Transformation Rules)
4. 여벡터 란?(What's a Covector?)
5. 여벡터 성분(Covector components)
6. 여벡터 변환 규칙(Covector Transformation Rules)
7. 선형 사상(Linear Maps)
8. 선형사상 변환규칙(Linear Map Transformation Rules)
9. 측량 텐서(Metric Tensor)
10. 쌍선형 형식(Bilinear Form)
11. 선형사상은 벡터-여벡터의 짝(Linear-Maps are Vector-Covector Pair)
12. 쌍선형 형식은 여벡터-여벡터 짝(Bilinear Forms are Covector-Covector Pairs)
13. 텐서 곱 vs. 크로네커 곱(Tensor Product vs. Kronecker Product)
14. 텐서는 벡터-여벡터 조합의 일반형(Tensors are a general vector-covector combinations)
15. 텐서 곱 공간(Tensor Product Spaces)
16. 색인 올림과 내림(Raising/Lowering Indexes)

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