미적분의 기본은 이미 배웠을 것이다. 오래전에 배워서 가물가물 하다면 기억을 되살려 보자.
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온라인 강좌가 워낙 많으니 더 자세한 사항은 찾아보라. [이 블로그의 구구단만 알아도 미적분, 전기역학 기초편]
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이번 동영상 강의에서 이야기 할 내용들은 다음과 같다.
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먼저 미분부터 시작해보자.
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미분(derivatives)은 한점에서 함수의 기울기라고 흔히 말하지만 사실은 극한(limitation) 값의 '마술'이라고 해야한다.
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미분에 관한 몇가지 공식과 법칙들. 그중에서도 연쇄법칙(Chain Rule)과 곱의 함수(Product Rule)!
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연쇄법칙이 중요한 만큼 연습삼아 풀어보자.
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주의! 미분을 기울기라고 봤을때 미분의 역수는 단변수 미분일 경우에 만 성립한다.
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단변수 적분(Single-Variable Integrals)
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치환적분법(Integral by substitution), 적분 변수를 가꾸면 적분 구간도 바뀐다. 곱의 함수 미분과 부분 적분법(Integration by Parts)은 매우 중요하다.
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편미분:다변수 미분
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다변수 함수: 입력은 여러개 변수지만 출력값은 한개. 편미분은 다변수 함수에 대한 미분으로 관심 없는 변수는 상수로 취급.
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주의! 편미분의 역은 호환되지 않는다.
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다변수 미분의 연쇄법칙은 중요하므로 예를 들어 살펴보자. 평면에 온도 분포를 온도의 함수 T(x,y)라 하자. 그런데 이 평면상 위치의 온도가 시간 t에 따라 변한다. x축의 시간상 온도변화와 y축의 시간상 온도변화가 다르다.
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온도 T(x,y)를 온돌방 바닥온도의 함수라 치자. 사람이 방바닥 위를 거닐며 온도를 측정 했다. 시간에 따라 온도가 변하고 있다. 온도 변화를 측정해보자. 시간에 따른 위치변화(사람이 거닐고 있으므로)를 온도 함수에 치환 시키면 온도의 함수는 위치의 함수에서 T(x,y)에서 시간의 함수 T(t)가 된다. 방바닥을 거니는 사람이 느끼는 시간상 온도 변화는 T(t)를 미분하면 수월하게 구할 수 있다.
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이렇게 일일이 치환하여 구하기 보다 좀더 수월한 방법이 있다. 다변수 미분도 연쇄법칙을 쓸 수 있다.
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다변수 함수 편미분의 연쇄법칙은 아주 유용한데, 이를 일반화 시켜보자. 함수 T가 q_1, q_2, q_3.... 등 q_i의 함수라 하면 연쇄법칙의 일반식은 총합 연산 ∑ 으로 나타낼 수 있다. 게다가 총합 기호를 일일이 쓰면 번거로우니 이를 생략한 아인슈타인 표기법을 적용하자.
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Gradient of function: 함수 값이 증가하는 방향과 증가하는 정도(기울기). 방향과 기울기는 벡터
* [참조: 전기역학 기초편 공간에 분포하는 전기장과 자기장을 설명하는 수학]
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화살표의 크기와 방향의 의미
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예] 다변수 스칼라 함수 f(x,y)에 나블라(Nabla) 연산자 ∇ 적용. 아래의 예처럼 편미분의 열 연산자는 직교 좌표인 경우에 한함. 함수 f(x,y)에 ∇을 적용하여 열 벡터장(Column Vector Field)을 얻음.
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Directional Derivative: 지점 (x,y)에서 벡터 v로 함수 f(x,y)의 변화량 구하기. 벡터 v를 '텐션벡터(Tension Vector)'라 부르자.
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단변수 미적분 vs 다변수 미적분: 연쇄법칙
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다변수 미분의 연쇄법칙(Chain Rule)에 아인슈타인 표기법
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곡선의 길이 구하기: 선적분
벡터(힘 벡터)가 움직인 길이의 적분: 에너지(Energy) & 일(Work)
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위치 벡터 R(t)의 변화량(Norm)을 직교 좌표에서 풀어쓰면 아래와 같이 엄청난 수식이 된다.
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곡선의 길이 구하기 예제: 위치 벡터가 평면 (x,y)에서 시간 t에 따라 변한다고 하자.
[좌측] 길이를 구하는 첫번째 방법은 위치를 시간으로 미분하여 x 와 y 축상으로 속도를 구하고 이를 텐션벡터로 삼아서, 이 벡터의 크기를 제곱하여 구하는 방법(직교좌표의 피타고라스 정리에서 사선의 길이)
[우측] 다른 방법으로 편미분
그렇게 얻은 ||Norm|| 함수(속도벡터, 텐션벡터)를 적분하면 곡선의 길이 -> 선적분
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선적분: ||Norm|| 함수(속도벡터, 텐션벡터)의 적분. 이때, ||Norm|| 함수를 일반화 하면 아인슈타인 표기법을 적용
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총정리: 매우 중요한 공식이므로 강의가 진행하는 내내 벽에 붙여 놓자. 특히 아인슈타인 표기법이 낮설다면 머릿속에 새겨둬라.
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[이전] 0. 소개(Introduction)
[다음] 2. 직각좌표계와 극좌표계 그리고 기저벡터(Cartesian & Polar Coordinates, and Basis Vectors)
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강의목차:
Tensor Calculus by eigenchris @ Youtube
0. 소개(Introduction)
1. 다변수 미적분 요약(Multi-variable Calculus Review)
2. 직각좌표계와 극좌표계 그리고 기저벡터(Cartesian & Polar Coordinates, and Basis Vectors)
3. The Jacobian
4. Derivatives are Vectors5. Derivative Transformation Rules(Contravariance)
5.1_ Derivative Operators are Vectors Discussion
6. Differential Forms are Covectors
7. Covector Field Components
8. Covector Field Transformation Rules(Covariance)
9. Integration with Differential Forms
10. Integration with Differential Forms Examples
11. The Metric Tensor and Arc Lengths(flat space)
12. The Metric Tensor in Curved Spaces for Measuring Arc Length
13. Gradient vs d operator(exterior derivative_differential)
14. Gradient explanation + examples
15. Geodesics and Christoffel Symbols(extrinsic geometry)
16. Geodesic Examples on Plane and Sphere
17.5_ Covariant Derivative (Component Definition)-Optional
17. The Covariant Derivative (flat space)
18. Covariant Derivative (extrinsic) and Parallel Transport
19. Covariant Derivative (Intrinsic) and Geodesics
20. The Abstract Covariant Derivative (Levi-Civita Connection)
21. Lie Bracket, Flow, Torsion Tensor
22. Riemann Curvature Tensor Geometric Meaning (Holonomy+Geodesic Deviation)
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