* 유튜브 동영상 강의를 들어가며 대략 한글직역 하고 때로는 이해를 돕기 위한 첨삭된 내용이 틀릴 수 있습니다. 원본은 eigenchris 의 'Tensor Calculus' 강의 시리즈 입니다.
소개
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'텐서 미적분(Tensor Calculus)'을 공부해볼텐데 먼저 소개편에서 다음과 같은 질문에 답 해보려고 한다.
1. 텐서 미적분이란?
2. 텐서 미적분은 뭣에 쓰이는가?
3. 텐서 미적분을 배우려면 먼저 배웠어야 하는 내용은?
먼저 첫번째 질문으로, 텐서 미적분이란 무엇일까? '텐서 미적분'은 텐서가 공간상에 어떻게 변화하는지를 밝히는 분야다.
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본격적으로 들어가기 전에 '텐서'에 대해 복습해보자. 이전의 텐서 기초강좌 '구구단만 알아도 텐서'(Tensors for Beginners by eigenchris @Youtube)에서 몇가지 텐서의 종류에 대해 소개되었었다. 화살표로 표현된 2차원 혹은 3차원 벡터(vector)와 적층선(stacked line) 혹은 적층면(stacked plane)의 여벡터(covector), 원점 고정 확대(scaling) 혹은 찌그러짐(skew) 변환을 수행하는 선형사상(Linear Maps) 그리고 공간에서 벡터의 길이와 각도를 측정할 수 있게 해주는 측량 텐서(Metric Tensor)등을 다뤘다. 이런 공간상의 모든 기하학적 객체(연산자를 포함)들이 모두 텐서다.
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이 객체들을 측정하려면 어떤 좌표계를 설정하고 좌표 축상의 성분값이 텐서의 계량이다. 지금부터 객체의 측정법에 대하여 이야기 해보자. 측정치를 성분(component)이라 한다.
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예를들어 2차원상의 벡터 v는 기저벡터를 단위 삼아 눈금갯수를 성분르호 한 선형 합(linear combination)으로 기술된다. 물론 기저벡터가 다른 공간이라면 성분 값이 달라질 것이다. 아래 그림처럼 벡터 v는 청색 기저벡터 공간에서 성분과 적색 기저벳터 공간에서 성분은 다르다.
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여벡터의 성분(covector component)는 각 기저벡터가 관통하는 적층선의 갯수다. 위의 예에서 청색의 두 기저벡터는 각각 4개와 2개의 적층선을 관통한다. 적색의 기저벡터의 경우 동일한 적층선 체계에서 10개와 -1.5개의 적층선을 통과한다. 위의 그림에서 적층선 체계가 여벡터다. 여벡터는 숫자의 행배열로서 관통하는 갯수에 방향(부호)를 갖는다. 여벡터는 마치 벡터처럼 행동하지만 벡터는 아니다. 벡터를 입력으로 삼아, 이 벡터가 관통하는 적층선의 갯수를 출력하는 일종의 함수다.
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선형사상(Linear Maps) 역시 일종의 함수다. 공간을 늘이거나 줄일 수 있고(scale) 평행하게 찌그러 트리릴 수 있다(skew). 이 함수의 입력인 벡터를 변형된 공간에 사상한다. 변형된 공간에서 측정 치는 변형되기 전 기저벡터를 눈금삼아 계량한 값을 행렬에 담아 둔다.
Linear Map Components are obtained by taking copies of basis vectors and transform it with Linear Map and then, measuring the components of the output vectors using the basis. Usually we store the components of linear map inside of the matrix.
And again, using different basis, we get different Linear Map Components.
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측량텐서는 크기와 각도로 변형된 공간에서 객체를 측정하기 위한 도구다. 두 벡터를 입력으로 하는 함수로 취급되며 g()로 표기한다. 측량텐서는 행렬로 나타내고 행렬의 원소, 즉 성분은 기저벡터 간의 스칼라 곱(dot product)이다.
Finally Metric Tensor Components are obtained by taking the dot product of all the basis vector with one another and storing the result in the matrix. Ans thus you probably know the dot product help us to get the length as well as the angle between pair of vectors.
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[2:04] 기저벡터를 설정해두면 텐서의 성분을 측량할 수 있다. 아울러 텐서 성분의 측정 방법도 다양하다. [1. 벡터 성분, 2. 여벡터 성분, 3. 산형사상 성분, 4. 측량텐서 성분, 등...] 당연히 기저벡터가 바뀌면 텐서의 성분값도 바뀐다. 그럼 변경된 기저벡터 사이에 텐서의 측정관계 식을 세워보자. 이를 순방향 역방향 변환(Forward and Backward Transform) 이라고 한다.
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원 기저벡터에서 새 기저벡터 체계로 변환을 순방향 변환(Forward transform)이라 한다. 두 좌표체계 사이의 차이는 기저벡터의 변화이며 이를 행렬로 표현한 것이 행렬 F다. e_1 축의 변화량 성분은 행렬의 첫번째 열에, e_2의 변화량 성분은 두번째 열에 저장되어 있다.
역으로 변화된 기저벡터에서 원 기저벡터 되돌아가는 변환을 역방향 변환(Backward transform)이라 한다. 이 역시 변환량인 기저벡터의 성분을 역방향 변환행렬 B에 저장한다.
B와 F는 서로 역관계에 있으며 두 행렬은 곱하면 단위 행렬(Identity matrix)이 된다.
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결국 우리가 순방향 및 역방향 변환 행렬(두 기저벡터의 크기와 각도 변화량)만 알고 있다면,
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자동적으로 어떤 종류의 텐서든 성분을 계산해 낼 수 있다. 순방향 변환의 횟수 및 역방향 변환의 횟수는 변환 규칙의 적용 횟수에 의해 결정된다. 변환규칙은 반변(contravariant) 혹은 공변(covariant)으로 구분 한다. [변환규칙은 공변과 반변이 있다. 변환종류는 순방향과 역방향이 있다]
예를 들어 벡터 성분은 1회의 반변 규칙이 적용되는 변환이다. 여벡터는 1회의 공변규칙이 적용된 변환이다. 선형사상 성분은 1회의 반변, 1회의 공변 규칙이 적용되는 변환이다. 측량텐서의 성분은 2번의 공변 변환규칙이 적용된다.
So, it turns out that, if we know the forward and backward transform for pair of basis vector sets, then we automatically know how to transform the components of any tensor. We just apply some number of forward transforms and some number of backward transforms to the tensor components depending on the number of contravariant and covariant transformation rules that the tensor obeys.
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[3:26] 앞서 공부한 '턴세의 기초'과정에서 배웠던 내용들은 텐서를 개별적으로 취하여 좌표계의 변화에 대응하는 연산을 다뤘다. 이를 '텐서 대수(Tensor Algebra)'라고 하자. 기초 텐서 대수에서는 한번에 하나씩의 텐서를 다뤘고 이어 두 벡터 사이의 길이와 각도 등을 '측량텐서(metric tensor)'를 통해 측정했다.
하지만 텐서 미적분(Tensor Calculus)에서는 텐서를 개별적으로 다루는 대신 텐서장(Tensor Fields)의 개념을 도입하였다. 텐서장은 공간에 무한개로 분포한 텐서의 변화를 다룬다. 만일 다변수 미적분을 배웠다면 스칼라 장(scalar fields)과 벡터 장(vector fields)을 들어봤을 것이다.
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[4:12] Scalars are essentially ordinary numbers, but its Scalar Field is infinite collection of numbers that varies everywhere over space. Temperature and voltage are examples of scalar fields from Physics. You might also think of scalar field as just functions where the input is a point in the space and output is just number.
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[4:31] Also rather than dealing with individual vectors, a Vector Field is infinite collection of vectors where the vectors vary everywhere in the space. The electric and gravitational field are examples of the vector field that you can find in the Physics.
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[4:45] Using Tensor(Vector) Calculus we can talk about how scalars and vectors change over space in the scalar and vector fields. For example, we can consider directional derivatives of scalar field which tells how the scalar field changes in given direction. Tensor calculus is a generalization of vector calculus where we consider not only scalar and vector fields, but general tensor field as well.
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[5:09] For example, instead of considering individual covector stacks, we consider covector fields which are also called differential forms or 1-forms. And these are fields, right, different covector exist at every point in the space.
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[5:29] Also instead of considering it as single metric tensor that works everywhere in the universe, we might consider a metric tensor field where the metric tensor changes from point to point.
The situation may come in useful when we have a map of the Earth, projected on flat plane. Because the Earth is sphere, projecting it onto a flat plane will always lead to distortion in the size of the objects. So, when measuring length and angles we need to be sure to use correct metric tensor for that reaching on space so that we can measure sizes correctly.
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Also in tensor calculus instead of using individual coordinate basis vectors, we consider Basis Vector Field in a sense where the basis vectors will change from point to point everywhere in space. This is a something you will find changing standard Cartesian coordinate to Polar coordinates in 2D. And instead of having a single forward and backward transform that works everywhere in space, we have different forward-backward transform for every single points. So, it's almost we have a forward transform field and a backward transform field.
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So, the sum-up, Tensor Calculus is basically the study of Scalar Fields, Vector Fields, Covector Fields, Metric Tensor Fields, and any other Tensor Fields that we can come up with. Also, how coordinate basis vector fields changes from point to point in space.
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범용의 물리량 측정 잣대가 이닌 공간의 위치마다 다른 잣대가 분포되어 있는 수 있다. 이 잣대의 분포를 기저벡터장(basis vector field)라 한다. 잣대는 눈금과 각도의 변화 뿐만 아니라 좌표체계가 달라질 수도 있다.
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[6:46] Now we know a bit about what tensor calculus is and why we'd want to study it?
텐서에 대해 아주 조금이나마 눈치챈 이즈음에 이 분야를 공부하면 어떤 이득이 있을까?
It turns out that a lot of concepts in intermediate and advanced Physics can be described by tensor fields.
중급이상의 물리학의 많은 개념들이 텐서로 기술되고 있다.
For example you might be used thinking of electric fields and magnetic fields as two different vector fields that is separated. However we can combine electric and magnetic field vectors that together into a single tensor field given by the Faraday tensor.
예를 들어 전기장과 자기장이 서로 별개로 취급되었다가 파라데이 텐서를 도입함으로서 하나의 텐서장으로 통합 기술된다.
And the four equations of electricity and magnetism which are Maxwell's equations can be combined together and simplified into two tensor equations that describe the behavior of the Faraday tensor everywhere in space.
네개의 맥스웰 방정식 역시 두개의 텐서 방정식으로 합쳐지고 단순화 되었다.
This is usually how electricity and magnetism are described in Special Relativity.
전기와 자기를 텐서로 통합기술하는 것이 일반상대론의 관점(공간의 휨)에서 해석하는 방식이다.
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[7:29] Another area where the tensor fields are useful is in continuum mechanics where we studied deformation of continuous materials under the stress. The internal strain and stress inside material are given by the Cauchy(커시) Stress Tensor which will vary from point to point inside object forming tensor field. If we imagine all materials is being made of small cubes, the T_ij component of the tensor will measure the force vector on face i of the cube acting in direction j. This means that the diagonal element of the tensor will measure normal stress which is basically like stressing and squashing the cube. And off-diagonal element will measure hue stress which are stresses which are perpendicular to the faces of the cube. This can be used to study mechanical parts used in the machinery, but it can also be used to understand the stresses of the Earth's tectonic place which cause earthquake.
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[8:23] The final example is Einstein's General Relativity which is steep theory that describe how energy and momentum can bent space-time. This curvature of space-time is the ultimate source of gravity in the universe and can even cause light to bent from apparently straight path, if it presence of mass-energy.
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It turns out that the General Relativity is full of tensors. There's the energy-momentum tensor which describe how energy and momentum vary through out space-time. There's also the Ricci Tensor, Riemann Curvature Tensor and Metric Tensor which describe how space-time curve and bent.
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In fact one of the reasons why General Relativity is so much more mathematically complicated that Special Relativity is because of the Metric Tensor. In Special Relativity there's single metric tensor called Minkowski metric which is constant everywhere in the universe. In General Relativity, the metric tensor will change at every point in space- time depending on how much energy and momentum is in the local region since metric tensor vary from point to point. We need Tensor Calculus in order to understand properly.
So all of that information might be a little bit overwhelming but hopefully it's given to you some motivation to learn tensor calculus, even if you don't understand all that right now.
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[9:40] So, the final question is, What do you need in order to learn Tensor Calculus?
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[11:50] Re-interpretation of Mathematical Symbols;
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[이전] 구구단만 알아도 '텐서'(Tensors for Beginners)
[다음] 1. 다변수 미적분 요약(Multi-variable Calculus Review)
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강의목차:
Tensor Calculus by eigenchris @ Youtube
0. Introduction
1. Multi-variable Calculus Review (Updated with correction)
2. Cartesian_Polar Coordinates, and Basis Vectors
3. The Jacobian
4. Derivatives are Vectors
5. Derivative Transformation Rules (Contravariance)
5.1_ Derivative Operators are Vectors Discussion
6. Differential Forms are Covectors
7. Covector Field Components
8. Covector Field Transformation Rules (Covariance)
9. Integration with Differential Forms
10. Integration with Differential Forms Examples
11. The Metric Tensor and Arc Lengths (flat space)
12. The Metric Tensor in Curved Spaces for Measuring Arc Length
13. Gradient vs d operator (exterior derivative_differential)
14. Gradient explanation + examples
15. Geodesics and Christoffel Symbols (extrinsic geometry)
16. Geodesic Examples on Plane and Sphere
17.5_ Covariant Derivative (Component Definition) - Optional
17. The Covariant Derivative (flat space)
18. Covariant Derivative (extrinsic) and Parallel Transport
19. Covariant Derivative (Intrinsic) and Geodesics
20. The Abstract Covariant Derivative (Levi-Civita Connection)
21. Lie Bracket, Flow, Torsion Tensor
22. Riemann Curvature Tensor Geometric Meaning (Holonomy + Geodesic Deviation)
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