0. 텐서의 정의(Tensor Definition)

[구구단만 알아도 '텐서'] 0. 텐서의 정의(Tensor Definition)


원본출처: Tensors for Beginners by eigenchris(YouTube)

"초보자를 위한 텐서(Tensors for Beginner)" 강좌는 19편의 동영상/16장으로 구성되었다. 그중 두번째 비디오다. 앞의 강의에서 텐서를 공부해야 할 동기를 이야기 했다. 이번에는 텐서가 무엇인지 분명히 해보기로 한다. 사실 텐서를 한마디로 정의하기는 쉽지 않다. 다양한 경험을 가진 사람들이 텐서(Tensor)를 이야기 할텐데 수학적인 의미[선형사상(Linear Map) 등]은 차후 강좌 중에 설명하기로 하고 먼저 누군가 물어보면 한마디로 뭐라 해야할지 알아보자.

먼저 텐서는 다차원 숫자 배열(Multidimensional array of numbers) 혹은 격자(grid)라고 말한다. 숫자 한개는 스칼라(Scalar)다. 때로 스칼라는 랭크 0 텐서(Rank 0 Tensor)라 한다. 동류의 숫자들을 모아 놓은 스칼라 배열로 표시되기도 한다. 숫자를 수직으로 나열해 놓은 1차원 배열을 벡터(Vector)라 한다. 벡터는 랭크 1 텐서(Rank 1 Tensor)다. 행렬(Matrix)을 들어 봤을 것이다. 행렬은 2차원으로 숫자를 늘어 놓은 배열, 혹은 '격자' 인데 랭크 2 텐서다. 앞편에서 잠깐 소개된 일반 상대론(GR; General Relativity)의 수식에 등장하는 측량 텐서(metric tensor)도 2차원 배열, 랭크 2 텐서다. 행렬의 각 숫자는 행의 원소(row element)이자 열의 원소(column element)이기도 하다. 더 높은 차원의 행렬도 있다. 3차원으로 배열된 행렬의 예를 보여준다.



이처럼 다차원 배열로 텐서를 이해하는 것은 한 방편일 수는 있지만 정확한 정의는 아니다. 텐서는 다차원 숫자의 배열이면서 기하학적인 의미(geometrical meaning)를 가지고 있다. 일단 텐서를 다차원 숫자 배열이라고 보고 그 이면에 놓인 기하학적인 의미를 차차 살펴보기로 한다.

그럼 두번째로 텐서를 정의해보면, 좌표의 변형(change of coordinate)에도 그 본성[크기와 방향]을 잃지 않는 객체로서, 변형된 좌표계에 따른 고유성분을 가지며(special components), 그 성분을 표현할 수 있는 [변환의]방법(predictable way)을 가진 객체가 텐서다. [변화된 상황에 대해서도 고유 값을 가지며 이를 표현할 방법이 체계적(수학적) 마련되어야 한다. 그래야 과학이다.] 이를 좌표 변화에 대한 불변(invariant)이라고 한다.



예를 들어, 방안에 문쪽으로 향해 있는 연필이 있다. 이 연필의 재질, 일테면 나무, 흑연 따위를 제외하고 길이와 방향[벡터를 표현하는 방법] 만으로 본질을 기술하기로 하자.



이번에는 임의로 3차원 좌표계를 도입해 보자. 이 좌표계는 서로 수직인 세가지 방향의 단위 벡터(unit vector)로 정의 되었다. 각 방향은 각각 다른 색깔로 구별해 놓았다. 이 좌표계에서 연필의  본질인 방향과 길이를 표현하면 노란 단위벡터 2개, 녹색 단위벡터 1개, 청색 단위벡터 1개의 합이다. 좌표계를 정의할 때 사용된 단위벡터에 갯수를 나타낸 숫자(스칼라)를 곱하고 모두 합쳐 연필의 본질을 기술 하였다[벡터 합].



좌표를 나타내는 기준 성분이 수직일 필요도 없고 기본단위가 1로 같을 필요도 없다. 이번에는 좀더 특이한 좌표계를 적용해보자. 역시 좌표계를 정의한 기저 벡터[길이가 1이 아니며 방향도 서로 수직이 아니다. 하지만 동일한 방향이면 않된다. 이처럼 좌표계를 정의하는 기준이 되는 벡터를 기저벡터(basis vector)라 한다.]로 연필을 기술 할 수 있다. 이 때 역시 기저 벡터에 스칼라 값이 곱해지고 모두 합쳐 연필의 본질을 기술 한다.



좌표체계가 변화해도 연필의 본성이 불변하다는 점은 매우 중요하다. [기저 벡터에 스칼라를 곱하여 모두 더한다는 개념은 매우 중요하다. 우리는 이를 선형성(Linearity)이라 하며 바로 선형 대수(Linear Algebra)의 시작이다.] 연필로 대변된 벡터(Vector)는 불변성을 갖지만 좌표에 의존하는 성분(Components)은 변한다.



다시 상기하자면 '벡터'라는 '랭크 1 텐서'는 좌표의 변화에 대해서 불변성을 가지며 좌표의 변화에 따라 텐서의 성분이 달라지는 것이다. 동일한 텐서에 대하여 변형된 좌표 사이의 변환방법(transformation)이 존재한다. 원좌표에서 변형된 좌표로 변환을 순방향 변환(Forward)이라 하고 변형된 좌표에서 원좌표로의 변환을 역방향 변환(Backward)이라고 한다. 좌표 변환으로 텐서를 정의해 봤다(Coordinate Definition). [텐서는 좌표변환에 대해 불변성을 같는 객체다.]



좌표변환 만으로 텐서를 정의하기에는 좀 부족한 면이 있다. 그래서 텐서의 세번째 정의는 다음과 같다. 텐서는 '텐서 곱(tensor product)'으로 만들어진 벡터(vector)와 여벡터(covector)들의 집합(collection)이다. 이는 텐서에 대하여 아주 단순하면서도 정확하게 정의한 것이지만 처음 접하는 경우 금방 이해되지 않다는 어려움이 있다.



벡터(vectors)는 이미 들어 봤을지 모르나 여벡터(covector)와 텐서 곱(tensor product)는 생소하다. 어쨌든 이는 텐서의 아주 정확한 정의로서 텐서의 추상적 정의(Abstracted Definition)라 한다. 이런 어려움을 극복하기 위해 이강좌가 마련되었다.



만일 미적분의 학습 배경을 가지고 있다면 미적분에서 등장하는 텐서의 정의를 추가로 소개한다. 텐서는 편미분(partial derivatives,[편미분이 기저벡터다])과 자코비언 행렬(Jacobian Matrix)로 변환된 그래디언트(gradients)다. 이런 정의는 일반 상대론(G.R.)에서 다루는 굽은 공간(curved space)을 기술할 때 매우 유효하게 활용된다. 하지만 미적분에 대한 상당한 배경이 없다면 이에 대해서는 넘어가길 바란다.

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[구구단만 알아도 '텐서']
-1. 동기(Motivation)
0. 텐서의 정의(Tensor Definition)
1. 정역방향 변환(Forward and Backward Transformation)
2 벡터의 정의(Vector Definition)
3. 벡터 변환 규칙(Vector Transformation Rules)
4. 여벡터 란?(What's a Covector?)
5. 여벡터 성분(Covector components)
6. 여벡터 변환 규칙(Covector Transformation Rules)
7. 선형 사상(Linear Maps)
8. 선형사상 변환규칙(Linear Map Transformation Rules)
9. 측량 텐서(Metric Tensor)
10. 쌍선형 형식(Bilinear Form)
11. 선형사상은 벡터-여벡터의 짝(Linear-Maps are Vector-Covector Pair)
12. 쌍선형 형식은 여벡터-여벡터 짝(Bilinear Forms are Covector-Covector Pairs)
13. 텐서 곱 vs. 크로네커 곱(Tensor Product vs. Kronecker Product)
14. 텐서는 벡터-여벡터 조합의 일반형(Tensors are a general vector-covector combinations)
15. 텐서 곱 공간(Tensor Product Spaces)
16. 색인 올림과 내림(Raising/Lowering Indexes)

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