W2.7/15강 예제2A: 켤레 복소수 근 A(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part A))

[커세라] 이과생을 위한 미분 방정식(Differential Equations for Engineers)

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1주: 1차 미분 방정식(Frst-order Differential Equation)
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2주: 2차 미분 방정식(Second-order Differential equations)
    W2.1/10강 고차 미분 방정식에 대한 오일러 방법(Euler method for higher-order odes)
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    W2.5/13강 일원 2차 상미분 방정식
                    (Homogeneous 2nd-order ODEs with constant coefficients)
    W2.6/14강 예제1: 2개의 실근(Case1: Distinct Real Roots)

W2.7/15강 예제2A: 켤레 복소수 근 A
               (Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part A))/동영상/영문자막



We're solving our homogeneous constant coefficient differential equation. We found two roots of the characteristic polynomial, but they turn out to be complex. The roots are complex conjugates of each other.

We have two complex exponential functions as solutions which is just the complex conjugate of the previous one.

Applying the principle of superposition, any linear combination of the solution, z and z_bar is also a solution to the 2nd-order ODE.[위의 두 해가 복소수의 형식을 취하고 있다. 중첩의 원리에서도 봤지만 두 복소수의 선형 조합 또한 해가 될 수 있다. 복소수 연산의 특성을 이용해 실수 해를 만들어내자.]

So, what are these two solutions?



So, this is what to remember. The real part of r goes in the exponential function. The imaginary part of r goes in the cosine and the sine.



We will use this then in the next video to serve as an example.

W2.6/14강 예제1: 2개의 실근(Case1: Distinct Real Roots)

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W2.6/14강 예제1: 2개의 실근(Case1: Distinct Real Roots)/동영상/영문자막

We're solving the second order, a homogeneous differential equation with constant coefficients,

trying to satisfy two initial conditions,

We use our 'ansatz',

Get our characteristic equation,

In this case, the factors, and we have two distinct real roots.

(인수분해로 가볍게 두개의 근을 찾아내자)

We use the principle of superposition to write the general solution.

가설풀이 방법으로 얻은 두개의 (특수)해에 대하여 중첩의 원리를 적용하여 일반해를 구한다.

We need the time derivative of that,

Then, we satisfy the two initial conditions,

that gives us two linear equations for the two unknowns, c1 and c2,

and then we can find the specific solution that satisfies both the differential equation and the initial conditions.

[연습1]-----------------------------------------------------------------

[연습2]-----------------------------------------------------------------

W2.5/13강 일원 2차 상미분 방정식(Homogeneous 2nd-order ODEs with constant coefficients)

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W2.5/13강 일원 2차 상미분 방정식
               (Homogeneous 2nd-order ODEs with constant coefficients)/동영상/영문자막



We're starting our study of homogeneous second-order ODEs with constant coefficients. The general differential equation is,



Ansatz(가설풀이):

Our solution method basically guesses the solution with a "free parameter r". We guess an exponential function, exp(rt),



because the exponential function will cancel out of the equation



leaving us an algebraic equation for r.



This is called the characteristic equation of the differential equation.



Because it's a quadratic equation, one of three things can happen.

(i) We can have distinct real roots which case we have two exponential functions, e to the r plus t and e to the r minus t. We then apply the principle of superposition to that.



(ii) We can have complex conjugate roots, which case we have two complex exponential functions. We will learn how to deal with that to get two real functions.



(iii) We can have repeated roots in which case we only have one exponential function. We're going to have to do some magic to get the second solution.



2차 미분 방정식은 2개의 해를 가져야 하는데 중근(repeated root)으로 1개의 근이 1개만 존재한다면 풀이를 수월케 하려던 가설풀이 방법(Ansatz)에 오류가 있음을 뜻한다. 따라서 중근인 경우 두번째 근을 찾아내야 한다.

[연습]------------------------------------------------------------

W2.4/보강1 복소수(complex numbers)

[커세라] 이과생을 위한 미분 방정식(Differential Equations for Engineers)

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W2.4/보강1 복소수(complex numbers)/동영상/영문자막



2차 상미분 방정식을 다룰려면 복소수에 대한 이해가 필요하다.

우리는 실세계에 살고 있지만 가상의 세계를 하나 더 두면 문제 풀이가 쉬워질 수도 있다. 공학자들은 가상세계를 뚫고 실생활에 쓸모있는 물건을 설계해 낸다.

- 허수(imaginary numbers): 제곱이 음수가 되는 수. 기호 i (또는 j)로 표기

    i = √(-1)
        i^2 = -1
        (-i)^2 = -1

- 복소수(complex numbers): 실수 더하기 i의 실수배 허수. 기호 z로 표기

    z = x + iy   단, x 와 y는 실수(real number)

- 켤레 복소수(complex conjugate): 복소수의 허수부가 음수인 짝. 기호는 z_bar 로 표기

    z_bar = x - iy

- 복소수에서 실수부를 취하는 함수,

     Re{z} = (z+z_bar)/2 = x

- 허수부만 취하는 함수,

     Im{z} = (z-z_bar)/2i = y

- 복소수의 덧셈과 뺄셈, 실수부와 허수부끼리

    z1 = a + bi
    z2 = c + di
        a,b,c,d: real number,
        i: unit imaginary

    z1 + z2 = (a+c) + (b+d)i

- 복소수 곱셈

    z1 * z2 = (a*c - b*d) + (cb+ad)i

- 켤레 복소수의 곱셈은 실수

    z * z_bar = x^2 + y^2

- 허수의 거듭제곱(주의)

    i^2 = -1
    i^3 = -i

    i^4 = +1

- 복소수 나눗셈(켤레 복소수곱으로 복소수 분모 유리화)

    두 복소수 z와 w, 그리고 그 켤레짝 z_bar와 w_bar에 대하여,

    z/w = z*w_bar/w*w_bar

- 복소수의 등가연산(==)은 두 실수에 대한 등가조건을 만족해야 함

    if (z==w)

    then

        Re{z} = Re{w}

        Im{w} = Im{w}

------------------------------------------------------------

- 복소수 지수함수: 미분 방정식의 풀이에서 가장 중요한 함수

    exp(iθ)

- 테일러 급수(Taylor series):

    exp(iθ) = 1 + (iθ) + (iθ)^2/2!  + (iθ)^3/3!  + (iθ)^4/4! + .....

              = (1 - θ^2/2! + θ^4/4! - ......) + i(θ - θ^3/3! + θ^5/5! + ......)

              = cos(θ) + i*sin(θ)

    exp(iθ) = cos(θ) + i*sin(θ)
    ln(cos(θ) + i*sin(θ)) = iθ

- 오일러 항등식(Euler identity):[공학도라면 티셔츠에 새겨놓아도 좋다]

    exp(iπ) + 1 = 0

    proof) exp(iπ) = cos(π) + isin(π) = -1

- 기하해석: 복소수의 실수부와 허수부가 직교관계에 있다고 하면,

    Re{z} ⊥ Im{z}

    z = x + i*y

극좌표(r, θ) vs 직교 좌표(x,y)의 관계

    x = r*cos(θ)

    y = r*sin(θ)

    z = r(cos(θ) + i*sin(θ))

      = r*exp(iθ)

------------------------------------------------------------
Don't be afraid of complex numbers. It's very useful.

W2.3/12강 론스키 행렬식(The Wronskian)

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W2.3/12강 론스키 행렬식(The Wronskian)/동영상/영문자막



2차 선형 미분방정식의 해를 구하기에 유용한 두가지 요령을 소개한다. 앞서 배웠던 중첩의 원리(principle of superposition)와 이번에 배울 론스키 행렬식(Wronskian determinant)이다.

다음과 같은 2차 미분 방정식에 대하여,



두개의 해를 각각 X_1(t) 와 X_2(t)라고 하자. 중첩의 원리(principle of superposition)에 따라 다음과 같은 일반해(general solution)를 갖는다.



이 일반해는 다음과 같은 초기조건(initial conditions)을 만족하는 해를 선형 조합(각 해에 상수를 곱하고 더하여)하여 얻어진 것이다.



그렇다면 이 일반해 역시 초기조건(t_0일때 가져야 할 값은 x_0 와 u_0)을 만족해야 한다.



두개의 방정식으로 구성된 연립방정식에 대하여 상수 c_1과 c_2의 행렬을 구성 할 수 있다. 이 연립방정식(the system)이 해를 가지려면 그 행렬식(determinant)은 반드시 0이 아니어야 한다. 이 행렬식을 론스키 행렬식(the Wronskian)이라 한다.

We write down the system of two linear equations for C1 and C2. That leads us to a unique solution when this determinant is not equal to 0. The determinant is what's called the Wronskian.



Then I showed you two examples where these functions are sines and cosines, and showed you that the Wronskian in this example is not 0, provided this omega is also not 0.



이제까지 배운 두개의 이론(중첩의 원리와 론스키 행렬식) 미분 방정식을 푸는데 어떻게 이용되는지 배울 차례다.

[연습]----------------------------------------------------------------