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[커세라] 이과생을 위한 미분 방정식(Differential Equations for Engineers)

0주: 환영(Welcome)
W0.1 강좌 예고(Course Trailer)
W0.2~5 강좌 개요(Course Overview)
W0.6~7/1강 미분 방정식 소개 및 연습문제
(Introduction to Differential Equations & Practice Quiz)

1주: 1차 미분 방정식(Frst-order Differential Equation)
W1.1/2강 수치해석:오일러 방법(Euler Method)
W1.2/3강 1차 미분 방정식 세우기(Separable First-order equations)
W1.3/4강 1차 미분 방정식 세우기 예제(Separable First-order equations:Example)
W1.4 연습문제(Practice Quiz:Separable First-order ODEs)
W1.5/5강 선형 1차 미분 방정식(Linear First-order Equations)
W1.6/6강 선형 1차 미분 방정식:예제(Linear First-order Equations:Example)
W1.7 연습문제(Practice Quiz:Linear First-Order ODE)
W1.8/7강 선형 1차 미방 응용:예금(Application: Compound interest)
W1.9/8강 선형 1차 미방 응용:종말속도(Application: Terminal Velocity)
W1.10/9강 선형 1차 미방 응용:RC회로(Application: RC Circuit)
W1.11 연습문제(Practice Quiz: Applications)
W1.12 평가문제(Week-1 Graded Quiz)

2주: 2차 미분 방정식(Second-order Differential equations)
W2.1/10강 고차 미분 방정식에 대한 오일러 방법(Euler method for higher-order odes)
W2.2/11강 중첩의 원리(Principle of Superposition)
W2.3/12강 론스키 행렬식(The Wronskian)
W2.4/보강1 복소수(complex numbers)
W2.5/13강 일원 2차 상미분 방정식
(Homogeneous 2nd-order ODEs with constant coefficients)
W2.6/14강 예제1: 2개의 실근(Case1: Distinct Real Roots)
W2.7/15강 예제2A: 켤레 복소수 근 A(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part A))
W2.8/16강 예제2B: 켤레 복소수 근 B(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part B))
W2.9/17강 예제3A: 중근 A(Case 3: Repeated Roots (Part A))
W2.10/18강 예제3B: 중근 B(Case 3: Repeated Roots (Part B))
W2.11 연습문제(Practice quiz: Homogeneous 2nd-order ODEs)

W2.12/19강 이원 2차 상미분 방정식(Inhomogeneous 2nd-order ODEs)/동영상/영문자막

이제까지 일원(homogeneous) 2차 상미분 방정식의 풀이를 공부했다. 이번편부터 이원(inhomogeneous,) 2차 상미분 방정식의 풀이를 공부한다. 그 첫편으로 이원 미분 방정식의 풀이를 위한 배경이론을 소개한다.

Homogeneous means that there's a zero on the right-hand side. In this video, I want to show you the theory behind solving second order inhomogeneous differential equations.

이원 2차 상미분 방정식의 기본형은 다음과 같다. 일원 방정식이 등호 오른편이 0인데 비해 t의 함수 g(t)가 있다.

그리고 초기조건이 다음과 같이 주어졌다고 하자.

이원 미분 방정식의 풀이는 3단계를 거친다. 첫단계는 일원 미분 방정식으로 놓고 가설해 방식(ansatz)으로 해를 구한 후 중첩의 원리를 적용하여 일원 미분 방정식의 일반해를 구한다.

두번째 단계는 이원 방정식의 특수해(particular solution)을 구하고,

세번째 단계에서 일원 방정식의 일반해와 이원 방정식의 특수해에 대해 다시 중첩의 원리를 적용하고 초기 조건을 적용하여 계수를 구한다.

이원 2차 미분 방정식의 풀이에서도 특수해의 중첩원리(선형조합)와 론스키안(특수해의 조합이 선형조건에 닫혀 있음)을 따른다.

위의 세단계에서 구한 해가 이원 2차 상미분 방정식의 해가 됨을 증명하면 다음과 같다.

[연습]---------------------------------------------------------------------------

[커세라] 이과생을 위한 미분 방정식(Differential Equations for Engineers)

0주: 환영(Welcome)
W0.1 강좌 예고(Course Trailer)
W0.2~5 강좌 개요(Course Overview)
W0.6~7/1강 미분 방정식 소개 및 연습문제
(Introduction to Differential Equations & Practice Quiz)

1주: 1차 미분 방정식(Frst-order Differential Equation)
W1.1/2강 수치해석:오일러 방법(Euler Method)
W1.2/3강 1차 미분 방정식 세우기(Separable First-order equations)
W1.3/4강 1차 미분 방정식 세우기 예제(Separable First-order equations:Example)
W1.4 연습문제(Practice Quiz:Separable First-order ODEs)
W1.5/5강 선형 1차 미분 방정식(Linear First-order Equations)
W1.6/6강 선형 1차 미분 방정식:예제(Linear First-order Equations:Example)
W1.7 연습문제(Practice Quiz:Linear First-Order ODE)
W1.8/7강 선형 1차 미방 응용:예금(Application: Compound interest)
W1.9/8강 선형 1차 미방 응용:종말속도(Application: Terminal Velocity)
W1.10/9강 선형 1차 미방 응용:RC회로(Application: RC Circuit)
W1.11 연습문제(Practice Quiz: Applications)
W1.12 평가문제(Week-1 Graded Quiz)

2주: 2차 미분 방정식(Second-order Differential equations)
W2.1/10강 고차 미분 방정식에 대한 오일러 방법(Euler method for higher-order odes)
W2.2/11강 중첩의 원리(Principle of Superposition)
W2.3/12강 론스키 행렬식(The Wronskian)
W2.4/보강1 복소수(complex numbers)
W2.5/13강 일원 2차 상미분 방정식
(Homogeneous 2nd-order ODEs with constant coefficients)
W2.6/14강 예제1: 2개의 실근(Case1: Distinct Real Roots)
W2.7/15강 예제2A: 켤레 복소수 근 A(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part A))
W2.8/16강 예제2B: 켤레 복소수 근 B(Case 2: Complex-Conjugate Roots (Part B))

W2.9/17강 예제3A: 중근 A(Case 3: Repeated Roots (Part A))/동영상/영문자막

2차 상미분 방정식을 가설풀이(ansatz) 방식으로 풀 때 얻은 특성 방정식(characteristic equation)이 중근(repeated root)을 가질 경우 또다른 해를 찾아야 한다. 중근이 나온 이유는 나머지 한 해가 가설 풀이에서 세웠던 x(t)=e^(rt) 와 다른 형식을 취했기 때문이다. 사실 켤레 복소수 근에서 허수부가 0에 접근하면 중근인 경우가 된다.

We're looking at the third case here when the roots of the characteristic equation has only one root. There's missing one solution. To find that missing solution, we can get at it through a limiting process.

특성 방정식의 근이 다음과 같이 복소수 일 때 허수부의 실수 μ 가 0에 근접하면 중근이 된다는 점에 주목하자.

일단 μ가 0으로 접근하는 극한의 경우는 나중에 따져보기로 하고 복소수 근을 가질 때 일반해(general solution)는 다음과 같다.

위의 일반해에 포함된 미지 상수 A와 B를 구하기 위해 두개의 초기 조건을 이용한다.

초기 조건을 적용하여 구한 미지 상수 A와 B는 다음과 같다. 특성 방정식이 중근을 갖게 하기 위해 허수부의 계수 μ를 0에 접근하는 극한을 취하면 일반해의 계수 B가 무한대가 된다.

중근이 되기 위한 조건에서 발생한 극한의 문제를 풀어보자. 위에서 구한 미지 상수가 적용된 일반해는 다음과 같다.

특성 방정식의 r이 중근이 되기위한 조건에 맞춰 허수부의 μ를 0으로 접근하는 극한을 취해보자.

You only have one function [e^(rt)], the second function is [t*e^(rt)], that's why you need to remember. In the next lecture, we will work in example of repeated roots.