지난 15회 강의에서 다룬 측지선 구하기의 실제 예를 풀어보자. 측지선의 예는 평면(flat surface)와 구면(sphere surface)으로 두가지다.
-
-
일단 지난편 복습:
1. 측지선: 말그대로 두점 사이의 길이(물리량)를 측량하기 위한 경로의 기준선.
2. 구면상 두점을 등속으로 움직이는 경로의 측지선 정의: 접면(=두 기저벡터)의 가속도 벡터는 0. 면에 수직 방향(normal, 면 벡터) 가속도 만 있다.
3.측지선 방정식(Geodesic Equations): 접면의 가속도가 0이되는 조건
-
-
측지선에 대한 오해:
- 측지선은 두점 사이의 '가장 짧은' 경로가 아니다.
- 측지선은 두점 사이에 이동방향으로 '가장 곧은' 경로다.
* 아래 그림에서 보라색 점에서 녹색 점으로 가는 경로와 녹색점에서 보라색으로 가는 경로의 길이는 다르나 둘 모두 측지선이다.
-
-
측지선 구하기 전략:
1. 크리스토펠 기호 값 구하기: 크리스토펠 기호는 경로상의 서로 다른 지점에서 변화하는 기저 벡터의 성분을 표현한 것이다. 이동하는 경로상 위치에서 기저벡터는 i, j 색인으로, 그 지점에서 기저벡터는 k 색인으로 표현된다.
2. 측지선 방정식을 만족하는 경로 곡선식을 구한다. 이 곡선식은 시간인자를 변수로 한다.
-
-
측지선 방정식의 풀이:
1. 곡면의 측지선으로 한정하기로 하자. 모든 색인의 범위는 1,2다.
2. 크리스토펠 기호 값을 구하려면 면 상의 위치벡터를 기저축(변수)으로 편미분 한다. 두종류의 1계 편미분, 4종류의 2계 편미분이 필요하다. 그리고 기저벡터의 스칼라 곱으로 측량텐서를 구하고 그로부터 다시 역 측량텐서를 구한다.
3. 크리스토펠 기호 값을 측지선 방정식에 대입한다.
4. 측지선 방정식은 기저축에 대한 시간의 1계 및 2계 미분 방정식(differential equation)이다. 이 미분 방정식의 풀이가 측지선이다.
-
----------------------------------------------------------------
측지선 구하기 예제: 평면의 측지선
-
-
평면의 측지선은 굳이 구할 필요도 없이 직선(straight line)이다. 이를 증명하기 위해 어렵게 측지선 방정식을 푸는 수고를 할 필요까지 없겠으나, 기초를 다진다는 의미에서 풀어보기로 하자.
----------------------------------------------------------------
측지선 구하기 전략 1단계: 크리스토펠 기호
-
-
평면위의 위치 벡터 R(u,v) 방정식 세우기,[이해를 못하면 문제를 만들 수도 없다.]
[1] 공간 (X,Y,Z)의 원점으로부터 위치 벡터 p 에 위치한 평면.
[2] 이 평면은 두개의 벡터 a 와 b 의 합 [면=두 벡터의 합]
[3] 평면을 구성하는 두 벡터의 성분은 u 와 v
-
-
크리스토펠 기호를 구하기 위한 준비: 평면의 기저축 성분변수 u와 v로 위치벡터 R(u,v)를 편미분. 1계 및 2계 편미분이 필요하다.
[1] 위치벡터에 대한 기저성분 변수의 1계 편미분은 벡터로 고정된다.
[2] 네종류의 2계 편미분은 모두 0이다.
-
-
크리스토펠 기호는 곡면 위의 움직이는 위치에서 접면(tangential surface)의 기저벡터 성분 변화다. [곡면의 접면은 위치에따라 변화한다. 하지만 평면은 어느 위치에서든 기저벡터는 변함이 없다. 따라서 평면의 크리스토펠 값은 모두 0이다.]
-
----------------------------------------------------------------
측지선 구하기 전략 2단계: 측지선 방정식은 접면(tangential surface) 성분 가속도가 없어야 한다는 조건이다.
-
-
평면의 크리스토펠 기호는 모두 0이다. 따라서 측지선 방정식은 결국 시간 인수 λ 의 2계 미분 방정식만 남는다.
-
-
다변수 미분 방정식 풀이는 매우 어렵다. [특별히 고안된 경우가 아니면 거의 불가능. 수치해석 또는 급수해(series approx. solution)를 구함]. 다행히 평면의 측지선 방정식은 2계 미분 방정식으로 간단하다. 이 미분 방정식을 풀어 평면을 구성하는 두축의 성분 방정식 두개를 얻는다. 모두 시간인수 λ 의 1차 함수 u(λ), v(λ)다.
---------------------------------------------------------------
끝으로 평면의 측지선 함수를 완성해보자. 2차원 평면의 측지선은 직선의 식이다. (Geodesics in a 2D flat plane are straight lines.)
-
--------------------------------------------------------------------------
측지선 구하기 예제: 구면(Sphere surface)의 측지선
-
-
먼저 구면의 위치벡터 R을의 관계를 식을 세우자. 2차원 면(surface)을 구(sphere)로 휘었다. 면의 2차원 좌표계 (u,v)를 구면 (X,Y,X)으로 변환하는 관계식은 12강에서 다뤘으니 참조하자.
* 평면위의 위치는 워난 단순하여 수월하게 위치벡터를 한개의 식으로 표현 할 수 있었다. 하지만 구면은 그리 단순하지 않다.
-
-
하지만 다행히 크리스토펠 기호에서 원하는 것은 위치벡터 R에 대한 2차원 기저축 성분 변수의 미분이다. 다변수 편미분 연쇄법칙을 적용하자.
-
-
따라서, 1계 편미분은 다음과 같다.
-
-
위에서 구한 편미분이 기저벡터에 해당하므로 이들 사이의 스칼라 곱이 측량텐서의 원소가 된다.
-
-
행렬로 표현된 측량 텐서가 대각 원소만 유효하므로 역 행렬을은 쉽게 구한다.
-
-
이번에는 4가지 경우의 2계 편미분을 구하자.
-
-
이제 크리스토펠 기호를 구하기 위한 모든 요소를 구했다. 구면 좌표계의 크리스토펠 기호는 다음과 같다.
크리스토펠 기호는 3개의 색인을 가지고 있다[자유도가 3이다]. 이번 텐서 강의는 개념을 쉽게 배우기 위해 2차원으로 단순화 했다. 즉, 각 색인의 범위는 [1,2] 다. 따라서 크리스토펠 기호의 종류는 총 8개가 있다. [아인슈타인 표기법을 사용하지 않았다면 엄청나게 긴 수식이 될 뻔 했다.]
크리스토펠 기호중 k 색인에 대하여 풀어쓰면 다음과 같다.
-
-
다행히 역 측량 텐서의 원소중 상당수가 0 이다. 정리하면 다음과 같다.
-
-
위의 크리스토펠 기호의 항은 2계편미분 벡터와 1계 편미분 벡터의 스칼라 곱으로 구성되어 있다. 위의 크리스토펠 기호에 사용된 편미분의 스칼라 곱을 모두 구해보자. 색인 i=1,2; j=1,2의 조합과 첨자를 붙인 변수 표기의 혼란을 피하기 위해 (u^1)= u; (u^2)= v 로 변경 하였다.
-
k=1 인 크리스토펠 기호에 필요한 항들은 다음과 같다.
-
-
-
k=2 인 크리스토펠 기호에 필요한 항들은 다음과 같다.
-
-
-
위에서 구한 항들을 모두 크리스토펠 기호에 적용하면 결국 다음과 같은 두개의 경우만 남는다.
-
-
크리스토펠 기호를 측지선 방정식에 적용하여 정리하면 두개의 미분 방정식이 나온다.
-
-
두 변수[(u^1)= u; (u^2)= v]가 포함된 두개의 다변수 미분 방정식을 얻었다. 하지만 이 미분 방정식의 풀이는 (거의) 불가능하므로 정성적인 분석을 해보자.
구면 좌표계의 두 축은 미분 변수 u를 구면의 위도(altitude)로, v를 경도(latitude)에 대응 시켰다는 점을 기억하자. 두 변수중 하나를 고정 시켜놓고 나머지 한 변수를 대상으로 경로를 해석해 보자. [구의 표면상 움직임 경로를 따지는 중이다.]
위도 변수를 u = θ_0 로 고정하고 경도 변수를 v = kλ 로 두자. 이때 k는 상수다. 이는 경도선상으로 등속으로 움직이는 경로를 나타낸 셈이다.
-
-
측지선 방정식에 필요한 두 변수 u와 v를 시간인수 λ로 1계 및 2계 미분을 하면,
-
-
위의 미분을 적용하면 결국 한개의 측지선 방정식이 남는다. 이 방정식을 만족하는 경우를 따져보자.
[1] k=0인 경우다. 경로 이동이 없는 한 점이다.
[2] 위도가 θ_0=0 또는 θ_0=π 일때 방정식을 만족한다. 각각 북극과 남극점이다.
[3] θ_0=π/2 일 때도 이 방정식을 만족한다. 구면의 적도를 따라 움직이는 대원이다.
-
-
구면의 측지선은 적도상의 대원이다. 위도 대응변수 u(=θ_0)=π/2 일 때 [cos(π/2)=0이므로] 측지선 방정식의 접면성분 가속도가 0 이어야 한다는 조건에 부합한다. 아래 그림에서 구면의 중심을 둔 적색 대원(great circle)에 해당한다. 가속도 방향이 항상 구의 중심을 향하므로 접면에 수직(normal) 성분만 있다.
위도 대응변수 u≠π/2 인 경우 접면 성분 가속도가 0이 아니다. 그림에서 흑색 점선의 원인 경우로 중심이 구의 중심에서 벗어나 있다. 이때 총 가속도는 원의 중심으로 향한 수직방향의 가속도와 접면 상의 가속도의 합이다. 따라서, 측지선이 될 수 없다.
-
-
대원을 일반화 하여 측지선을 구하면 다음과 같다.
-
----------------------------------------------------------------
[이전] 15. 측지선과 크리스토펠 기호(Geodesics and Christoffel Symbols (extrinsic geometry))
[다음] 17. 공변 미분(평면)(The Covariant Derivative (flat space))
----------------------------------------------------------------
강의목차:
Tensor Calculus by eigenchris @ Youtube
0. 소개(Introduction)
1. 다변수 미적분 요약(Multi-variable Calculus Review)
2. 직각좌표계와 극좌표계 그리고 기저벡터(Cartesian & Polar Coordinates, and Basis Vectors)
3. 자코비언(The Jacobian)
4. 미분하면 벡터된다(Derivatives are Vectors)
5. Derivative Transformation Rules (Contravariance)
5.1 Derivative Operators are Vectors Discussion
6. 차분형은 여벡터(Differential Forms are Covectors)
7. 여벡터 장 성분(Covector Field Components)
8. 8. 여벡터장 변환규칙(공변)(Covector Field Transformation Rules (Covariance))
9. 차분형(여벡터장) 적분[경로적분](Integration with Differential Forms)
10. 차분형 적분[경로적분] 예제(Integration with Differential Forms Examples)
11. 측량텐서와 원호길이(평면)(The Metric Tensor and Arc Lengths (flat space))
12. 곡면에서 원호길이 측량(The Metric Tensor in Curved Spaces for Measuring Arc Length)
13. 그래디언트(∇) 와 미분연산자(d) (Gradient vs 'd' operator)
14. 벡터장 추가설명 및 예제(Gradient explanation & examples)
15. 측지선과 크리스토펠 기호(Geodesics and Christoffel Symbols (extrinsic geometry))
16. 평면과 구면의 측지선 구하기 예제(Geodesic Examples on Plane and Sphere)
17. 공변 미분(평면)(The Covariant Derivative (flat space))
17.5 Covariant Derivative (Component Definition) - Optional
18. Covariant Derivative (extrinsic) and Parallel Transport
19. Covariant Derivative (Intrinsic) and Geodesics
20. The Abstract Covariant Derivative (Levi-Civita Connection)
21. Lie Bracket, Flow, Torsion Tensor
22. Riemann Curvature Tensor Geometric Meaning (Holonomy & Geodesic Deviation)
23. Riemann Curvature Tensor Components and Symmetries
24. Ricci Tensor Geometric Meaning (Sectional Curvature)
25. Geometric Meaning Ricci Tensor/Scalar (Volume Form)
26. Ricci Tensor/Scalar Properties
