2019년 11월 18일 월요일

12. 곡면에서 원호길이 측량(The Metric Tensor in Curved Spaces for Measuring Arc Length)

12. 곡면에서 원호길이 측량(The Metric Tensor in Curved Spaces for Measuring Arc Length)




이번 편은 곡면에서 원호(곡선)의 길이를 측량하는 방법을 다룬다. 이전의 강의들을 참고하면 좋을 것이다.

-  측량텐서(The Metric Tensor)
- 미분연산자가 벡터인 이유(Derivative Operators are Vectors Discussion)

원작자 주의: 동영상 강의 전반에 걸쳐 미분형 기저벡터표현에 dR/du 와 dR/dv 같이 전미분 미분연산자를 사용되었다. 이는 편미분 연산자 ∂R/∂u 와 ∂R/∂v를 사용하는 것이 옳다.
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곡면 기하학에 대해 더 알고 싶다면 아래 미분 기하학 과목을 추천한다.
Dr. Lia Vas, Math430
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[이번 강의는 다는 편에 비해 분량이 길다(무려 23분!). 하지만 내용은 쉽게 읽힌다.]
직전 강의는 평면에서 원호의 길이를 측량하는 방법에 다뤘고 이번 강의는 굽은면(curved surface)위의 원호 길이를 다룬다.
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'굽은면'이란 입체의 표면을 말한다. 그 예로써 원통면, 말안장면, 구면 등이 있다. 이번 강의는 구면(sphere)을 다룬다. 구면위에 그어진 원호(곡선)은 평면과 마찬가지로 2차원의 면 위에 있다.
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평면을 굽은 면으로 표현하는 수학적 방법은 무엇인가? 평평(Flat)하거나 굽은(Curved) 차이지 우리는 면(Surface)을 다루려고 한다. 따라서 굽은 면을 표현하기 위해 직교 2차원 좌표계 (u,v) 에서 확장하여 면을 3차원 체계 (X(u,v), Y(u,v), Z(u,v)) 로 확장한다. 3차원 체계는 각 요소는 2개의 변수로 인수화(parameterization) 되어 있다는 점을 주목하자.
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즉, 평면의 도형을 구의 표면에 씌운 셈이다. 평면의 u, v 축이 구면의 어디에 해당하는지 눈여겨 보자.
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이 과정에서 평면의 도형은 왜곡된다는 점에 유의하자. 일예로 평면에 그린 세계지도는 실제 구면위의 모습과 심하게 왜곡되어 있다는 사실을 알고있다.
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평면 좌표계를 구면 좌표계로 변환하는 기하학적 방법은 이미 알려져 있으므로 그대로 차용하겠다. 다만, 변환식의 의미를 짚어보고 넘어가자.

구면의 Z 축은 u 만으로 인수화 되어있다. 평면의 u축에 대해 코사인 함수의 적용을 받는다. 이때 u의 범위는 [0,π] 다.. u=0일때 1, u=π 일때 -1, u=π/2 일때 0이다. 지구 경도선에 해당한다.
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구면의 X와 Y 축은 다소 복잡하게 v 와 u를 모두 인수화 되었다. 먼저 v 의 인수를 따져보면 원이다. 지구의 위도선에 해당한다.
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그리고 X와 Y모두 동일하게 u의 사인 함수를 곱한다. 즉 위도선을 그리는 원의 반지름이 sin(u) 다. 양 극지점에서 u=0 이므로 반지름도 0 이다. 적도에서 u=π/2 이므로 반지름 1(최대)이다.
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이제 평면에 곡선을 그어놓고 곡면에 씌우면 길이는 어떻게 될까?
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곡선의 문제를 다루기 전에 가장 간단한 직선경로를 구면에 옮겨보자. 평면에서 위치 벡터가 (u=λ,v=λ) 로 움직이는 대각선을 구면에 옮겼다. 구면에서 평면으로 좌표계가 옮겨간 것이다.

앞선 강의에서 좌표계와 무관한 길이 계산 방법을 배웠다. 바로 접선속도 벡터 R의 길이(length)다. [이쯤해서 한가지 의문이 든다. 벡터는 좌표계 불변이라고 했다 따라서 접선속도 벡터는 평면 좌표계든 구면 좌표계든 불변이다. 그런데 벡터의 길이(물리량)는 좌표계에 따라 다를 수 있을까?]
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이미 배운대로 (좌표계에 무관하게) 곡선의 길이를 구해보자. 위치벡터에 움직임 인자 λ를 도입하여 접선속도 벡터의 길이를 적분한다.

[1] 접선속도 벡터의 길이의 제곱은 접선속도 벡터의 스칼라 곱이다.
[2] 접선속도 벡터의 스칼라 곱을 다변수 연쇄법칙에따라 확장 하자.
[3] 세개의 성분을 가지고 있으므로 스칼라 곱을 전개하면 9개의 항이 더해진다.
[4] X,Y,Z 축의 기저벡터는 ortho-Normal하다. 직교하는 기저벡터의 스칼라 곱은 0, 동일한 기저벡터의 스칼라곱은 1이다. 결곡 3개의 항이 남는다.
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정리하면 다음과 같다. 구면 좌표계의 기저벡터의 스칼라 곱은 모두 1이되어 각 성분에 대한 시간, 즉 각축의 속도(성분)의 제곱을 모두 더한 결과를 얻는다. 이는 3차원 피타고라스 정리와 일치한다.
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접선속도벡터 길이의 제곱은 구면좌표계에 대한 시간 미분 제곱의 합이다. 평면 좌표계에서 (u=λ, v=λ)인 직선의 위치 벡터였으므로 구면좌표계로 변환식에 대입하여 미분하면 다음과 같은 성분 값을 얻는다. [사인과 코사인 배각법칙 참조]
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[1] 위에서 구한 접선속도 벡터의 성분을 접선속도 벡터길이 식에 대입하자.
[2] 마침내 접선속도 벡터의 길이 제곱을 구했다.
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위에서 구한 접선속도 벡터 길이를 시간 λ 의 구간 [0,1] 으로 놓고 적분하여 곡선(이 예에서는 간단한 대각선)길이를 구하자. 정적분 계산이 어려우므로 WolframAlpha 의 계산을 빌리면 다음과 같다. 그런데 평면 좌표계에서 길이와 다르다!

[벡터의 좌표계 불면성에 위배되는 것인가? 동일한 대각선 벡터에 대하여 평면 좌표계에서 구면 좌표계로 단지 좌표계만 바꿨을 뿐인데?]
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[성분에 의심간다. 그렇다면 눈금이 다른 걸지도 모르니 측량텐서를 살펴보기로 한다.]
구면 좌표계의 측량텐서는 다음과 같다.
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우리는 3차원의 정규직교 좌표계를 사용하고 있으므로 위의 측량텐서는 다음과 같다.
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구면상의 곡선은 3차원 좌표계라는 점을 기억해 두자. 구면상의 면을 다루는 방식을 'Extrinsic Geometry' 라 한다. 접선 벡터가 면 밖으로 벗어나 있다. 이에비해 평면의 경우 접선 벡터는 면 상에 있다. 이를 'Intrinsic Geometry'라 한다.
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위의 (의심스러운) 길이 예제는 구면 좌표계에서 계산한 것이었다. 구면에서 확장한 (X,Y,Z)-space 대신 (u,v)-plane 에서 곡선을 다뤄보자. 접선벡터와 곡선이 같은 면에 있으므로 이를 'Intrinsic Metric Tensor'라고 한다.
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[1] 평면의 u와 v 축이 구면으로 옮겨지면 각각 곡선을 그린다.
[2] 기저벡터 e_u는 구면에서 경도선의 접선벡터, e_v는 위도선의 접선벡터다.
[3] 구면상의 다른 위치로 옮기면 기저벡터의 방향과 길이가 바뀐다.
* 구면으로 옮겼더니 위치에다라 기저벡터가 변하고 있다.
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평면의 측량텐서를 구면에서 측량텐서로 구해보자. ['Intrinsic Geometry'의 관점에서 구면을 보자. 'Extrinsic Geometry'의 관점에서 길이를 구하고 이를 'Intrinsic Geometry' 와 직접 비교하는 것은 옳지않다.]

[1] 평면의 (u,v) 좌표계를 구면의 (X,Y,Z)좌표계로 변환하는 공식을 알고 있다.
[2] 평면의 기저벡터에 해당하는 미분 ∂R/∂u 를 X,Y,Z 의 다변수 편미분으로 확장해놓으면,
[3] 구면 기저벡터 ∂R/∂X, ∂R/∂Y, ∂R/∂Z 과 성분 dX/du, dY/du, dZ/du 곱의 선형 합과 같이 된다. [이는 좌표계 변환 규칙과 같다.]
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성분 dX/du, dY/du, dZ/du을 구해 ∂R/∂u 에 적용하면 다음과 같다.
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같은 방식으로 ∂R/∂v 를 구하고 u,v 축의 기저벡터로 나타내면 다음과 같다. (u,v)좌표계와 (X,Y,Z) 좌표계 사이의 기저벡터 변환 관계가 명확해졌다. [기저벡터 변환 관계 고려없이 표면적인 길이비교는 옳지않다.]
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위에서 구한 기저벡터의 변환 관계식을 근거로 측량텐서를 구해보자. 측량텐서의 원소인 두 기저벡터들 사이의 스칼라 곱을 구한다.
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평면 좌표계 (u,v) 에서 구면 좌표계 (X,Y,Z)로 변환 하여 얻은 곡선의 접선속도 벡터의 길이제곱 ||dR/dλ||^2 은 다음과 같다.

[1] 속도 벡터 dR/dλ 는 위치벡터 R을 시간 인수 λ 로 미분하여 얻는다. R(λ)
[2] 속도 벡터의 길이의 제곱 ||dR/dλ||^2 은 속도벡터의 스칼라 곱, dR/dλ⋅dR/dλ
[3] 속도 벡터 dR/dλ 를 평면 좌표계 (u,v) 에서 확장 . 다변수 편미분 연쇄법칙.

[R(λ) 에서 R(u(λ),v(λ)) 로 확장 되었으므로 기저축의 속도성분은 du/dλ, dv/dλ 이지만 기저축은 편미분 ∂R/∂u, ∂R/∂v 이어야 함]

[4] 평면 u, v로 확장된 속도 벡터의 스칼라 곱은 속도성분 du/dλ, dv/dλ 벡터와 측량텐서의 행렬곱
[5] 평면 기저축의 편미분 ∂R/∂u 와 ∂R/∂v는 기저벡터 e_u, e_v 로 정의 됨.
[6] 평면의 기저벡터를 구면의 기저벡터로 확장. 다변수 연쇄법칙

[R(u,v)에서 R(X,Y,Z) 로 순전히 좌표계 변환. 시간인수 λ는 배제됨]

R/∂u = e_u = (dX/du)(∂R/∂X) + (dY/du)(∂R/∂Y) + (dZ/du)(∂R/∂Z)
R/∂v = e_v = (dX/dv)(∂R/∂X) + (dY/dv)(∂R/∂Y) + (dZ/dv)(∂R/∂Z)

측량텐서의 구성원인 e_u 와 e_v의 스칼라 곱을 구면 좌표계 확장 식으로 정리. 이때 구면 좌표계의 기저벡터 ∂R/∂X, ∂R/∂Y, ∂R/∂Z는 직교정규 좌표계의 기저벡터 스칼라 곱의 원리에 따라 1 또는 0.

구면 좌표계에서 기저벡터의 성분 dX/dv, dX/du, dY/dv, dY/du, dZ/dv, dZ/du 는 각각 좌표 변환식으로부터 구함

X = cos(v)sin(u)
Y = sin(v)sin(u)
Z = cos(u)

[7] 측량텐서의 원소들을 위에서 구한 (u,v) -> (X,Y,Z) 변환 결과로 바꿔 완성한다. 중간에 구면 좌표계 변환과정을 거쳤으나 길이는 여전히 평면 좌표계에 있다.
[8] 변형된 피타고라스 정리다. 다만 v축 성분 제곱에 sin(u)의 제곱이 곱해졌다.
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다시 단순한 직선 벡터를 구면에 씌워 길이를 구해보자. 위에서 구한 속도벡터 길이 구하는 식을 활용할 것이다. [평면에서 구면으로 좌표계 변환을 거친 식으로 여전히 'Intrinsic' 이다. 앞서 구했던 구면상의 접선속도 벡터는 'Extrinsic' 이었다.]
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평면의 'Intrinsic' 방법에서 원호의 길이 구하는 식이 앞서 구면 좌표계에서 'Extrinsic' 방식으로 구한 식과 동일하게 되었음을 알 수 있다. 당연히 길이 값도 같다. [앞서 'Extrinsic' 방식에서 원호길이를 구할 때 평면에서 직선벡터 길이와 비교한 오류를 상기하여보자.]
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평면에서 접선속도 벡터의 길이 구하는 식은 u와 v 만을 포함하는 intrinsic geometry 다. 피타고라스 정리에서 다소 변형되어 있다. 평면 기저축 v 의 속도성분 dv/dλ 에 sin(u)의 제곱이 곱해진 의미를 살펴보기로 하자.
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구면의 위도가 다른 두지점에서 둘레의 길이를 측량해보면 (당연히) 다르다.
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수평축 속도벡터 성분 dv/dλ 의 제곱항에 곱해진 sin^2(u) 의 영향은 위도[ u 축]별 원의 반지름에 해당한다. 즉 위도별 원주길이가 달라지게 한다. 이는 측량텐서의 정의로부터 기인한 것이며 평면과 구면의 측량용 눈금이 달라진다는 의미다.
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실예로 호주의 면적 크기를 극지로 옮겨보면 큰 차이가 난다. 구면 좌표계에서 측량텐서가 위도의 위치에 따라 달라진다[눈금이 가변적=Metric Tensor Field].
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단일 벡터와 위치에 따라 연속적으로 가변하는 벡터장, 여벡터장 과 마찬가지로 텐서[고정된 측량눈금]와 가변하는 텐서장[연속적으로 가변하는 눈금]이 있다.
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구면과 원통 그리고 말안장형 굽은 면의 측량텐서들을 보자. 눈금 도구만 있다면 제아무리 복잡한 면이라도 길이 재기(물리량 측정)는 수월하다.
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요약, 면(Surface)을 다루는 두가지 관점: 평면(Flat)과 구면(Curved)
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두 관점 차이에 따른 기저벡터의 변화
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아인슈타인 표기법의 접선속도 벡터 확장과 측량텐서
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위치벡터 R를 생략한 미분 연산자 만으로 벡터라 하자.
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[이전] 11. 측량텐서와 원호길이(평면)(The Metric Tensor and Arc Lengths (flat space))
[다음] 13. Gradient vs d operator (exterior derivative_differential)
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강의목차:
Tensor Calculus by eigenchris @ Youtube

0. 소개(Introduction)
1. 다변수 미적분 요약(Multi-variable Calculus Review)
2. 직각좌표계와 극좌표계 그리고 기저벡터(Cartesian & Polar ㅌCoordinates, and Basis Vectors)
3. 자코비언(The Jacobian)
4. 미분하면 벡터된다(Derivatives are Vectors)
5. Derivative Transformation Rules (Contravariance)
5.1 Derivative Operators are Vectors Discussion
6. Differential Forms are Covectors
7. 여벡터 장 성분(Covector Field Components)
8. 8. 여벡터장 변환규칙(공변)(Covector Field Transformation Rules (Covariance))
9. 차분형(여벡터장) 적분[경로적분](Integration with Differential Forms)
10. 차분형 적분[경로적분] 예제(Integration with Differential Forms Examples)
11. 측량텐서와 원호길이(평면)(The Metric Tensor and Arc Lengths (flat space))
12. 곡면에서 원호길이 측량(The Metric Tensor in Curved Spaces for Measuring Arc Length)
13. Gradient vs d operator (exterior derivative_differential)
14. Gradient explanation + examples
15. Geodesics and Christoffel Symbols (extrinsic geometry)
16. Geodesic Examples on Plane and Sphere
17. The Covariant Derivative (flat space)
17.5 Covariant Derivative (Component Definition) - Optional
18. Covariant Derivative (extrinsic) and Parallel Transport
19. Covariant Derivative (Intrinsic) and Geodesics
20. The Abstract Covariant Derivative (Levi-Civita Connection)
21. Lie Bracket, Flow, Torsion Tensor
22. Riemann Curvature Tensor Geometric Meaning (Holonomy + Geodesic Deviation)
23. Riemann Curvature Tensor Components and Symmetries
24. Ricci Tensor Geometric Meaning (Sectional Curvature)
25. Geometric Meaning Ricci Tensor_Scalar (Volume Form)
26. Ricci Tensor_Scalar Properties


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