2019년 11월 7일 목요일

8. 여벡터장 변환규칙(공변)(Covector Field Transformation Rules (Covariance))

8. 여벡터장 변환규칙(공변)(Covector Field Transformation Rules(Covariance))



여벡터장(Covector Field)의 변환 규칙에 대하여 공부한다. 이전의 텐서 기초 강좌중 '여벡터 변환규칙' 편을 먼저 보길 권한다.
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'텐서의 기초' 강좌에서 개별 벡터와 여벡터의 변환 규칙을 배웠다. 기저벡터의 공변성, 벡터 성분의 반변성, 기저 여벡터의 반변성 그리고 여벡터 성분의 공변성이 그것이다.
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'텐서 미적분' 강좌는 이 벡터와 여벡터 변환의 기본 개념을 장의 개념으로 확장한 것이다. 움직이는 벡터의 미문으로 벡터장을, 적분의 미분형으로 여벡터장을 기술한다.

벡터장은 움직이는 벡터의 미분 d/dλ 으로 벡터의 기저축 성분 c^(또는 p^i)을 움직임 인자 λ로 미분 d(c^i)/dλ (또는 d(p^i)/dλ)과 벡터에 대한 기저축의 편미분 ∂/∂(c^i) (또는 ∂/∂(p^i))의 선형조합 인데 이는 다변수 편미분의 연쇄법칙과 같다. 벡터장의 규칙에서 기저벡터 변환 규칙은 공변성을 갖는다. 벡터장 성분은 하며 반변성을 갖는다.

여벡터장은 스칼라장 함수 [f = f(x,y) = (x(λ), y(λ)) = f(λ)] 미분형d으로 축성분 편미분 ∂f/∂(c^i) (또는 ∂f/∂(p^i)) 과 미분형 d(c^i) (떠는 d(p^i)) 의 선형조합이다. 이번에 배울 내용은 이 여벡터 장의 변환에 관한 것이다.
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지난번 강의에서 여벡터 장은 기저여벡터장으로 분리될 수 있음을 보였다.
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df 가 어느 여벡터장으로 확장될 수 있다면 dθ 와 또한 dx와 dy의 선형조합으로 확장될 수 있다. 확장식에서 기저여벡터장의 계수는 역자코비안(Inverse Jacobian) 행렬의 원소다. 분모에 극좌표, 분자에 직교좌표계다.[극좌표에서 직교좌표계로 변환.] 여벡터장의 성분 변환 규칙으로 반변성을 따른다.
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극좌표계에서 직교좌표계로의 변환규칙을 아인슈타인 표기법으로 기술하면 다음과 같다.
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이를 행렬로 표현하면 다음과 같다. 우변은 역자코비언(역변환) 행렬과 열벡터로 담긴 기저여벡터장(반변성을 갖는)의 곱이다.
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역자코비언 행렬의 원소인 편분을 구하면 극좌표계에서 직교좌표계로의 변환에서 이미 계산[1][2] 했던 대로 다음과 같다.[참조: 3. 자코비언]
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위의 직교좌표계와 극좌표 사이의 변환을 통해 (여벡터장) 변환 규칙이 타당한지 확인해 보자.

먼저,

극좌표계의 여벡터장 dr 을 직교좌표계 (x,y) 로 변환하는 경우다. 직교좌표계의 x 축 상으로 만 변환하면 y=0 이므로 변환식에서 dx 항만 남는다. dr 은 항상 밖으로 향한다.[반지름은 음이될 수 없다] 하지만 직교좌표계의 x 축은 원점에서 양과 음의 방향이 있다.
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직교좌표계의 y 축 상으로 만 변환하면 x=0 이므로 변환식에서 dy 항만 남는다. 극좌표계의 r축은 항상 양의방향이지만 직교좌표계의 y 축은 원점에서 양과 음의 방향이 있다.  [dx 와 dy 의 계수 (x/r) 과 (y/r) 은 1이다. 따라서 전 방향으로 등간격으로 여벡터장의 등위선은 원이다. 극좌표 조건에 부합한다.]
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dθ 에 대해서도 같은 해석을 할 수 있다. 직교좌표계의 x 축 상으로 만 변환하면 y=0 이므로 변환식에서 dx 항만 남는다. 각도 θ가 반시계 방향이 양의 부호를 감안하면 직교좌표계의 부호에 대응한다.
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직교좌표계의 y 축 상으로 만 변환하면 x=0 이므로 변환식에서 dy 항만 남는다. 계수에 음의 부호를 가지고 있으므로 반시계 방향의 θ와 y 축의 부호가 일치한다. [dx 와 dy 의 계수가 (y/r^2) 과 (x/r^2) 다. 거리 역제곱(inverse square)이다.]
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직교좌표계의 여벡터장 dx와 dy도 극좌표의 dr 과 dθ 의 선형조합으로 확장될 수 있다. 확장식의 기저여벡터장의 계수는 자코비안(Jacobian) 행렬의 원소다. 분모에 직교좌표, 분자에 극좌표계다.
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일반형으로 확장된 변환식의 아인슈타인 표기법에 따라 기술하면 다음과 같다. [직교좌표에서 극좌표계로 변환.] 극좌표계의 기저여벡터장 dr 과 dθ 는 열벡터로서 반변성을 갖는다.
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위의 자코비언 행렬의 원소인 편분을 구하면 직교좌표계에서 극좌표계로의 변환에서 이미 계산했던 대로 다음과 같다.[참조: 3. 자코비언]
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이 변환을 정성적으로 이해해 보자. 직교좌표계의 여벡터장 dx 을 극좌표계 (r,θ) 로 변환하는 경우다.

먼저 x 축 선상에서 여벡터장 dx를 보자. y=0 이므로 dθ 성분은 없다. 원점에서 x축의 양의 구간은 반지름과 일치한다. 하지만 음의 구간은 반지름 방향이 x축의 방향에 반대이므로 서로 상쇄되어 r 은 항상 양의 값을 가져야 한다는 조건에 부합한다.
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이번에는 y 축상의 dx 다. x=0 이므로 dθ 성분만 남는다. θ는 반시계방향이 양의 부호다. 계수가 음의 부호다. 따라서 y 축의 양의 구간의 θ는 시계방향이다. 물론 y가 음인 구간에서 θ는 반시계 방향으로 여벡터장 dy의 방향과 일치한다.
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직교좌표계의 임의 위치에서 여벡터장 dx 을 극좌표계로 변환하는 경우를 보자. x 와 y 가 모두 0이 아니므로 극좌표계 기저여벡터 dr 과 dθ 의 벡터합 방향이 된다. 아래 그림처럼 (보라색 화살표) dr 과 (녹색 화살표) dθ 의 합은 결국 dx 와 같다.
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y축 여벡터장 dy 역시 dr 과 dθ의 성분 선형합이 된다. 두 기저여벡터장의 합은 결국 dy 와 같다. 
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위에서 직교좌표계와 극좌표계 사이의 여벡터장 변환 규칙을 살펴봤다. 여벡터장 변환 규칙을 요약하면 기저여벡터의 변환은 반변성을 따르는 변환이다.
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이번에는 여벡터장 성분의 변환규칙을 알아볼 차례다.(Covector Field Component Transformation Rule)
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여벡터장(=스칼라장의 미분형, d)은 어느 좌표계의 기저여벡터장과 성분 조합의 선형합이라는 것은 이미 배웠다. 또한 여벡터장의 성분은 다변수 편미분의 연쇄법칙에 따라 합으로 확장될 수 있다.
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정리하면, 여벡터장(covector field)은 기저여벡터장(basis covector field)과 여벡터장 성분(covector field components) 조합의 선형합이다. 기저 여벡터장의 변환 규칙은 성분과 반변한다. 여벡터장 성분의 변환 규칙은 공변관계다.
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여벡터장의 성분의 변환 규칙이 공변한다는 점이 다소 특이해 보일지 모른다. 여벡터의 값(성분)은 벡터가 통과하는 등위선의 갯수다. 벡터의 길이에 비례한다(벡터와 여벡터 성분이 공변).
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공변하는 여벡터장 성분의 변환 규칙을 확실히 새기기 위해 예를 들어보기로 한다. 앞서 스칼라장 함수 f(x,y)와 이를 극좌표계로 변환한 f(r,θ)의 예를 들었었다.
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두 좌표계 사이의 성분 변환에 공변성이 있는지 살펴보기로 하자. 여벡터장 성분 df 의 직교좌표와 극좌표에서 확장 표현될 수 있다. 지난 강의에서 두 좌표계 사이의 성분 변환을 구했었는데 이번에 배운 공변성의 관점으로 다시 확인해보자.
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여벡터 성분의 변환 규칙은 다변수 편미분 연쇄법칙과 같으며 변환될 좌표계의 성분에 대한 편미분에 자코비언의 곱이다. 이를 행렬로 표현하면 변환될 여벡터 성분을 행벡터로 놓고 자코비언 행렬을 곱한 것과 같다. [공변하는 여벡터 성분은 행벡터, 반변하는 벡터 성분은 열벡터. 텐서 기초강좌 내내 배운 것이다. 이제는 덮어놓고 외우자.]
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위의 변환 행렬을 계산하면 결국 극좌표계로 변환된 여벡터장의 성분을 얻게 된다.
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이번에는 극좌표계(P)에서 직교좌표게(C)로 여벡터장 성분을 변환해보자.
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정리하면 직교좌표계 여벡터장 성분 행벡터를 얻는다.
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이제 마지막 남은 상자를 채워보자. 벡터장과 여벡터장의 표현법과 변환을 정리하면 다음과 같다.
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[이전] 7. 여벡터 장 성분(Covector Field Components)
[다음] 9. Integration with Differential Forms
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강의목차:
Tensor Calculus by eigenchris @ Youtube

0. 소개(Introduction)
1. 다변수 미적분 요약(Multi-variable Calculus Review)
2. 직각좌표계와 극좌표계 그리고 기저벡터(Cartesian & Polar ㅌCoordinates, and Basis Vectors)
3. 자코비언(The Jacobian)
4. 미분하면 벡터된다(Derivatives are Vectors)
5. Derivative Transformation Rules (Contravariance)
5.1 Derivative Operators are Vectors Discussion
6. Differential Forms are Covectors
7. 여벡터 장 성분(Covector Field Components)
8. Covector Field Transformation Rules (Covariance)
9. Integration with Differential Forms
10. Integration with Differential Forms Examples
11. The Metric Tensor and Arc Lengths (flat space)
12. The Metric Tensor in Curved Spaces for Measuring Arc Length
13. Gradient vs d operator (exterior derivative_differential)
14. Gradient explanation + examples
15. Geodesics and Christoffel Symbols (extrinsic geometry)
16. Geodesic Examples on Plane and Sphere
17. The Covariant Derivative (flat space)
17.5 Covariant Derivative (Component Definition) - Optional
18. Covariant Derivative (extrinsic) and Parallel Transport
19. Covariant Derivative (Intrinsic) and Geodesics
20. The Abstract Covariant Derivative (Levi-Civita Connection)
21. Lie Bracket, Flow, Torsion Tensor
22. Riemann Curvature Tensor Geometric Meaning (Holonomy + Geodesic Deviation)
23. Riemann Curvature Tensor Components and Symmetries
24. Ricci Tensor Geometric Meaning (Sectional Curvature)
25. Geometric Meaning Ricci Tensor_Scalar (Volume Form)
26. Ricci Tensor_Scalar Properties

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