이번 강의는 측지선(Geodesic)과 크리스토펠 기호(Christoffel Symbol)을 다룬다.
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동영상 내용은 아래 링크를 참조했다.
http://liavas.net/courses/math430
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측지선(測地線, Geodesics)은 두지점을 잇는 가장 짧은 '길이'를 일컷는다. 평면(flat surface)에서 두 지점의 가장 짧은 길이는 두 점 사이의 직선이다. 그런데 굽은 면(curved surface)에서 두지점을 잇는 가장 짧은 거리를 측정하려면 수월치 않다.
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곡면이든 평면이든 면(surface) 상의 두 지점을 잇는 가장 짧은(=곧은)경로(straightest line)를 측지선이라 한다.
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누가 측지선에 집착하는가? 등속운동(constant speed of light)하는 빛은 가장 짧은경로를 따라 나간다. 특수상대론에 따르면 중력 때문에 시공간이 굽는다. 그 증거로 빛의 경로가 휠 것이다.
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평면에서 두점사이에 가장 곧은 경로가 직선 이라는 것을 운동으로 설명해보자.
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[1] 평면에서 등속(constant speed)운동을 하는 물체가 있다.
[2] 이 물체가 곡선운동을 하면 위치에서 속도벡터의 방향이 변하므로 가속도가 생긴다[구심력=원심력].
[3] 이 물체가 직선 운동을 하면 경로상 어느 위치에서도 속도벡터는 같으므로 가속도는 없다.
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[1] 높낮이가 있는 곡면에서 등속운동하는 물체가 있다.
[2] 이 물체가 곡선운동을 하면 회전과 높낮이 변화에 따른 두 종류의 가속도가 작용한다.
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[3] 이 물체가 직선 운동을 하면 높낮이 변화에 의한 한가지 가속도가 작용한다.
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굽은 공간에서 측지선(가장 곧은 경로)는 곡면의 접면(tangential plane)에 수직(Normal)으로 작용하는 가속도만 있는 경로다.
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Normal Vector: 접면에 수직인 벡터. 벡터공간에서 면(surface)도 벡터이며 면벡터의 방향은 면에 수직으로 정의한다.
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-----------------------------------------------------------------목표는 측지선 구하기:
[1] 곡면에서 등속운동의 경로에 작용하는 가속도 벡터는 접면(tangential surface)과 그 접면의 수직(normal)하는 가속도 성분의 합.
[2] 접면 가속도가 0인 경로가 측지선. [접면 가속도=접면을 구성하는 기저축의 가속도 성분의 합]
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2차원 평면은 (u,v) 좌표계다. 이 평면이 굽게되면 3차원으로 좌표계 (X,Y,Z)으로 표현되어야 한다. 하지만 3차원의 각 좌표축은 2차원의 좌표축에 종속된다. 따라서, 굽은 평면위의 위치 벡터 R은 (X(u,v), Y(u,v), Z(u,v)) 다.
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[1] 2차원 평면에서 등속운동의 속도벡터는 시간 인수 λ.
[2] 3차원의 굽은 평면에서 위치벡터 R을 시간인수 λ로 나타내면,
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구면의 접면(tangential plane):
[1] 접면(Tangential Plane)은 어쨌든 2차원의 면(2D surface)으로써 2개의 기저벡터(basis vector)를 가진다.
[2] 움직이는 면의 기저벡터 e_u 와 e_v는 위치벡터 편미분 ∂R/∂u 과 ∂R/∂v 이다.
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접선 속도(tangential velocity)
[3] 곡면에서 접선속도 벡터 dR/dλ 는 항상 접면상에 있다. 두 기저벡터[∂R/∂u 와 ∂R/∂v]에 성분[du/dλ 와 dv/dλ]을 곱한 선형합으로 표현된다.
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가속도:
속도 dR/dλ 를 한번더 시간인자로 미분하면 가속도(Acceleration)다. 접면의 두 기저벡터와 성분 곱 항(Basis components terms)과 알 수 없는 항(Questionable terms)이 있다. 이 알수없는 항은 평면의 성분인가 아니면 수직의 성분인가, 혹은 이 둘의 합성일까?
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'알수 없는' 항이 된 이유는 기저벡터에 시간 미분을 했기 때문이다. 위치벡터 R에 대하여 시간인자 λ의 미분과 기저축 u, v의 편미분이 연속적으로 적용되고 있다. 의문을 풀려면, 서로 상이한 이 두가지 인자를 분리해내야 한다.
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[1] 시간 편미분 연산자는 편미분 연쇄법칙으로 확장될 수 있다.
[2] 이 확장을 위의 두 의문의 항에 적용해 보자.
[3] 인자를 분리한 의문의 항을 원래의 가속도에 대입해보자.
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[이전] 14. 벡터장 추가설명 및 예제(Gradient explanation & examples)
[다음] 16. 평면과 구면의 측지선 구하기 예제(Geodesic Examples on Plane and Sphere)
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강의목차:
Tensor Calculus by eigenchris @ Youtube
0. 소개(Introduction)
1. 다변수 미적분 요약(Multi-variable Calculus Review)
2. 직각좌표계와 극좌표계 그리고 기저벡터(Cartesian & Polar Coordinates, and Basis Vectors)
3. 자코비언(The Jacobian)
4. 미분하면 벡터된다(Derivatives are Vectors)
5. Derivative Transformation Rules (Contravariance)
5.1 Derivative Operators are Vectors Discussion
6. 차분형은 여벡터(Differential Forms are Covectors)
7. 여벡터 장 성분(Covector Field Components)
8. 8. 여벡터장 변환규칙(공변)(Covector Field Transformation Rules (Covariance))
9. 차분형(여벡터장) 적분[경로적분](Integration with Differential Forms)
10. 차분형 적분[경로적분] 예제(Integration with Differential Forms Examples)
11. 측량텐서와 원호길이(평면)(The Metric Tensor and Arc Lengths (flat space))
12. 곡면에서 원호길이 측량(The Metric Tensor in Curved Spaces for Measuring Arc Length)
13. 그래디언트(∇) 와 미분연산자(d) (Gradient vs 'd' operator)
14. 벡터장 추가설명 및 예제(Gradient explanation & examples)
15. 측지선과 크리스토펠 기호(Geodesics and Christoffel Symbols (extrinsic geometry))
16. 평면과 구면에서 측지선(Geodesic Examples on Plane and Sphere)
17. The Covariant Derivative (flat space)
17.5 Covariant Derivative (Component Definition) - Optional
18. Covariant Derivative (extrinsic) and Parallel Transport
19. Covariant Derivative (Intrinsic) and Geodesics
20. The Abstract Covariant Derivative (Levi-Civita Connection)
21. Lie Bracket, Flow, Torsion Tensor
22. Riemann Curvature Tensor Geometric Meaning (Holonomy & Geodesic Deviation)
23. Riemann Curvature Tensor Components and Symmetries
24. Ricci Tensor Geometric Meaning (Sectional Curvature)
25. Geometric Meaning Ricci Tensor/Scalar (Volume Form)
26. Ricci Tensor/Scalar Properties
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