원본출처: Tensors for Beginners by eigenchris(YouTube)
* 주의: 동영상 강의 중 여 벡터 ε를 표현한 그림에 오류가 있음. 아래 내용은 오류를 수정하여 작성되었음.
앞서 여벡터(Covector)를 소개한 데 이어 두번째 강의로 성분(components)에 대하여 공부 한다. 먼저 여 벡터를 요약해보면,
- 벡터 공간 V를 입력하여 실수(Real)로 사상하는 행 벡터 함수로서 선형성을 갖는다. [입력에 대한 합, 입력에 스칼라 곱]
- 함수 에 대한 스칼라 곱 및 함수의 합이 성립하는 별도의 벡터 공간의 요소로서 취급된다. [함수의 곱, 함수의 합]
- 여함수는 적층된 동위선(oriented stacks)으로 시각화 할 수 있다.
열벡터(Column Vector)는 주어진 기저의 성분[좌표 값]을 수직으로 배열한 것으로 벡터의 실체라 할 수 있다. 아주 정확한 표현은 아니지만 행벡터(Row Vector) 또한 여벡터의 성분을 표현한 것이라고 봐야 할 것이다.
여벡터(covector)는 벡터와 마찬가지로 기하학적인 좌표계에 무관하게 불변성(invariant)을 갖는다. 하지만 여벡터의 성분(components)은 벡터의 성분 처럼 좌표계에 따라 그 값이 바뀌므로 불변하지 않다(not invariant).
불변성에 대해서 나중에 따져보기로 하고, 먼저 여벡터에 성분은 무슨 뜻인지 알아보자. 아래와 같은 벡터 표현은 기저벡터가 e_i 인 좌표계에서
두 벡터의 합 이라고 금방 이해된다.
그렇다면 행 벡터는 어떻게 이해할 수 있을까?
이미 아는대로 여벡터는 벡터를 입력 받아 실수를 출력하는 함수로써 벡터 공간에 소속되지 않아 기저벡터로 측량될 수 없다.
그럼 여벡터를 기술할 방법을 찾아보자. [여벡터도 불변성과 성분의 가변성은 일반 벡터와 같다. 하지만 행 벡터 함수인 여벡터는 벡터 공간에 닫혀있지 않기 때문에 기저 벡터를 직접 사용하여 표현할 수 없다. 그렇더라도 기저 벡터 체계(좌표계)에 끌어들일 방법을 찾아야 한다.]
벡터 V를 기술하기 위한 기저 벡터 e_1과 e_2가 있다고 하자.
그리고 기저 벡터에 대하여 다음과 같이 작용하는 특별한 두개의 여 벡터 ε 를 도입하였다. 두 여벡터를 구분하기 위해 윗첨자를 사용 했다. 이유는 나중에 설명한다.
- 첨자의 사용에 유의하자. 벡터에 붙인 첨자는 서로 다른 벡터를 의미한다. 스칼라인 경우 성분을 구분할 때 사용된다. 단, 여 벡터 ε에 사용된 윗첨자는 스칼라 함수를 구분하고 있다.
- ε 는 벡터 표시(화살표)가 되어 있지 않지만 행벡터다(row vector). 벡터를 입력으로 스칼라를 출력하기 때문에 벡터 표시를 하지 않고 있다.
- v 에 화살표 표시는 열 벡터(column vector)다. 화살표 없는 v는 스칼라로서 벡터 v의 성분을 나타내는 첨자가 반드시 있어야 한다.
위에서 정의한 여벡터 함수 ε 의 윗첨자와 입력 변수로 쓰인 기저 벡터의 아랫 첨자가 같을 때 1, 그외의 경우 0이다. 이는 크로네커 델타(Kronecker delta)와 같은 행동을 취하는 함수다.
이렇게 정의된 여벡터 함수 ε 가 어떻게 적층선(stacks of line)이 되는지 그림으로 설명해 보기로 한다. 임의의 벡터 v 에 대하여 두 여벡터 함수를 각각 적용하면 다음과 같다.
벡터 v 는 성분 값이 곱해진 각 기저 벡터의 합으로 표현된다. [벡터의 성분은 반변하므로 윗첨자가 사용되었다.] 이어서 여함수의 선형성 원리에 따라 분배 법칙이 적용되고 앞서 정의한 대로 여벡터의 윗첨자와 기저 벡터의 아랫첨자가 같은 경우만 1로 남는다. 두번째 여벡터 함수에 벡터 v를 적용하면 역시 벡터 성분만 남는다.
이 두개의 여벡터 함수는 벡터 v의 성분을 기저벡터 e_1과 e_2의 축으로 투영(projecting)하는 역활을 한다[벡터의 기저 축으로 계량한다.] 이 여벡터가 하는 투영(벡터의 기저축 성분을 알아내는 역활)의 일반형은 다음과 같다.
(직교관계에 있는) 두 기저벡터 e_1과 e_2 에 대하여 두 여벡터를 그림으로 보면 다음과 같다. [적층선(등고선)과 고도 증가방향에 유의하자]
이제 여 벡터의 일반형(general covector) α을 구해보자.
결국 일반 여벡터(general covector) α 는 두 여벡터의 선형합(linear combination of ε covectors)으로 표현된다.
[벡터 v가 좌표계를 구성하는 기저벡터 축에 대한 성분으로 나타 내듯이, 여 벡터 α 는 기저벡터의 여벡터 성분 선형 합이다.]
So what this mean is that the ε covectors form a basis for the set of all covectors. For that reason we call these ε are 'Dual Basis'. Because basis of Dual Space V*. [Dual Basis: ε와 α 모두 기저 벡터에서 유도되었다.]
수식보다 좀더 이해하기 쉬운 그림으로 여벡터를 설명해 보기로 하자.
기저벡터 e_1과 e_2 인 공간에 그림과 같이 적층선으로 여벡터 α가 존재한다고 하자. 두 기저벡터를 여벡터에 적용하여 여벡터의 성분 α_1과 α_2를 구할 수 있다. 결국 기저벡터가 몇개의 적층선을 차지(관통) 하는지 알 수 있다.
일반 여벡터 α는 이렇게 구한 α_1과 α_2에 기저벡터의 여벡터 ε의 선형 합으로 나타낼 수 있게 된다.
정리하면, 어떤 벡터든 기저벡터의 선형합으로 표현 하였듯이 임의의 여벡터(비록 행 벡터로서 스칼라 함수지만)도 기저 여벡터의 선형합으로 나타낼 수 있다.
변형된 기저벡터에 대해서도 같은 방식으로 여벡터가 적용된다. 먼저 다음과 같이 정의된 기저 여벡터를 도입하자. 변형된 좌표계의 기저 벡터와 여벡터를 정의 하고 있다. 두 첨자가 다를때 0, 그리고 같을 때 1이 되도록 등고선을 그으려면 어떤 모양이 될지 따져보자.

등위 적층선(stack of lines)은 기저벡터 e_2를 여벡터 ε^1에 적용하여 ε^1(e_2) = 0 이 되도록 그어진 선이다. 따라서, 기저벡터 e_2에 평행하게 그어진다. 적층선의 간격은 기저벡터 e_1가 한칸 차지하도록 단위화(normalize) 한다. 이 두 조건에 맞는 여벡터 함수가 크로네커 델타 이다.

위에서 정한 여벡터 함수 ε를 임의의 변형된 여벡터에 적용 하면 아래와 같다. [ε가 마치 기저벡터의 역활을 한다. 이에 대한 스케일 값 α_1 은 기저벡터 e_1을 여벡터 함수 α에 적용시킨 값, α_1 = α(e_1) ]
실제 예를 보기로 하자. 여벡터 α가 다음과 같이 원 기저 여벡터(Old basis covector) ε로 기술되었다.
기저 여벡터 ε의 공간에서 여벡터는 α 다음과 같다[기저 여벡터의 선형합].

그리고 기저 여벡터의 스케일 값(스칼라)는 다음과 같다.

여벡터 α를 기저 여벡터 공간의 행 벡터(row vector)로 표현.

변형된 여벡터 역시 다음과 같이 기술된다.
변형된 좌표계가 아래 그림의 빨간 화살표와 같아면, 기저 여벡터에 대한 스케일을 계산하여 여벡터를 구하면,
원 좌표계의 여벡터 성분은 각각 2와 1, 변형 좌표계의 여벡터 성분은 각각 5와 -3/4 다. 또한, 기저벡터의 변환행렬을 이용하여 두 좌표계사이의 여벡터 변환을 구할 수 있다.
여벡터의 경우 정변환행렬을 곱하여 변형된 좌표계의 여벡터를 구한다. 역변환 행렬을 곱하여 원 여벡터를 구할 수 있다.
여벡터를 단순히 정의하면 벡터의 행변형이었다. 이번에는 여벡터를 벡터로 변환(transpose)하여 변환행렬을 곱하여 여벡터 공간에서 성분을 구해보자.
임의의 벡터 v에 대하여 원 기저벡터와 변형 기저벡터를 사용하는 공간에서 여벡터의 성분은[청색]은 호환된다. 이에 반하여 여벡터를 벡터화한 경우 성분[적색]은 다르다는 점에 주목하자.
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[정역방햔 변환행렬은 '1. 정역변환' 강의때부터 사용한 예제다.]
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[다음] 6. 여벡터 변환 규칙 (Covector Transformation Rules)
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[구구단만 알아도 '텐서']
-1. 동기(Motivation)
0. 텐서의 정의(Tensor Definition)
1. 정역방향 변환(Forward and Backward Transformation)
2 벡터의 정의(Vector Definition)
3. 벡터 변환 규칙(Vector Transformation Rules)
4. 여벡터 란?(What's a Covector?)
5. 여벡터 성분(Covector components)
6. 여벡터 변환 규칙(Covector Transformation Rules)
7. 선형 사상(Linear Maps)
8. 선형사상 변환규칙(Linear Map Transformation Rules)
9. 측량 텐서(Metric Tensor)
10. 쌍선형 형식(Bilinear Form)
11. 선형사상은 벡터-여벡터의 짝(Linear-Maps are Vector-Covector Pair)
12. 쌍선형 형식은 여벡터-여벡터 짝(Bilinear Forms are Covector-Covector Pairs)
13. 텐서 곱 vs. 크로네커 곱(Tensor Product vs. Kronecker Product)
14. 텐서는 벡터-여벡터 조합의 일반형(Tensors are a general vector-covector combinations)
15. 텐서 곱 공간(Tensor Product Spaces)
16. 색인 올림과 내림(Raising/Lowering Indexes)
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