원본출처: Tensors for Beginners by eigenchris(YouTube)
이전 강의에서 좌표 변화에 따른 기저벡터의 변환행렬이 벡터 성분변환에서는 반대로 적용된다는 것을 알게됐다. 이번 강의는 그 이유에 대해 설명한다. [아울러 반변벡터(Contravariant)도 소개한다.]

쉬운 예를 들어보자. 아래의 그림의 청색으로 표현된 원좌표계에 벡터 v 가 있다. 이 벡터 v는 두 기저벡터 성분이 모두 1인 벡터다. 변환된 좌표계는 원좌표계에서 기저벡터의 길이가 단지 2배로 커진 좌표계다. 이 변환된 좌표계에서 벡터 v의 성분은 각각 1/2이다. 벡터 v는 변화없지만(invariant) 기저벡터가 두배로 커진 변환된 좌표계에서 벡터의 성분(components)은 반으로 작아졌다. 기저벡터의 성분 변화와 벡터 v의 성분 변화가 반대다. 흥미롭지 않은가.
이번에는 다른 예로 각도가 변화된 좌표계다. 아래 그림처럼 원좌표계를 시계방향으로 회전 시킨 병형된 좌표계에서 벡터 v의 성분들은 마치 반시계 방향으로 회전한 것과 같다.
다시 첫번째 도표를 보자. 기저 벡터가 커지면 성분 값은 작아진다. 기저벡터가 한 방향으로 회전하면 성분은 그와 반대로 회전한 효과를 낸다. 벡터의 성분을 구할 때 반대의 변환행렬을 적용 했는지 직관적인 이해가 되었을 것이다. 이제 임의의 다차원으로 확장해 보자.
[벡터 표기법] 임의 벡터 v 는 원좌표계의 기저벡터 e_j와 그에 대한 성분 v_j의 곱을 더한 선형 합(Linear Combination)이다. [v_1은 벡터 v의 e_1 기저벡터 축 성분이다. 축성분 값을 해당 기저벡터에 곱한 후 모두 더한 것] 이번에는 벡터 v를 변형 좌표계에서 나타내 보면 기저벡터 e_j_tilde와 성분 v_j_tilde의 선형 합이다. 일반화를 위해 점을 찍는 대신 총합(summation)의 기호 ∑_j를 사용하여 표현한다.
다차원으로 일반화 시킨 벡터의 표현과 앞서 구한 변형된 좌표계사이의 변환식을 활용하여,
벡터 v를 다시 써보면,
위의 두 식을 비교하여 다음과 같은 식을 얻는다. 변형된 좌표계의 i번째 벡터 성분 v_i_tilde 은 원 좌표계의 벡터 성분 v_j 와 역변환 행렬 B 의 i-번째 행과 선형합 임을 보였다. [행렬 B와 벡터 v 성분의 곱이다.]

같은 방법으로 변환된 좌표계의 벡터 성분에 순방향 행렬식 F을 곱하여 원좌표계의 벡터 성분을 구할 수 있음을 알 수 있다. 변형 좌표계에서 원좌표계의 벡터 성분 변환에 순방향 변환행렬이 사용되었다. [변환행렬의 사용을 보면 뭔가 반역(Contra)의 기운이..!]
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[행렬 B_ij와 벡터 v_j의 곱이다! 원 좌표계에서 벡터의 성분과 역방향 변환 행렬을 곱하여 변형된 좌표계의 성분을 구할 수 있음을 증명]
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지금까지 살펴본바 대로 불변 벡터를 두고 두 좌표계 사이의 변환을 기저벡터와 성분으로 나눠보면 다음과 같다. 특히 성분에 대한 변환의 경우 기저벡터 변환과 반대의 변환행렬을 적용한다. 이를 두고 벡터 성분 변환은 '반변 텐서(Contravariant tensors)'라고 한다. 이에 대해서 나중에 다시 다룰 것이다.
끝으로 벡터의 표기법에 대해 언급하고자 한다. 벡터를 표기할 때 아래와 같이 첨자를 사용 하였다. 이 첨자는 벡터에 나열된 값의 위치를 나타낸다.
앞서 살펴 봤듯이 기저벡터 e_i와 e_i_tilde 의 경우 정역변환 행렬의 적용이 순리적 이었지만 성분 v_i와 v_i_tilde의 경우 반대로 적용 되였다(Contra!). 이와같이 숨은 특성을 위의 식에 적용하기 위해 윗첨자를 사용한다. 일반적인 대수식에서 윗첨자는 제곱의 의미를 가진다. 하지만 텐서(벡터) 분야에서 제곱은 거의 등장하지 않는다.
원소(element)를 첨자로 사용하는 벡터의 표기법에서 아래 첨자는 공변벡터(Covariant) 윗첨자는 반변벡터(Contravariant) 라고 한다.
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[이전] 2. 벡터의 정의(Vector Definition)
[다음] 4. 여벡터 란?(What is CoVector?)
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[구구단만 알아도 '텐서']
-1. 동기(Motivation)
0. 텐서의 정의(Tensor Definition)
1. 정역방향 변환(Forward and Backward Transformation)
2 벡터의 정의(Vector Definition)
3. 벡터 변환 규칙(Vector Transformation Rules)
4. 여벡터 란?(What's a Covector?)
5. 여벡터 성분(Covector components)
6. 여벡터 변환 규칙(Covector Transformation Rules)
7. 선형 사상(Linear Maps)
8. 선형사상 변환규칙(Linear Map Transformation Rules)
9. 측량 텐서(Metric Tensor)
10. 쌍선형 형식(Bilinear Form)
11. 선형사상은 벡터-여벡터의 짝(Linear-Maps are Vector-Covector Pair)
12. 쌍선형 형식은 여벡터-여벡터 짝(Bilinear Forms are Covector-Covector Pairs)
13. 텐서 곱 vs. 크로네커 곱(Tensor Product vs. Kronecker Product)
14. 텐서는 벡터-여벡터 조합의 일반형(Tensors are a general vector-covector combinations)
15. 텐서 곱 공간(Tensor Product Spaces)
16. 색인 올림과 내림(Raising/Lowering Indexes)
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포스트 감사합니다.
답글삭제번역 중에, 반변 벡터와 반변성이 섞인게 아닌가 싶어 댓글 남깁니다.
의견 감사합니다. 이 블로그를 쓰는 저는 자습 학습자입니다. 원 강의를 보고 제가 이해하는 만큼 옮겨놓은 것이라 오류가 있을 수 있으니 이해해 주시고 지적해 주시기 바랍니다. 반변을 이해하려고 반변성과 벡터가 섞여있을 텐데 이 둘을 엄밀히 구분해야 할까요?
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