12. 곡면에서 원호길이 측량(The Metric Tensor in Curved Spaces for Measuring Arc Length)

12. 곡면에서 원호길이 측량(The Metric Tensor in Curved Spaces for Measuring Arc Length)




이번 편은 곡면에서 원호(곡선)의 길이를 측량하는 방법을 다룬다. 이전의 강의들을 참고하면 좋을 것이다.

-  측량텐서(The Metric Tensor)
- 미분연산자가 벡터인 이유(Derivative Operators are Vectors Discussion)

원작자 주의: 동영상 강의 전반에 걸쳐 미분형 기저벡터표현에 dR/du 와 dR/dv 같이 전미분 미분연산자를 사용되었다. 이는 편미분 연산자 ∂R/∂u 와 ∂R/∂v를 사용하는 것이 옳다.
-

-
곡면 기하학에 대해 더 알고 싶다면 아래 미분 기하학 과목을 추천한다.
Dr. Lia Vas, Math430
-

-
[이번 강의는 다는 편에 비해 분량이 길다(무려 23분!). 하지만 내용은 쉽게 읽힌다.]
직전 강의는 평면에서 원호의 길이를 측량하는 방법에 다뤘고 이번 강의는 굽은면(curved surface)위의 원호 길이를 다룬다.
-

-
'굽은면'이란 입체의 표면을 말한다. 그 예로써 원통면, 말안장면, 구면 등이 있다. 이번 강의는 구면(sphere)을 다룬다. 구면위에 그어진 원호(곡선)은 평면과 마찬가지로 2차원의 면 위에 있다.
-

-
평면을 굽은 면으로 표현하는 수학적 방법은 무엇인가? 평평(Flat)하거나 굽은(Curved) 차이지 우리는 면(Surface)을 다루려고 한다. 따라서 굽은 면을 표현하기 위해 직교 2차원 좌표계 (u,v) 에서 확장하여 면을 3차원 체계 (X(u,v), Y(u,v), Z(u,v)) 로 확장한다. 3차원 체계는 각 요소는 2개의 변수로 인수화(parameterization) 되어 있다는 점을 주목하자.
-

-
즉, 평면의 도형을 구의 표면에 씌운 셈이다. 평면의 u, v 축이 구면의 어디에 해당하는지 눈여겨 보자.
-

-
이 과정에서 평면의 도형은 왜곡된다는 점에 유의하자. 일예로 평면에 그린 세계지도는 실제 구면위의 모습과 심하게 왜곡되어 있다는 사실을 알고있다.
-

-
평면 좌표계를 구면 좌표계로 변환하는 기하학적 방법은 이미 알려져 있으므로 그대로 차용하겠다. 다만, 변환식의 의미를 짚어보고 넘어가자.

구면의 Z 축은 u 만으로 인수화 되어있다. 평면의 u축에 대해 코사인 함수의 적용을 받는다. 이때 u의 범위는 [0,π] 다.. u=0일때 1, u=π 일때 -1, u=π/2 일때 0이다. 지구 경도선에 해당한다.
-


-
구면의 X와 Y 축은 다소 복잡하게 v 와 u를 모두 인수화 되었다. 먼저 v 의 인수를 따져보면 원이다. 지구의 위도선에 해당한다.
-

-
그리고 X와 Y모두 동일하게 u의 사인 함수를 곱한다. 즉 위도선을 그리는 원의 반지름이 sin(u) 다. 양 극지점에서 u=0 이므로 반지름도 0 이다. 적도에서 u=π/2 이므로 반지름 1(최대)이다.
-

-
이제 평면에 곡선을 그어놓고 곡면에 씌우면 길이는 어떻게 될까?
-

-
곡선의 문제를 다루기 전에 가장 간단한 직선경로를 구면에 옮겨보자. 평면에서 위치 벡터가 (u=λ,v=λ) 로 움직이는 대각선을 구면에 옮겼다. 구면에서 평면으로 좌표계가 옮겨간 것이다.

앞선 강의에서 좌표계와 무관한 길이 계산 방법을 배웠다. 바로 접선속도 벡터 R의 길이(length)다. [이쯤해서 한가지 의문이 든다. 벡터는 좌표계 불변이라고 했다 따라서 접선속도 벡터는 평면 좌표계든 구면 좌표계든 불변이다. 그런데 벡터의 길이(물리량)는 좌표계에 따라 다를 수 있을까?]
-

-
이미 배운대로 (좌표계에 무관하게) 곡선의 길이를 구해보자. 위치벡터에 움직임 인자 λ를 도입하여 접선속도 벡터의 길이를 적분한다.

[1] 접선속도 벡터의 길이의 제곱은 접선속도 벡터의 스칼라 곱이다.
[2] 접선속도 벡터의 스칼라 곱을 다변수 연쇄법칙에따라 확장 하자.
[3] 세개의 성분을 가지고 있으므로 스칼라 곱을 전개하면 9개의 항이 더해진다.
[4] X,Y,Z 축의 기저벡터는 ortho-Normal하다. 직교하는 기저벡터의 스칼라 곱은 0, 동일한 기저벡터의 스칼라곱은 1이다. 결곡 3개의 항이 남는다.
-

-
정리하면 다음과 같다. 구면 좌표계의 기저벡터의 스칼라 곱은 모두 1이되어 각 성분에 대한 시간, 즉 각축의 속도(성분)의 제곱을 모두 더한 결과를 얻는다. 이는 3차원 피타고라스 정리와 일치한다.
-

-
접선속도벡터 길이의 제곱은 구면좌표계에 대한 시간 미분 제곱의 합이다. 평면 좌표계에서 (u=λ, v=λ)인 직선의 위치 벡터였으므로 구면좌표계로 변환식에 대입하여 미분하면 다음과 같은 성분 값을 얻는다. [사인과 코사인 배각법칙 참조]
-


-
[1] 위에서 구한 접선속도 벡터의 성분을 접선속도 벡터길이 식에 대입하자.
[2] 마침내 접선속도 벡터의 길이 제곱을 구했다.
-

-
위에서 구한 접선속도 벡터 길이를 시간 λ 의 구간 [0,1] 으로 놓고 적분하여 곡선(이 예에서는 간단한 대각선)길이를 구하자. 정적분 계산이 어려우므로 WolframAlpha 의 계산을 빌리면 다음과 같다. 그런데 평면 좌표계에서 길이와 다르다!

[벡터의 좌표계 불면성에 위배되는 것인가? 동일한 대각선 벡터에 대하여 평면 좌표계에서 구면 좌표계로 단지 좌표계만 바꿨을 뿐인데?]
-


-
[성분에 의심간다. 그렇다면 눈금이 다른 걸지도 모르니 측량텐서를 살펴보기로 한다.]
구면 좌표계의 측량텐서는 다음과 같다.
-

-
우리는 3차원의 정규직교 좌표계를 사용하고 있으므로 위의 측량텐서는 다음과 같다.
-

-
구면상의 곡선은 3차원 좌표계라는 점을 기억해 두자. 구면상의 면을 다루는 방식을 'Extrinsic Geometry' 라 한다. 접선 벡터가 면 밖으로 벗어나 있다. 이에비해 평면의 경우 접선 벡터는 면 상에 있다. 이를 'Intrinsic Geometry'라 한다.
-

-
위의 (의심스러운) 길이 예제는 구면 좌표계에서 계산한 것이었다. 구면에서 확장한 (X,Y,Z)-space 대신 (u,v)-plane 에서 곡선을 다뤄보자. 접선벡터와 곡선이 같은 면에 있으므로 이를 'Intrinsic Metric Tensor'라고 한다.
-

-
-

-
-

-
[1] 평면의 u와 v 축이 구면으로 옮겨지면 각각 곡선을 그린다.
[2] 기저벡터 e_u는 구면에서 경도선의 접선벡터, e_v는 위도선의 접선벡터다.
[3] 구면상의 다른 위치로 옮기면 기저벡터의 방향과 길이가 바뀐다.
* 구면으로 옮겼더니 위치에다라 기저벡터가 변하고 있다.
-

-
평면의 측량텐서를 구면에서 측량텐서로 구해보자. ['Intrinsic Geometry'의 관점에서 구면을 보자. 'Extrinsic Geometry'의 관점에서 길이를 구하고 이를 'Intrinsic Geometry' 와 직접 비교하는 것은 옳지않다.]

[1] 평면의 (u,v) 좌표계를 구면의 (X,Y,Z)좌표계로 변환하는 공식을 알고 있다.
[2] 평면의 기저벡터에 해당하는 미분 ∂R/∂u 를 X,Y,Z 의 다변수 편미분으로 확장해놓으면,
[3] 구면 기저벡터 ∂R/∂X, ∂R/∂Y, ∂R/∂Z 과 성분 dX/du, dY/du, dZ/du 곱의 선형 합과 같이 된다. [이는 좌표계 변환 규칙과 같다.]
-

-
성분 dX/du, dY/du, dZ/du을 구해 ∂R/∂u 에 적용하면 다음과 같다.
-

-
같은 방식으로 ∂R/∂v 를 구하고 u,v 축의 기저벡터로 나타내면 다음과 같다. (u,v)좌표계와 (X,Y,Z) 좌표계 사이의 기저벡터 변환 관계가 명확해졌다. [기저벡터 변환 관계 고려없이 표면적인 길이비교는 옳지않다.]
-


-
위에서 구한 기저벡터의 변환 관계식을 근거로 측량텐서를 구해보자. 측량텐서의 원소인 두 기저벡터들 사이의 스칼라 곱을 구한다.
-

-
평면 좌표계 (u,v) 에서 구면 좌표계 (X,Y,Z)로 변환 하여 얻은 곡선의 접선속도 벡터의 길이제곱 ||dR/dλ||^2 은 다음과 같다.

[1] 속도 벡터 dR/dλ 는 위치벡터 R을 시간 인수 λ 로 미분하여 얻는다. R(λ)
[2] 속도 벡터의 길이의 제곱 ||dR/dλ||^2 은 속도벡터의 스칼라 곱, dR/dλ⋅dR/dλ
[3] 속도 벡터 dR/dλ 를 평면 좌표계 (u,v) 에서 확장 . 다변수 편미분 연쇄법칙.

[R(λ) 에서 R(u(λ),v(λ)) 로 확장 되었으므로 기저축의 속도성분은 du/dλ, dv/dλ 이지만 기저축은 편미분 ∂R/∂u, ∂R/∂v 이어야 함]

[4] 평면 u, v로 확장된 속도 벡터의 스칼라 곱은 속도성분 du/dλ, dv/dλ 벡터와 측량텐서의 행렬곱
[5] 평면 기저축의 편미분 ∂R/∂u 와 ∂R/∂v는 기저벡터 e_u, e_v 로 정의 됨.
[6] 평면의 기저벡터를 구면의 기저벡터로 확장. 다변수 연쇄법칙

[R(u,v)에서 R(X,Y,Z) 로 순전히 좌표계 변환. 시간인수 λ는 배제됨]

∂R/∂u = e_u = (dX/du)(∂R/∂X) + (dY/du)(∂R/∂Y) + (dZ/du)(∂R/∂Z)
∂R/∂v = e_v = (dX/dv)(∂R/∂X) + (dY/dv)(∂R/∂Y) + (dZ/dv)(∂R/∂Z)

측량텐서의 구성원인 e_u 와 e_v의 스칼라 곱을 구면 좌표계 확장 식으로 정리. 이때 구면 좌표계의 기저벡터 ∂R/∂X, ∂R/∂Y, ∂R/∂Z는 직교정규 좌표계의 기저벡터 스칼라 곱의 원리에 따라 1 또는 0.

구면 좌표계에서 기저벡터의 성분 dX/dv, dX/du, dY/dv, dY/du, dZ/dv, dZ/du 는 각각 좌표 변환식으로부터 구함

X = cos(v)sin(u)
Y = sin(v)sin(u)
Z = cos(u)

[7] 측량텐서의 원소들을 위에서 구한 (u,v) -> (X,Y,Z) 변환 결과로 바꿔 완성한다. 중간에 구면 좌표계 변환과정을 거쳤으나 길이는 여전히 평면 좌표계에 있다.
[8] 변형된 피타고라스 정리다. 다만 v축 성분 제곱에 sin(u)의 제곱이 곱해졌다.
-

-
다시 단순한 직선 벡터를 구면에 씌워 길이를 구해보자. 위에서 구한 속도벡터 길이 구하는 식을 활용할 것이다. [평면에서 구면으로 좌표계 변환을 거친 식으로 여전히 'Intrinsic' 이다. 앞서 구했던 구면상의 접선속도 벡터는 'Extrinsic' 이었다.]
-


-
평면의 'Intrinsic' 방법에서 원호의 길이 구하는 식이 앞서 구면 좌표계에서 'Extrinsic' 방식으로 구한 식과 동일하게 되었음을 알 수 있다. 당연히 길이 값도 같다. [앞서 'Extrinsic' 방식에서 원호길이를 구할 때 평면에서 직선벡터 길이와 비교한 오류를 상기하여보자.]
-

-
평면에서 접선속도 벡터의 길이 구하는 식은 u와 v 만을 포함하는 intrinsic geometry 다. 피타고라스 정리에서 다소 변형되어 있다. 평면 기저축 v 의 속도성분 dv/dλ 에 sin(u)의 제곱이 곱해진 의미를 살펴보기로 하자.
-

-
구면의 위도가 다른 두지점에서 둘레의 길이를 측량해보면 (당연히) 다르다.
-

-

-
수평축 속도벡터 성분 dv/dλ 의 제곱항에 곱해진 sin^2(u) 의 영향은 위도[ u 축]별 원의 반지름에 해당한다. 즉 위도별 원주길이가 달라지게 한다. 이는 측량텐서의 정의로부터 기인한 것이며 평면과 구면의 측량용 눈금이 달라진다는 의미다.
-

-
실예로 호주의 면적 크기를 극지로 옮겨보면 큰 차이가 난다. 구면 좌표계에서 측량텐서가 위도의 위치에 따라 달라진다[눈금이 가변적=Metric Tensor Field].
-


-
단일 벡터와 위치에 따라 연속적으로 가변하는 벡터장, 여벡터장 과 마찬가지로 텐서[고정된 측량눈금]와 가변하는 텐서장[연속적으로 가변하는 눈금]이 있다.
-

-
구면과 원통 그리고 말안장형 굽은 면의 측량텐서들을 보자. 눈금 도구만 있다면 제아무리 복잡한 면이라도 길이 재기(물리량 측정)는 수월하다.
-


-
요약, 면(Surface)을 다루는 두가지 관점: 평면(Flat)과 구면(Curved)
-

-
두 관점 차이에 따른 기저벡터의 변화
-

-
-
아인슈타인 표기법의 접선속도 벡터 확장과 측량텐서
-

-
위치벡터 R를 생략한 미분 연산자 만으로 벡터라 하자.
-


----------------------------------------------------------------
[이전] 11. 측량텐서와 원호길이(평면)(The Metric Tensor and Arc Lengths (flat space))
[다음] 13. Gradient vs d operator (exterior derivative_differential)
----------------------------------------------------------------

강의목차:
Tensor Calculus by eigenchris @ Youtube

0. 소개(Introduction)
1. 다변수 미적분 요약(Multi-variable Calculus Review)
2. 직각좌표계와 극좌표계 그리고 기저벡터(Cartesian & Polar ㅌCoordinates, and Basis Vectors)
3. 자코비언(The Jacobian)
4. 미분하면 벡터된다(Derivatives are Vectors)
5. Derivative Transformation Rules (Contravariance)
5.1 Derivative Operators are Vectors Discussion
6. Differential Forms are Covectors
7. 여벡터 장 성분(Covector Field Components)
8. 8. 여벡터장 변환규칙(공변)(Covector Field Transformation Rules (Covariance))
9. 차분형(여벡터장) 적분[경로적분](Integration with Differential Forms)
10. 차분형 적분[경로적분] 예제(Integration with Differential Forms Examples)
11. 측량텐서와 원호길이(평면)(The Metric Tensor and Arc Lengths (flat space))
12. 곡면에서 원호길이 측량(The Metric Tensor in Curved Spaces for Measuring Arc Length)
13. Gradient vs d operator (exterior derivative_differential)
14. Gradient explanation + examples
15. Geodesics and Christoffel Symbols (extrinsic geometry)
16. Geodesic Examples on Plane and Sphere
17. The Covariant Derivative (flat space)
17.5 Covariant Derivative (Component Definition) - Optional
18. Covariant Derivative (extrinsic) and Parallel Transport
19. Covariant Derivative (Intrinsic) and Geodesics
20. The Abstract Covariant Derivative (Levi-Civita Connection)
21. Lie Bracket, Flow, Torsion Tensor
22. Riemann Curvature Tensor Geometric Meaning (Holonomy + Geodesic Deviation)
23. Riemann Curvature Tensor Components and Symmetries
24. Ricci Tensor Geometric Meaning (Sectional Curvature)
25. Geometric Meaning Ricci Tensor_Scalar (Volume Form)
26. Ricci Tensor_Scalar Properties

11. 측량텐서와 원호길이(평면)(The Metric Tensor and Arc Lengths (flat space))

11. 측량텐서와 원호길이(평면)(The Metric Tensor and Arc Lengths (flat space))



원호(곡선)의 길이를 재는 방법으로 측량 텐서의 활용에 대하여 배운다. 직선인 벡터의 길이와 측량텐서에 대해서 '텐서의 기초'강좌에서 다뤘으므로 참고하자. [참조: 9. 측량텐서(Metric Tensor)]
-

-
측량텐서는 말그대로 '물리량 측량'에 활용된다. 기초과정에서 다룬 벡터(단순한 직선형)의 길이[이미 기초과정에서 다뤘으므로 이번 강좌에서는 복습], 그보다 다소 난해한 원호(arc)의 길이이를 재는데 측량텐서를 활용해보자. 그리고 평면이 아닌 굽은 공간(왜곡된 공간)에서 원호의 길이를 재는데 어떻게 활용될 수 있는지 알아보기로 한다. 이번 강의는 평면공간(flat space)을 다룰 것이며 굽은 공간(curved space)은 다음 동영상에서 다룬다.

[곡선의 길이, 면적, 체적 다위의 계산(측정)은 미적분 과정에서 기본적으로 배운다. 이번 강좌에서 다룰 내용은 벡터와 텐서를 활용하여 곡선의 길이을 측정하는 방법이다. 미시길이의 누적에서 시공간의 벡터움직임으로 접근 방식이 다르다.]
-

-
복습으로 '벡터의 길이' 측정이다. 벡터는 직선이고 방향과 길이(크기)를 갖는다.
-

-
두 벡터의 길이는 스칼라곱(dot product)으로 구한다. 한 벡터의 길이는 자기자신을 스칼라 곱 하면된다. 벡터는 공간의 기저벡터와 성분값의 선형 합니다. 파란색은 직교정규 좌표계, 적색은 변형된 좌표계. 노락색의 벡터는 어떤 좌표계에서든 불변이다. 다만 좌표계마다 성분이 다르다. 두 기저벡터와 성분 곱의 선형합을 스칼라 곱하자. 결국 벡터의 길이는 공간을 구성하는 기저벡터곱과 성분곱의 확장으로 표현된다.
-

-
두 좌표계의 기저벡터 스칼라곱을 구해보자.

파란색은 정규직교(ortho-normal) 좌표계다. 두 기저벡터는 직교(orthogonal)하고 기저벡터의 길이는 1 (normalized)이다. 정규직교 좌표계에서 벡터의 길이는 피타고라스 정리(Pythagoras Theorem)가 된다.
-

-
적색의 공간은 변형되었다. 두 기저벡터 사이의 각도가 직각도 아니고 길이도 1일 아닐 뿐만 아니라 서로 다르다.
-
[]
-

-
이제 임의 벡터 v [노란색]의 길이를 측정해보자. 청색의 좌표계에서 벡터 v의 성분은 [1 2]다. 적색의 좌표계에서 벡터 v의 성분은 [5/4 3] 이다. 벡터의 길이를 계산하면 그 어떤 좌표계든지 동일하다. [벡터 물리량(길이) 불변성을 보여준다.]
-

-
측량텐서(Metric Tensor)는 공간의 축에 눈금을 메기는 역활을 한다. 단순한 눈금은 선형적인 경우다. 그중 가장 단순한 직교정규 좌표계의 눈금은 단지 단위 행렬과 같다. 직교 좌표계(청색)에서 변형된 좌표계(적색)의 눈금은 [두 기저축이 회전및 크기가 변형되었으므로] 다소 복잡하다.
-

-
벡터의 길이를 측정하는 방법을 요약해 보면 다음과 같다. 자신을 스칼라 곱 하거나 측량텐서를 이용할 수 있다. 측량텐서는 스칼라 곱의 행렬 표현일 뿐이다. 측량텐서는 행렬 g_ij 로 표기한다.
-

-
두 좌표계 사이에 측량텐서의 변환 규칙은 다음과 같다. 두번의 공변변환(Covariant)을 통하므로 (0,2)형 텐서라 한다.
-

-
측량텐서의 활용: 원호의 길이(평면공간)
-

-
곡선의 길이를 재는 방법은 곡선을 잘게 잘라서 더하는 것. 잘게 자를 수록 오차는 작아진다. 무한히 잘게 자른 조각의 누적하기가 바로 곡선의 길이를 측정하기 위한 적분이다.

그런데....

잘게 자른 곡선의 두 지점의 위치를 인수화 해야 한다. 2차원 공간이면 2개의 인수다. 게다가 이 인수들은 좌표계 의존적이다. 다른 방법으로 벡터(텐서)화 인수를 도입하는 것이다. 공간에서 이동한 궤적을 곡선이라 하자. 이 곡선의 움직인 인자는 시간 t 이다. (i+1)번째 t 에서 위치 벡터를 R(t_(i+1)), (i)번째 t 에서 위치 벡터를 R(t_(i)) 라 하자[원점이 어디인지 상관 없다. 불변의 벡터 길이는 좌표계에서 자유롭다.] 시간차 Δt = t_(i+1)- t_(i)다.

[1] 벡터 R(t_(i+1))의 길이에서 R(t_(i))의 길이를 빼면 곡선의 조각이다. 이 조각을 모두 더하면 곡선 길이의 근사가된다.
[2] Δt 의 0 극한을 취하면 곡선의 길이는 곡선과 같아진다.
[3] R()의 길이의 차분을 Δt 로 나누면 R(t_(i+1))에서 접선속도(tangential velocity) 벡터가 된다.
[4] '접선속도 벡터'의 길이를 dt로 적분하면 곡선의 길이다. [곡선의 길이를 구하는데 가변적인 좌표계를 고려하지 않고 단일 인수 t 에 의존하는 곡선의 움직임을 지배하는 접선속도 벡터를 활용한다.]
 -

-
원호의 길이는 접선속도 벡터의 길이에 시간 차분형을 적분하여 얻는다. 벡터의 길이를 구하는 방법은 이미 알고있다. 그리고 벡터의 길이는 좌표계 불변이므로 직교좌표계이든 극좌표계이든 같다는 사실을 증명해 보기로 한다. 직교정규좌표계와 극좌표계에서 각각 접선벡터의 길이를 구하기 위해서 각 좌표계에서 기저벡터의 스칼라 곱[기저벡터의 길이]가 어떻게 다른지 살펴보자.
-

-----------------------------------------------------
직교정규 좌표계에서 기저벡터의 스칼라 곱
-----------------------------------------------------
접선속도 벡터의 길이 제곱을 기저축 x 와 y를 각각 c^1 와 c^2 로 놓자. 이를 좀더 일반화 하여 아인슈타인 표기법(Einstein Notation)으로 나타내면 아래와 같다. [위치 벡터 R에를 직교좌표계의 기저축으로 확장한 후 움직임 인자 λ로 미분을 다변수 미분의 연쇄법칙에 따라 표현.]
-

-
원호의 길이는 접선속도 벡터의 길이에 대하여 위치벡터의 움직임 인자 λ (=시간 t)의 차분형 dλ 적분이다. 이때 접선벡터의 길이를 구하기 위해 스칼라 곱 한다.
-

-
직교정규좌표계의 경우 기저벡터의 길이는 항상 1이다. 즉, 좌표계 어느 위치 놓아도 가저벡터의 길이는 1 이다.
-

-----------------------------------------------------
극좌표계에서 기저벡터의 스칼라 곱
-----------------------------------------------------
극좌표계에서도 원호의 길이는 직교좌표계에서 했던 것과 같다. 접선속도 벡터의 길이를 극좌표계에서 구하기 위해 스칼라 곱한다.
-

-
극좌표계의 기저벡터[=위치벡터 R에 대한 기저축 r과 θ의 편미분]의 길이[스칼라 곱]을 구해보자. 극좌표계는 직교정규 좌표계로부터 변형되었다고 하자. 직교정규 좌표계의 기저축 x와 y를 각각 극좌표계로 변형하는 공식을 알고있다.
-

-
위의 변환식을 이용하여 극좌표계의 반지름 축 길이[스칼라 곱]를 구하면 반지름 위치에 상관 없이 1이다.
-

-
하지만 각도축의 스칼라 곱은 r의 제곱이다. 이는 극좌표계의 위치마다 각도 기저축의 길이가 달라진다는 의미다.
-

-
또한 반지름 축의 기저벡터와 각도축의 기저벡터 스칼라곱은 0 이다.
-

-
정규직교좌표계와 극좌표계의 기저벡터(위치벡터에 대한 기저축의 편미분) 길이의 특징을 요약하면 다음과 같다.

- 직교정규 좌표계는 결국 피타고라스 정리와 같다.
- 극좌표계의 경우 변형된 피타고라스 정리다. 각도축에 반지름의 제곱이 곱해진다. [이 강의에서 극좌표계의 기저벡터를 정규화 하지 않았기 때문]
-

-
직교좌표계와 극좌표계의 측량텐서는 아래와 같다. [기저벡터의 미분형이다. 측량텐서의 원소는 기저벡터의 스칼라곱이다.] 두 측량텐서는 동일하며 단지 각 좌표계의 기저축에 대한 편미분의 차이다. [두 좌표계는 동일한 공간에 대하여 단지 좌표계(눈금 긋는 방법)을 달리 했을 뿐이므로 측량텐서는 같다.]
-

-
접선속도의 길이를 재는데 측량텐서가 사용된다.
-


-
측량텐서의 원소(기저벡터의 미분형에 대한 스칼라곱)를 값으로 나타내면 다음과 같다. 두 좌표계(직교좌표계와 극좌표계)의 측량텐서가 동일한 값이 되어야 하는데 각도축 스칼라 곱에 r제곱항이 포함되었다. 이는 이번 강의에서 극좌표의 각도축 기저벡터는 정규화 하지 않았기 대문이다. [각도축 기저벡터의 길이가 반지름의 길이에 비례하여 커지는 이유는 정규화 되지 않았기 때문]
-

---------------------------------------------------------------
직교좌표계에서 r=2인 원의 둘레를 구해보자. 먼저 접선속도의 길이를 구한다. 위치벡터 R을 λ 로 인수화 하여 직교좌표계로 표시하여 접선속도 벡터의 길이를 구한다. 접선속도의 길이는 그림에서 보는 것처럼 어느 위치에서든 2로 똑같다.
-


-
접선속도 벡터의 길이를 가지고 원호 길이 구하는 공식에  적용하자. 원의 둘레이므로 적분 구간은 [0 2π]다. 원둘레 길이는 4π다. 이미 알고있는 원호길이 공식 4πr 에 일치한다.
-

-----------------------------------------------------
위의 예와 같은 원의 둘레를 극좌표계에서 구해보자. 극좌표의 두축인 반지름과 각도를 원둘레 위치 벡터 (r, θ)를 움직임 인자 λ로 인수화 하자. 원의 반지름은 r(λ)=2로 고정되었다. 각도는 θ는 λ에 따라 움직인다. 반지름 축의 속도(dr/dλ=접선 속도벡터의 r 축의 성분)는 0, 각도축 속도(dθ/dλ=접선 속도벡터의 θ 축의 성분)는 1이다. 접선속도 벡터의 길이는 2다. 직각좌표계에서 계산값과 일치한다. [동일한 벡터의 움직임은 좌표계와 상관 없다.]
-

-
극좌표계에서 원둘레의 길이는 역시 직교좌표계에서 구한 값과 같다.
-

-----------------------------------------------------
텐서의 기초강좌(텐서 대수, Tensor Algebra)에서 배웠던 측량텐서는 변환을 기억해보자. 기저가 변하면(좌표계변환) 2번의 공변변환을 수행해야 한다. 즉, 측량텐서는 (0,2)-형 텐서다.
-

-
이 특성은 텐서 미적분(Tensor Calculus)의 측량 텐서에도 같다.

[1] 직교좌표계[∂(c^i)]에서 극좌표계[∂(p^i)]로 변환된 성분(=자코비언 행렬)이다.
[2] 직교좌표계 기저벡터(*)에 자코비언 행렬을 곱하여
[3] 극좌표계 성분을 표현할 수 있다.
[4] 극좌표계의 측량텐서는 기저벡터(*)의 스칼라 곱이므로
[5] 결국 두번의 자코비언 행렬 곱에
[6] 직교 좌표계의 측량텐서를 곱하면 극좌표계의 측량텐서가 됨을 알 수 있다.
[7] 텐서 미적분에서도 측량텐서는 (0,2)-형 텐서다.
[8] 그 역변환은 두번의 역 자코비언 행렬과 극좌표계 측량텐서의 곱이다.

*기저벡터:텐서 미적분에서 위치벡터에 대한 기저축의 편미분을 기저벡터로 정의하였다. ∂R/∂(c^i) 는 직교좌표계의 기저벡터. ∂R/∂(p^i) 는 극좌표계의 기저벡터
-


-
위의 그림은 원좌표계의 측량텐서(g_kl)와 변형좌표계의 측량텐서(g_ij_tilde) 사이 변환관계 보여준다. 두번의 자코비언(직교좌표계에서 극좌표계로의 변환행렬)의 곱에 직교좌표계의 측량텐서를 곱하면 극좌표계의 측량텐서가 되는지 풀어보자.
-

-
이번에 배운 내용을 요약해보자. 원호의 길이(arc length)를 구하는 목표였다. (원호를 그리는 위치벡터의) 접선속도 벡터의 길이를 시간으로 적분한다. (접선속도) 벡터 길이의 제곱은 벡터의 스칼라 곱이다. 원호길이의 계산에 위치벡터 대신 접선속도 벡터를 취함으로써 좌표계와 무관하게 된다.
-

-
기저벡터 스칼라 곱은 측량텐서로 정의된다. 측량텐서는 2번의 공변 변환법칙이 적용되는 (0,2)-형 텐서다.
-

-
----------------------------------------------------------------
[이전] 10. 차분형 적분[경로적분] 예제(Integration with Differential Forms Examples)
[다음] 12. 곡면에서 원호길이 측량(The Metric Tensor in Curved Spaces for Measuring Arc Length)
----------------------------------------------------------------

강의목차:

Tensor Calculus by eigenchris @ Youtube

0. 소개(Introduction)
1. 다변수 미적분 요약(Multi-variable Calculus Review)
2. 직각좌표계와 극좌표계 그리고 기저벡터(Cartesian & Polar ㅌCoordinates, and Basis Vectors)
3. 자코비언(The Jacobian)
4. 미분하면 벡터된다(Derivatives are Vectors)
5. Derivative Transformation Rules (Contravariance)
5.1 Derivative Operators are Vectors Discussion
6. Differential Forms are Covectors
7. 여벡터 장 성분(Covector Field Components)
8. 8. 여벡터장 변환규칙(공변)(Covector Field Transformation Rules (Covariance))
9. 차분형(여벡터장) 적분[경로적분](Integration with Differential Forms)
10. 차분형 적분[경로적분] 예제(Integration with Differential Forms Examples)
11. 측량텐서와 원호길이(평면)(The Metric Tensor and Arc Lengths (flat space))
12. The Metric Tensor in Curved Spaces for Measuring Arc Length
13. Gradient vs d operator (exterior derivative_differential)
14. Gradient explanation + examples
15. Geodesics and Christoffel Symbols (extrinsic geometry)
16. Geodesic Examples on Plane and Sphere
17. The Covariant Derivative (flat space)
17.5 Covariant Derivative (Component Definition) - Optional
18. Covariant Derivative (extrinsic) and Parallel Transport
19. Covariant Derivative (Intrinsic) and Geodesics
20. The Abstract Covariant Derivative (Levi-Civita Connection)
21. Lie Bracket, Flow, Torsion Tensor
22. Riemann Curvature Tensor Geometric Meaning (Holonomy + Geodesic Deviation)
23. Riemann Curvature Tensor Components and Symmetries
24. Ricci Tensor Geometric Meaning (Sectional Curvature)
25. Geometric Meaning Ricci Tensor_Scalar (Volume Form)
26. Ricci Tensor_Scalar Properties