6. 여벡터 변환 규칙(Covector Transformation Rules)

[구구단만 알아도 '텐서'] 6. 여벡터 변환 규칙(Covector Transformation Rules)
원본출처: Tensors for Beginners by eigenchris(YouTube)





In the last video we saw that all covectors can be written as linear combinations of the Dual Basis vectors. We saw how covector component can be obtained by counting how many covector lines that basis vector pierces. We also saw that covector components transform in opposite way that vector components do.

지난번 강의[5. 여벡터 성분]에서 여벡터(covector)는 이중 기저벡터(dual basis vector)의 선형결합(linear combination)으로 기술된다는 것을 알아봤다. 그리고 기저벡터가 관통하는 여벡터 선의 갯수가 곧 여벡터 성분이라는 것도 살펴봤다. 아울러 여벡터 성분의 변환은 벡터 성분 변환과 반대로 적용된다는 것도 알게됐다.

So now just gonna confirm a covector transformation rules should be mathematically. So the first thing we need to get out of the way is figuring out how covectors themselves transform. So not covector components, not the oppose, we're talking about covector themselves which are the epsilon.

이번 강의는 여벡터 변환 규칙을 수학적으로 규명해 본다. 먼저 여벡터 자신의 변환을 먼저 알아보고 이어서 여벡터의 성분 변환을 구하기로 하자.

So with the vectors in order to get, from old basis, the new basis vectors out of old basis vectors. Then, now these are forward [vector] transform. Now we wanna same things on covectors. So, how we can build new Dual-Basis out of the old Dual-Basis.

벡터의 변환을 다룰때 원기저벡터로부터 변형기저벡터를 구한다고 배웠다. 이를 순방향 변환(Forward transform)이라 한다. 여벡터의 경우에도 이와 마찬가지로 원이중기저로 부터 변형이중기저를 구한다.[이중기저(Dual Basis):여벡터(Covector)의 선형합]



What are the Q coefficients that let's do this. So to figure these[Q coefficients] out, we start by applying ε^1_tilde to e_1 and replacing ε^1_tilde with ε's as written here using linearity rules. We can get this.



So we know that this goes to 1, and this goes to 0, so ε^1_tilde of e_1 equals to Q_11.



And if we apply ε^1_tilde of e_2, we get that is equals to Q_12.



Ok. So an alternative way of writing is like this and these parts here are just numbers.



Let's bring out of backward transformation that we can write out old basis vectors in terms of new basis vectors. So we can get these.






Now using the linearity of covectors and these goes to 1 while these goes to 0. and we get this the new dual basis vectors in terms of the olds.




And if you turn to old that again, you can do same thing to ε^2_tilde.



So, you noticed that this coefficients and these coefficients are awfully similar. So, this means that to go from old Dual-Basis to new Dual-Basis we used backward transformation.



Ok, Let's try to improve that for any dimension. I have some stuffs here. I have Dual-Basis definitions.




I have forward and backward transformation,



And I have reminder that forward and backward transformation are inverse, because when we multiply them, get the Kronecker-delta.



Ok, Let's start by letting epsilon tilde as linear combination of epsilons.


Now apply covectors to the new basis vectors, e_k_tilde, left-hand side became to Kronecker delta, by the definition here, right-hand side can be replaced by new basis vectors, which is linear combination of old basis vector using the forward transformation,



We can take scaling constant outside, and it became also Kronecker delta by this definition here,



This term, here becomes 0 when j doesn't equal to l. So we can ignore all other terms that are j doesn't equal l. We only take care about j equals l. So that means I can replace this l here with j.



And so now we have that Q multiply by F gives us the Kronecker delta. So in another words, Q and F are inverses. But we remember that we only know that the inverses of F is B. So what that means is that Q is equal to B. Since only F have one inverse. So Q is backward transform. So we move from old Dual-Basis to new Dual-Basis with backward transform. Now you understand that why we write index at top, because that transform in opposite way that basis vectors do.



Here we summarize that the Basis-Vector and Covector transformation rules and again they are opposite.



So now we know that how basis-vector transform figuring out how the component transform was really easy.

We just write covector α as sum of the old basis covector.



We used the forward transformation that we rewrite the old basis in terms of new basis , we rearrange the sums and we see that this part of middle has to be equal to the new covector components, α_tilde.




And so we find out that the forward transform brings from the old covector components to the new. By likewise backward transform brings from the new covector components to the old. So the Covector Component transformation is the same way that the Basis-Vectors do.
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Let's do the sanity check to make it sense.

So here we have a covector sitting in the space basis e_1 and e_2. And it's looks like e_1 pierces 2-lines and e_2 pierces 2-lines. So the component in the spaces are [2 2]. Now wat if we make these space vector twice as big. So we get a new basis here e_1_tilde and e_2_tilde. What are the covector components now? Well e_1_tilde pierces 4-lines, e_2_tilde pierces 4-lines as well. So the components are [4 4].



This means that when we increase the size of basis, we also increase the size of the covector components. So covector component transform in the same way that the basis-vector do. So, hopefully that makes intuitive sense now.
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Here are summarize all the transformation rules we learn so far in the videos.

We started with the transformation rules of 'Basis-Vectors' and then we figure out that transformation rules for 'Vector Components' which are opposite compare to the Basis-Vector. So that are called 'Contravariant'.

Then earlier in this video, we found transformation rules for Basis-Covectors were also opposite compare to Basis-Vector. So, Basis-Covectors also transform by the 'Contravariant Rule'.

And finally just we find out 'Covector Components' transform in the same way that Basis-Vectors do. So this means that Covector component transform Covariantly and that's why we write as seen in the bottom just like Basis-Vectors, because they transform in the same way.

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So, that finishes all vectors. In the next video we'll talk about 3rd examples of tensors which is 'Linear-Map'.

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[다음] 7. 선형 사상(Linear Maps)

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[구구단만 알아도 '텐서']
-1. 동기(Motivation)
0. 텐서의 정의(Tensor Definition)
1. 정역방향 변환(Forward and Backward Transformation)
2 벡터의 정의(Vector Definition)
3. 벡터 변환 규칙(Vector Transformation Rules)
4. 여벡터 란?(What's a Covector?)
5. 여벡터 성분(Covector components)
6. 여벡터 변환 규칙(Covector Transformation Rules)
7. 선형 사상(Linear Maps)
8. 선형사상 변환규칙(Linear Map Transformation Rules)
9. 측량 텐서(Metric Tensor)
10. 쌍선형 형식(Bilinear Form)
11. 선형사상은 벡터-여벡터의 짝(Linear-Maps are Vector-Covector Pair)
12. 쌍선형 형식은 여벡터-여벡터 짝(Bilinear Forms are Covector-Covector Pairs)
13. 텐서 곱 vs. 크로네커 곱(Tensor Product vs. Kronecker Product)
14. 텐서는 벡터-여벡터 조합의 일반형(Tensors are a general vector-covector combinations)
15. 텐서 곱 공간(Tensor Product Spaces)
16. 색인 올림과 내림(Raising/Lowering Indexes)

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5. 여벡터 성분(Covector components)

[구구단만 알아도 '텐서'] 5. 여벡터 성분(Covector components)
원본출처: Tensors for Beginners by eigenchris(YouTube)




* 주의: 동영상 강의 중 여 벡터 ε를 표현한 그림에 오류가 있음. 아래 내용은 오류를 수정하여 작성되었음.

앞서 여벡터(Covector)를 소개한 데 이어 두번째 강의로 성분(components)에 대하여 공부 한다. 먼저 여 벡터를 요약해보면,

- 벡터 공간 V를 입력하여 실수(Real)로 사상하는 행 벡터 함수로서 선형성을 갖는다. [입력에 대한 합, 입력에 스칼라 곱]
- 함수 에 대한 스칼라 곱 및 함수의 합이 성립하는 별도의 벡터 공간의 요소로서 취급된다. [함수의 곱, 함수의 합]
- 여함수는 적층된 동위선(oriented stacks)으로 시각화 할 수 있다.



열벡터(Column Vector)는 주어진 기저의 성분[좌표 값]을 수직으로 배열한 것으로 벡터의 실체라 할 수 있다. 아주 정확한 표현은 아니지만 행벡터(Row Vector) 또한 여벡터의 성분을 표현한 것이라고 봐야 할 것이다.

여벡터(covector)는 벡터와 마찬가지로 기하학적인 좌표계에 무관하게 불변성(invariant)을 갖는다. 하지만 여벡터의 성분(components)은 벡터의 성분 처럼 좌표계에 따라 그 값이 바뀌므로 불변하지 않다(not invariant).



불변성에 대해서 나중에 따져보기로 하고, 먼저 여벡터에 성분은 무슨 뜻인지 알아보자. 아래와 같은 벡터 표현은 기저벡터가 e_i 인 좌표계에서



두 벡터의 합 이라고 금방 이해된다.



그렇다면 행 벡터는 어떻게 이해할 수 있을까?



이미 아는대로 여벡터는 벡터를 입력 받아 실수를 출력하는 함수로써 벡터 공간에 소속되지 않아 기저벡터로 측량될 수 없다.



그럼 여벡터를 기술할 방법을 찾아보자. [여벡터도 불변성과 성분의 가변성은 일반 벡터와 같다. 하지만 행 벡터 함수인 여벡터는 벡터 공간에 닫혀있지 않기 때문에 기저 벡터를 직접 사용하여 표현할 수 없다. 그렇더라도 기저 벡터 체계(좌표계)에 끌어들일 방법을 찾아야 한다.]

벡터 V를 기술하기 위한 기저 벡터 e_1과 e_2가 있다고 하자.



그리고 기저 벡터에 대하여 다음과 같이 작용하는 특별한 두개의 여 벡터 ε 를  도입하였다. 두 여벡터를 구분하기 위해 윗첨자를 사용 했다. 이유는 나중에 설명한다.



- 첨자의 사용에 유의하자. 벡터에 붙인 첨자는 서로 다른 벡터를 의미한다. 스칼라인 경우 성분을 구분할 때 사용된다. 단, 여 벡터 ε에 사용된 윗첨자는 스칼라 함수를 구분하고 있다.
- ε 는 벡터 표시(화살표)가 되어 있지 않지만 행벡터다(row vector). 벡터를 입력으로 스칼라를 출력하기 때문에 벡터 표시를 하지 않고 있다.
- v 에 화살표 표시는 열 벡터(column vector)다. 화살표 없는 v는 스칼라로서 벡터 v의 성분을 나타내는 첨자가 반드시 있어야 한다.

위에서 정의한 여벡터 함수 ε 의 윗첨자와 입력 변수로 쓰인 기저 벡터의 아랫 첨자가 같을 때 1, 그외의 경우 0이다. 이는 크로네커 델타(Kronecker delta)와 같은 행동을 취하는 함수다.



이렇게 정의된 여벡터 함수 ε 가 어떻게 적층선(stacks of line)이 되는지 그림으로 설명해 보기로 한다. 임의의 벡터 v 에 대하여 두 여벡터 함수를 각각 적용하면 다음과 같다.



벡터 v 는 성분 값이 곱해진 각 기저 벡터의 합으로 표현된다. [벡터의 성분은 반변하므로 윗첨자가 사용되었다.] 이어서 여함수의 선형성 원리에 따라 분배 법칙이 적용되고 앞서 정의한 대로 여벡터의 윗첨자와 기저 벡터의 아랫첨자가 같은 경우만 1로 남는다. 두번째 여벡터 함수에 벡터 v를 적용하면 역시 벡터 성분만 남는다.



이 두개의 여벡터 함수는 벡터 v의 성분을 기저벡터 e_1과 e_2의 축으로 투영(projecting)하는 역활을 한다[벡터의 기저 축으로 계량한다.] 이 여벡터가 하는 투영(벡터의 기저축 성분을 알아내는 역활)의 일반형은 다음과 같다.



(직교관계에 있는) 두 기저벡터 e_1과 e_2 에 대하여 두 여벡터를 그림으로 보면 다음과 같다. [적층선(등고선)과 고도 증가방향에 유의하자]



이제 여 벡터의 일반형(general covector) α을 구해보자.



결국 일반 여벡터(general covector) α 는 두 여벡터의 선형합(linear combination of ε covectors)으로 표현된다.

[벡터 v가 좌표계를 구성하는 기저벡터 축에 대한 성분으로 나타 내듯이, 여 벡터 α 는 기저벡터의 여벡터 성분 선형 합이다.]

So what this mean is that the ε covectors form a basis for the set of all covectors. For that reason we call these ε are 'Dual Basis'. Because basis of Dual Space V*. [Dual Basis: ε와 α 모두 기저 벡터에서 유도되었다.]

수식보다 좀더 이해하기 쉬운 그림으로 여벡터를 설명해 보기로 하자.

기저벡터 e_1과 e_2 인 공간에 그림과 같이 적층선으로 여벡터 α가 존재한다고 하자. 두 기저벡터를 여벡터에 적용하여 여벡터의 성분 α_1과 α_2를 구할 수 있다. 결국 기저벡터가 몇개의 적층선을 차지(관통) 하는지 알 수 있다.



일반 여벡터 α는 이렇게 구한 α_1과 α_2에 기저벡터의 여벡터 ε의 선형 합으로 나타낼 수 있게 된다.



정리하면, 어떤 벡터든 기저벡터의 선형합으로 표현 하였듯이 임의의 여벡터(비록 행 벡터로서 스칼라 함수지만)도 기저 여벡터의 선형합으로 나타낼 수 있다.



변형된 기저벡터에 대해서도 같은 방식으로 여벡터가 적용된다. 먼저 다음과 같이 정의된 기저 여벡터를 도입하자. 변형된 좌표계의 기저 벡터와 여벡터를 정의 하고 있다. 두 첨자가 다를때 0, 그리고 같을 때 1이 되도록 등고선을 그으려면 어떤 모양이 될지 따져보자.




등위 적층선(stack of lines)은 기저벡터 e_2를 여벡터 ε^1에 적용하여 ε^1(e_2) = 0 이 되도록 그어진 선이다. 따라서, 기저벡터 e_2에 평행하게 그어진다. 적층선의 간격은 기저벡터 e_1가 한칸 차지하도록 단위화(normalize) 한다. 이 두 조건에 맞는 여벡터 함수가 크로네커 델타 이다.



위에서 정한 여벡터 함수 ε를 임의의 변형된 여벡터에 적용 하면 아래와 같다. [ε가 마치 기저벡터의 역활을 한다. 이에 대한 스케일 값 α_1 은 기저벡터 e_1을 여벡터 함수 α에 적용시킨 값, α_1 = α(e_1) ]



실제 예를 보기로 하자. 여벡터 α가 다음과 같이 원 기저 여벡터(Old basis covector) ε로 기술되었다.

기저 여벡터 ε의 공간에서 여벡터는 α 다음과 같다[기저 여벡터의 선형합].



그리고 기저 여벡터의 스케일 값(스칼라)는 다음과 같다.



여벡터 α를 기저 여벡터 공간의 행 벡터(row vector)로 표현.



변형된 여벡터 역시 다음과 같이 기술된다.


변형된 좌표계가 아래 그림의 빨간 화살표와 같아면, 기저 여벡터에 대한 스케일을 계산하여 여벡터를 구하면,



원 좌표계의 여벡터 성분은 각각 2와 1, 변형 좌표계의 여벡터 성분은 각각 5와 -3/4 다. 또한, 기저벡터의 변환행렬을 이용하여 두 좌표계사이의 여벡터 변환을 구할 수 있다.



여벡터의 경우 정변환행렬을 곱하여 변형된 좌표계의 여벡터를 구한다. 역변환 행렬을 곱하여 원 여벡터를 구할 수 있다.

여벡터를 단순히 정의하면 벡터의 행변형이었다. 이번에는 여벡터를 벡터로 변환(transpose)하여 변환행렬을 곱하여 여벡터 공간에서 성분을 구해보자.



임의의 벡터 v에 대하여 원 기저벡터와 변형 기저벡터를 사용하는 공간에서 여벡터의 성분은[청색]은 호환된다. 이에 반하여 여벡터를 벡터화한 경우 성분[적색]은 다르다는 점에 주목하자.





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[정역방햔 변환행렬은 '1. 정역변환' 강의때부터 사용한 예제다.]






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1. 정역방향 변환(Forward and Backward Transformation)
2 벡터의 정의(Vector Definition)
3. 벡터 변환 규칙(Vector Transformation Rules)
4. 여벡터 란?(What's a Covector?)
5. 여벡터 성분(Covector components)
6. 여벡터 변환 규칙(Covector Transformation Rules)
7. 선형 사상(Linear Maps)
8. 선형사상 변환규칙(Linear Map Transformation Rules)
9. 측량 텐서(Metric Tensor)
10. 쌍선형 형식(Bilinear Form)
11. 선형사상은 벡터-여벡터의 짝(Linear-Maps are Vector-Covector Pair)
12. 쌍선형 형식은 여벡터-여벡터 짝(Bilinear Forms are Covector-Covector Pairs)
13. 텐서 곱 vs. 크로네커 곱(Tensor Product vs. Kronecker Product)
14. 텐서는 벡터-여벡터 조합의 일반형(Tensors are a general vector-covector combinations)
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4. 여벡터 란?(What's a Covector?)

[구구단만 알아도 '텐서'] 4. 여벡터 란?(What's a Covector?)
원본출처: Tensors for Beginners by eigenchris(YouTube)





지난번 강의에서 텐서의 한 예로 벡터를 다뤘다. 이번에는 텐서의 또다른 예로 여벡터(Covector)를 소개한다. 먼저 여벡터란 무엇인지 알아보자. [벡터도 아닌 것이 벡터인 척(如)하는 벡터. 벡터의 transpose 꼴]



여벡터는 기본적으로 행 벡터다(row vector). 벡터가 수직(column)으로 배열된 숫자라 한다면 여벡터는 행(row)으로 배열된 것이다. 행으로 배열 되었다고 뭐가 다르랴 하겠지만 그리 간단치 않다. 열 벡터(column vector)와 행 벡터(row vector)는 완전히 다른 객체이기 때문이다. 열 벡터와 행 벡터는 모든 기저벡터가 직각이고 길이가 1일 직교단위(ortho-normal)인 경우 실질적인 차이는 없다. 하지만 (기저 벡터가 임의 각도에 임의 길이인) 일반화된 기저벡터에서는 열 벡터와 행벡터는 완전히 다르다.

행 벡터는 열 벡터에 대한 함수(function)로 취급될 수 있다. 예를 들어 원소가 2와1인 행 벡터와 3과 -4인 열 벡터를 곱해 보자. 잘 알고 있는 대로 곱의 결과는 2다. [스칼라 값이 나온다. 다대'일' 대응은 함수의 가장 기본적인 요건이다!].



[갯수가 n개인] 열벡터 v에 작용하는 일반 여벡터(혹은 행벡터) α 를 α(v)라고 표현하고 [함수의 기능을] 행벡터와 열벡터의 곱이라고 정의하자. 이 곱셉은 간단하게 총합(summation)기호 ∑로 기술될 수 있다[벡터 성분은 윗첨자(contravariant)로 표기되어 있음]. 이를 다시 함수관계로 표현하면 함수 α는 벡터공간 V을 취하여 스칼라인 실수 R로 사상되는 함수다.

[여벡터의 선형성]

행벡터의 함수작용을 보여주는 예를 더 보자. 두 열벡터의 합을 입력으로 하는 행 벡터의 예다. 계산의 한 방법은 두 열 벡터에 행 벡터가 각각 작용한 경우다. 계산 결과는 5다.



이번에는 다른 방식으로 열벡터의 합을 먼저 계산하는 경우다. 두 열벡터의 합을 입력으로 행벡터 함수를 계산하면 역시 5가 된다.



이로써 행 벡터의 특성을 알 수 있다. 행벡터 함수가 열벡터의 합에 작용한 것과 각각의 열벡터에 작용한 것이 같다.



이번에는 스칼라 값을 벡터에 곱하는 경우다. 이 역시 스칼라 값을 입력인 열벡터에 곱한 후 행벡터 함수 입력으로 적용한 경우와 행벡터에 열벡터를 적용한 후 나중에 스칼라 값을 곱하는 경우와 같은 결과를 얻는다.



앞서 보인 예를 통해 여 벡터(행벡터)의 중요한 특성을 정리해보면 여 벡터[함수]는 선형성(Linerity)을 갖는다는 것이다.



여벡터를 어떻게 그림(화살표)으로 표현할 수 있을지 알아보자. 이미 알고 있듯이 화살표로 표현한 벡터는 익숙하다(노란색 화살표). 하지만 여벡터가 함수라는데 이렇게 화살표로 표현해도 될지 어색할 뿐이다(검은색 화살표). 다른 방법을 찾아보자.



2열의 행벡터가 함수라고 했으니 입력이 될 벡터를 2개의 변수 x와 y로 놓자. 그리고 두 변수를 입력으로 하는 이 함수가 만들어낼 한개의 값을 그림으로 나타내 보자. 이는 마치 지도의 등고선을 긋기나 입체도형의 단면 자르기와 같다. 입체도형에서 동일한 높이 단면을 그려보면 다양한 외곽선(contour)을 볼 수 있다. 지도의 등고선을 보면 짧은 길이에 여러 등고선을 통과하면 매우 가파르고(A), 같은 갯수의 등고 선이 통과하더라도 길이가 길면 완만하다(B). [가로 지르는 등고선의 수와 벡터의 기울기(방향)를 생각해보자. 등고선은 '눈금'으로 볼 수 있다.] 이 아이디어를 기초로 여벡터를 그림으로 설명해 보기로 한다.



2차원 행벡터 함수 [2 1]를 시각화 해보면 다음과 같다. 이 함수가 갖게될 값[지도에서 고도선(contour line)의 갯수]를 0, 1, 2, 4, 5, ... 그리고 -1, -2, -3.... 로 놓고 각 값에 해당하는 함수의 그래프를 그리면 기울기가 -2인 여러 직선[y=-2x+c]의 다발(stack of line, 지도에서 적층된 등고선)로 아래 그림과 같다. 직선의 수직 방향으로 부호를 갖는데 우측 상단 반향으로 적층선[지도의 고도]이 증가하는 방향이며 좌하단 방향으로 감소하는 방향이다.



[7:10] 적층선에 직각으로 벡터 [2 1]을 검은색 화살표로 그려놓자. 이 화살표가 통과한 적층선의 갯수가 여벡터 함수 α를 표현한 것이다.



벡터가 통과하는 직선의 수로 여벡터를 표현하는 방법은 매우 유용하다. 그 유용함을 보여주는 예를 보자. 다음과 같이 동일한 여벡터 α에 다양한 크기와 방향을 갖는 벡터를 그렸다. ['stack of line'이 여벡터다. 여벡터는 '벡터 같은 것'이지 실제로 벡터가 아니다.] 벡터 v에 작용하는 여벡터 α의 값[입력 v에 대한 함수 α의 결과]은 벡터 v가 통과하는 여벡터의 등간격 선의 갯수로 표현된다. 한 여벡터 선상의 모든 점은 같은 여벡터 값을 갖는다. [따라서 벡터의 방향과 크기가 달라도 화살표의 끝이 한 여벡터 선상에 도달 했다면 여벡터 값이 동일한 벡터들이다.] 좌표계와 성분에 상관 없이 등간격 선(계량눈금)의 숫자 만으로 벡터 v를 이해할 수 있다. 여 벡터의 유용성을 보여주는 단순하면서도 중요한 예다.



이번에는 여벡터의 변형을 보기로 한다. 동일한 벡터에 대해 눈금 간격이 다른 여벡터를 적용해 보자.



눈금간격이 촘촘해 지면, 다시말해 여벡터 스케일이 커지면 함수 값도 증가한다. 반대로 눈금간격이 넓어지면(스케일이 작아지면) 함수 값도 감소한다. 이것이 여벡터(covector)의 스케일 특성이다[스케일과 벡터의 크기가 같이 변한다. 앞서 봤던 벡터 성분(vector components)은 이와 반대였다(contravariant)는 점을 기억해 두자.] 이번에는 여벡터의 합을 보자.



두 여벡터를 각각 β와 γ라 하고 눈금 간격은 같다. 여벡터 β는 수직 등간격이며 γ는 수평 등간격이다. 벡터 v에 대하여 β는 3, γ는 2다. 두 여벡터를 더한 새로운 여벡터 (β+γ)에서 벡터 v는 5다. 수평 눈금으로 3칸, 수직눈금으로 2칸이 적용된 벡터 합이다. 이중 벡터공간에서 여벡터의 합은 앞서 봤던 선형성과 다르다.



여벡터(Covector)를 정리해 보자.



여벡터는 벡터를 실수로 대응(사상, mapping)시키는 함수로 선형성(Linearity)을 갖는다. 아울러 이중 벡터 공간의 원소이기도 하다. 앞서 보인 벡터공간에서의 여벡터 선형성과 비교해보면 이중 벡터 공간에서는 선형성은 차이가 있다. 여 벡터는 등위선 들의 집합으로서 특정 좌표계와 성분에 의존하지 않아도 벡터를 기술 할 수 있다.

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4. 여벡터 란?(What's a Covector?)
5. 여벡터 성분(Covector components)
6. 여벡터 변환 규칙(Covector Transformation Rules)
7. 선형 사상(Linear Maps)
8. 선형사상 변환규칙(Linear Map Transformation Rules)
9. 측량 텐서(Metric Tensor)
10. 쌍선형 형식(Bilinear Form)
11. 선형사상은 벡터-여벡터의 짝(Linear-Maps are Vector-Covector Pair)
12. 쌍선형 형식은 여벡터-여벡터 짝(Bilinear Forms are Covector-Covector Pairs)
13. 텐서 곱 vs. 크로네커 곱(Tensor Product vs. Kronecker Product)
14. 텐서는 벡터-여벡터 조합의 일반형(Tensors are a general vector-covector combinations)
15. 텐서 곱 공간(Tensor Product Spaces)
16. 색인 올림과 내림(Raising/Lowering Indexes)

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