1주: 물질과 힘 그리고 측정(Matter and forces, measuring and counting)
W1.0 환영(Welcome)
W1.1 물질(Matter)
W1.2 힘(Forces)
W1.2a 자연단위(Natural units)
W1.2b 특수 상대론과 4-벡터(Special relativity and four-vector)
W1.2c 가상입자(Virtual Particles)
W1.3 확률과 단면(Probability and cross section)
W1.3a 광자 빔의 감쇄(Attenuation of a photon beam)
W1.4 러더포드 실험(Rutherford experiment)
W1.4a 러더포드 단면(Rutherford cross section)/동영상/영문자막/슬라이드
러더포드 산란(scattering) 실험에서 충돌 단면 계산을 고전적 방식으로 계산해 본다.
We will calculate with classical arguments of Rutherford the cross section of a small nucleus of charge z scattering of a heavy nucleus of charge Z. The basis of this calculation, is the relationship between the differential cross-section and the dependence of the impact parameter b on the scattering angle theta.
소형 하전 입자 z+가 무거운 입자 Z+와 탄성 충돌하여 각도 θ로 비켜나갔다. 산란각 θ로부터 충돌 인자 b와 미분 단면 사이의 관계로부터 계산을 시작한다.
First we use the fact that the kinetic energy is conserved, and that, as there is no recoil of the target, the initial and the final projectile velocities are the same.
가벼운 z+의 입사 속도 v_i 와 산란 속도 v_f 가 같고, 무거운 입자 Z+ 미동도 하지 않았다. 탄성 충돌로 운동 에너지 보존된다.
In the same way, the angular momentum will be conserved, which tells us that mvb is a constant. This means that dγ/dt can be expressed in terms of the initial velocity of the projectile, the impact parameter and the distance squared between projectile and target.
각 운동량(angular momentum)도 보존된다. 즉, mvb 가 상수다. 이는 각속도 dγ/dt 가 입사입자의 입사속도 v와 충돌 인자(impact parameter) b 곱에 입사 입자와 목표 입자 사이의 거리 r의 제곱에 반비례한다고 나타낼 수 있다.
This serves to express the Coulomb force, which is just the product of the two charges divided by 4 pi r^2, times the unit vector which connects the projectile and the target, in terms of what we know that is to say, the projectile velocity and the impact parameter.
입자가 휘도록(산란되도록) 만든 힘은 원인은 오직 전기적 반발력, 즉 쿨롱 력(Coulomb force)였다. 이 휨으로 인해 입자의 속도는 변함이 없는 탄성 충돌이지만 속도 벡터의 방향이 변화하였다. 입자의 속도 벡터 변화로 인한 힘과 쿨롱 힘을 등가로 놓자. 그리고 쿨롱 힘은 두 입자의 거리 벡터 r의 제곱에 반비례 한다. 거리 벡터 r과 관계된 각도는 γ 다.
When we integrate this relationship between γ = 0 and γ = π - θ, one side is the vector difference between the final and initial velocities. The other side is the integral over the relationship we just obtained.
양변을 적분하여 위의 미분 방정식을 풀자. 좌변은 정적분은 속도 벡터의 차, 우변은 다소 복잡하지만 감마의 범위는 θ에 의존한다. 따라서 γ = 0 와 γ = π - θ 를 적분 구간으로 삼는다.
With a little trigonometry, we get – rather painfully – the value of this integral.
삼각 함수의 간단한 적분이다.
삼각함수의 합각, 반각, 배각의 공식을 활용하여,
벡터 r의 적분 값을 구한다.
이므로,
탄성 충돌한 입사입자의 충돌전 속도와 충돌후 산란 속도의 관계를 알고 있다. 벡터의 합 공식과 이등변 삼각형을 응용하면 두 벡터의 차분 스칼라 값은 다음과 같다.
이제 입사 입자의 운동과 쿨롱 힘의 관계식에 적용해보기로 하자.
수학 문제풀기에 천착하다보면 소위 '현자 타임'이 올때가 있다. 말하자면 이렇게 수학 풀이를 끌고오는 동안 이유를 잊는다. 원자의 모형을 밝히기 위해 하전 입자를 조사하여 입사 입자가 산란되는 현상을 관측하고 이를 바탕으로 원자 이하의 구조가 어떤지 밝히고자 했었다.
원자 이하의 구조를 밝히기 위해 충돌 단면(cross section)가 매우 중요하다. 즉, 충동 요인인 b 값을 구하기 위해 그리고 보이지 않는 입자의 행동을 분석하기 위해 이런 수학이과 개념이 동원된 것이다.
미분 '(산란)단면'을 되집어보자.
충돌 인자의 미분은,
마침내 '단면'을 구하기 위한 모든 준비가 되었다. 대입하여 정리해보자.
마.침.내. 다음과 같은 '단면' 미분식을 얻었다. 이것을 어디에 쓸지 다음편에서 살펴보자.
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