10. 차분형 적분[경로적분] 예제(Integration with Differential Forms Examples)

10. 차분형 적분[경로적분] 예제(Integration with Differential Forms Examples)



전편에서 적분의 새로운 해석으로 차분형(differential form) 적분을 다뤘다. 이번 강의는 몇가지 예를 통해 적분에 대한 새로운 해석이 어떻게 유용한지 보게될 것이다. [좌표계의 변형에 무관하게 벡터의 불변성을 다룰수 있게 해주는 도구]
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차분형 적분의 요약(적분에 대한 새로운 시각):
- 모든 적분은 경로(Path=적분구간) P[a,b]와 여벡터장(Covector field=차분형 differential form) dφ 으로 기술된다.
- 적분 계산은 경로가 통과하는 여벡터장의 등위선 갯수다. 단, 방향을 감안 할 것.
- 구간의 두지점이 같다면 경로에는 무관하다.
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두가지 예를 볼텐데 하나는 2차원 평면의 스칼라장이며 다른 하나는 단일 변수를 갖는 함수다. 적분이 면적계산 이상의 의미가 있음을 알게될 것이다.
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첫번째 예제. 고전적인 적분의 해석으로 함수의 곡선과 대상축으로 둘러 쌓인 면적을 계산하는 경우다. 면적이 음이 될 수 없다. 즉, 적분은 굳이 면적만으로 해석할 필요는 없다는 뜻이다.
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이번에는 새로운 접근 방법으로 차분형 적분이다. 적분 구간과 차분형을 확인해두자. 피적분 함수를 x 대신 F의 차분형으로 나타내면 이 적분은 매우 쉬워진다. 물론 F를 따로 구해야하며, 이는 역미분, 다시말하면 부정적분과 같다. 역미분으로 구한 F(x)에 미지 상수 c가 있으나 임의 값을 정해도 상관 없다.

F(x)의 그래프를 그려보자. 최대극점 양쪽으로 증가와 감소 곡선을 그린다. x 축 상에 차분형 dF(x)의 등위선을 그어보자. F(x)는 x만의 함수다. x의 구간이 [0,2] 이므로 시점에서 종점까지 경로 벡터[x의 함수이므로 직선]를 그어놓고, 이 벡터가 통과하는 등위선의 갯수를 계산하면 -4다. 위에서 고전적인 해석으로 구한 값과 같다.
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두번째 예제는 2차원의 스칼라장에 움직이는 경로(벡터)적분이다.

[1] 경로 P(t)는 시간의 함수다[시간에 따라 이동하는 벡터].
[2] 시간 t=0 에서 시점의 좌표 (+1, -1), t=2에서 종점의 좌표 (2,2).
[3] 적분변수 x 와 y의 차분 dx와 dy를 dt 로 확장하고,
[4] 피적분 함수를 모두 t의 함수로 정리한 후,
[5] 적분구간을 적용한 계산결과는 5다.
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이번에는 차분형 적분을 구해보자(스칼라장에서 경로의 여벡터값).

[1] 두개의 변수로 기술된 여벡터장 (xdy + ydx )을 단일 여벡터장 dF 으로 변환하자.
[2] 편미분 공식을 적용할 수 있다.
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[3] 원식과 비교하면 두개의 편미분 관계식을 얻고
[4] 이로부터 스칼라장 함수 F(x,y)를 얻는다. 이때 미지 상수 c 가 포함된다.
[5] 스칼라장 F(x,y) 를 그림으로 표현하면 아래의 왼편 그림과 같다. x와 y 가 모두 양,혹은 모두 음인 적색영역이 양의 스칼라 값이 분포하고 파란 영역은 음의 스칼라값이 분포한다.
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[6] 차분형 dF의 등위선을 그어보면 여벡터장의 모습은 다음과 같다. 경로가 통과하는 등위선의 갯수를 구하면 5 다.
[7] 물론 대수적 계산으로도 적분 값이 5임을 알 수 있다.
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적분을 면적의 계산 대신 여벡터장의 등위선 수를 세는 것으로 해석할 수 있다. 차분형 적분의 장점은 이전에도 말했지만 좌표계에 무관하다는 점이다. 말하자면 직교좌표계 혹은 극좌표계 따위의 기하학적 좌표계를 따질 필요도 없다.
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좌표계에 무관하다는 것은 어떤 의미를 갖는지 보자. 원좌표계를 2배 크게한(scale-up) 변형 좌표계를 u 라 하자.
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좌표계가 x 에서 2u 로 변형되어도 경로가 여벡터장의 등위선을 통과하는 갯수에는 변함이 없다.
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스칼라장 함수 F의 여베터장 dF는 F(x) 또는 F(u)로 서로다른 좌표계로 기술 할 수 있으나 변함은 없다. 다만 계수의 값이 바뀐다.
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다른예,
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여벡터장은 불변이다. 다만 여벡터장 성분은 선택한 좌표계에따라 다르다.
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벡터와 벡터장의 불변성. 벡터 성분의 좌표계 의존성
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다양한 방식으로 좌표계를 변환할 수 있다. 여벡터장 불변이므로 다루기 쉬운 변환을 선택하자.
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[공략 대상이 난해하면 프레임을 바꿔 대상을 단순화 시키자. 한번쯤 지폐를 접어서 얼굴 바꿔보기 장난을 해봤을 것이다. 지폐(좌표축)를 접으면(변형) 원 그림이 달라보인다(성분 변화). 그렇다고 지폐가 아닌것은 아니다(불변성). 조작이나 위조가 아니다.]
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여벡터장을 표현할 좌표계를 바꾸면 구간도 연동되어 바뀐다는 점에 유의하자.
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결론, 벡터는 좌표계 성분과 기저벡터 곱의 선형합니다. 여벡터장 역시 기저 여벡터장과 성분의 곱의 선형합이다.
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엑터와 여벡터장의 기하학적인 표현. 둘 모두 좌표계 무관한 불변성
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이번강의의 결론,

- 여벡터장의 좌표계의 선택에 상관없는 불변성,
- 여벡터장 성분은 좌표계에 따라 가변성
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[이전] 9. 차분형(여벡터장) 적분[경로적분](Integration with Differential Forms)
[다음] 11. 측량텐서와 원호길이(평면)(The Metric Tensor and Arc Lengths (flat space))
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강의목차:
Tensor Calculus by eigenchris @ Youtube

0. 소개(Introduction)
1. 다변수 미적분 요약(Multi-variable Calculus Review)
2. 직각좌표계와 극좌표계 그리고 기저벡터(Cartesian & Polar ㅌCoordinates, and Basis Vectors)
3. 자코비언(The Jacobian)
4. 미분하면 벡터된다(Derivatives are Vectors)
5. Derivative Transformation Rules (Contravariance)
5.1 Derivative Operators are Vectors Discussion
6. Differential Forms are Covectors
7. 여벡터 장 성분(Covector Field Components)
8. 8. 여벡터장 변환규칙(공변)(Covector Field Transformation Rules (Covariance))
9. 차분형(여벡터장) 적분[경로적분](Integration with Differential Forms)
10. 차분형 적분[경로적분] 예제(Integration with Differential Forms Examples)
11. 측량텐서와 원호길이(평면)(The Metric Tensor and Arc Lengths (flat space))
12. The Metric Tensor in Curved Spaces for Measuring Arc Length
13. Gradient vs d operator (exterior derivative_differential)
14. Gradient explanation + examples
15. Geodesics and Christoffel Symbols (extrinsic geometry)
16. Geodesic Examples on Plane and Sphere
17. The Covariant Derivative (flat space)
17.5 Covariant Derivative (Component Definition) - Optional
18. Covariant Derivative (extrinsic) and Parallel Transport
19. Covariant Derivative (Intrinsic) and Geodesics
20. The Abstract Covariant Derivative (Levi-Civita Connection)
21. Lie Bracket, Flow, Torsion Tensor
22. Riemann Curvature Tensor Geometric Meaning (Holonomy + Geodesic Deviation)
23. Riemann Curvature Tensor Components and Symmetries
24. Ricci Tensor Geometric Meaning (Sectional Curvature)
25. Geometric Meaning Ricci Tensor_Scalar (Volume Form)
26. Ricci Tensor_Scalar Properties

9. 차분형(여벡터장) 적분[경로적분](Integration with Differential Forms)

9. 차분형(여벡터장) 적분[경로적분](Integration with Differential Forms)



이번 강의는 차분형(differential form,=여벡터장) 적분을 배운다. 기존에 알고 있던 함수로 둘러쌓인 면적 구하기와 다소 다른 개념의 적분을 배우게 될 것이다[선적분 혹은 경로적분, line integration].
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지난 강의에서 차분형(differential form) 연산자 d 를 새롭게 정의해 봤었다. 차분형 연산자는 스칼라장(scalar field) 함수를 취해 여벡터장(covector field)을 만든다. 여벡터장에 벡터를 놓고 이 벡터가 통과하는 단위 등위선의 갯수를 구하는 방법도 살펴봤었다. 이 차분형을 여벡터장 으로 정의 하였다.
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차분형과 적분의 '무한히 작게(infinite small) 쪼갬'과 관계를 알아보자.
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논의를 단순화 하기위해 중적분은 배제하고 단일 적분만을 취급할 것이다.
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단일 적분은 차분형(=여벡터장)과 경로(path)의 의미를 포함하고 있다. 즉, 여기에서 다루는 적분의 새로운 의미는 적분구간을 시점과 종점 삼아 두점을 잇는 경로가 지나간 여벡터 등위선의 갯수다.
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이 시점에서 적분의 기본공식을 짚어보고 가자. 첫번째 공식은 정적분이다. 두번째 공식은 선적분(line integral) 으로 그래디언트 정리(Gradient theorem)라 한다. 두 공식 모두 적분된 함수 F(x)에 적분 구간의 종점값을 적용한 값 F(b)에서 시점값 F(b)를 뺏다는 것이다.[선적분도 F(b)-F(b) 라 하는 것을 보면 경로의 중간 과정이 어떻든 시점과 종점만 중요하다.] 이번 강의는 그래디언트 정리를 증명하는데 중점을 둔다.
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물리학에서 논하는 '일(Work)'에 대해 상기해 보자. '일'은 물체에 힘을 가하여 이동시켰을 때 소요된 물리량(에너지)을 말한다.
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힘의 장(Force Field)에서 일을 표현하는 식은 힘 벡터 F와 거리 벡터 R의 스칼라곱(dot product)으로 정의된다. 예를 들어 아래와 같은 힘장 F 에서 오직 x 방향으로 거리 R 만큼 이동했다 하자. 일을 계산하면 6 이다. 물리량의 단위는 주울(J, joules)이다.
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구체적인 예를 들어보자. 쉽게 생각할 수 있는 힘장은 지구의 중력장이다. 소위 만유인력의 법칙이라고 알려진 힘이 작용하는 장이다[중력장, Gravitational Force Field]. 중력장의 방향은 반지름 벡터 방향(무거운 물체 M을 원점으로 밖으로 향하는)과 반대다.
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이 중력장에서 임의의 경로로 움직이는 물체(질량 m을 가지고 있음)가 있다. 이 물체가 지구의 중력장에서 한 일을 계산해보자.
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이 물체가 중력장의 방향으로 끌려 들어가지 않고 경로를 따라 움직였다면 어떤 제3의 힘이 작용 했다는 의미다.
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우리는 단지 중력이 한일을 계산하고자 한다. 경로에 따라 작용하는 힘의 방향이 지속적으로 바뀐다. 따라서 단순한 일의 계산식인 힘 벡터와 경로벡터의 곱을 사용할 수 없다. 경로에 따라 중력벡터와 미소 이동경로의 곱을 모두 더해야 한다. 이동 경로 벡터 R는 매우 난해하게 움직인다[수식화 하기 어렵다]. 물체의 움직임 인자 λ (물리에서는 대개 시간)를 도입하여보자. 미소경로 dR을 물체의 이동경로의 선속도(tangential velocity) 벡터 dR/dλ 로 대체할 수 있다.
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일예로 경로를 단순화하여 중력장 일을 계산해 보자. 원운동을 반지름과 각도로 인수화 한다(parameterization). 반지름은 r=2로 고정이며 각도 θ=λ 로 시간으로 변한다. 선속도 벡터를 연쇄법칙에 따라 확장하면 극좌표의 기저벡터와 성분 곱 조합의 선형합과 같다. 원운동을 극좌표로 인수화 하므로써 계산이 수월해 진다. 성분의 미분결과 선속도 벡터는 각도축 기저벡터만 남는다. 중력법칙과 선속도 벡터 곱을 선적분에 적용하면 복잡해 보이는 것 같지만 결국 반지름축 기저벡터와 각도축 기저벡터의 스칼라 곱이다. 반지름 벡터는 항상 원점에서 밖으로 향하고 각도 기저벡터는 원운동의 접선방향이다. 따라서 이 두 기저벡터의 스칼라곱은 0 이다. 결국 중력장에서 원운동하는 물체의 일은 0이다. 이는 원운동을 하는 물체에 중력이 한 일은 없다는 것이다. 중력에 대해 반지름의 변화가 없으므로 일(=힘 곱하기 움직인 거리)은 0이다.
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이번에는 반지름 벡터와 같은 방향으로 직선운동하는 경우다. 인수화 한 후 성분을 미분하여 속도 벡터를 얻는다. 선적분에 적용하여 중력이 한 일을 구한다. 적분한 일이 음의 값을 갖는데 이는 중력에 거슬리게 일을 했다는 의미다.
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정리하면, 반지름의 변화가 없는 원운동에 대해 중력장이 한 일은 없다. 중력 중심으로 향하는 운동은 반지름 만큼의 양의 일을 한다. 중력 원점에서 벗어나는 운동은 이동한 반지름 만큼 음의 일을 한다. 경로에 상관 없이 반지름 방향의 움직임(원점에서 움직인 길이)만이 일의 계산에 기여한다.
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이를 직관적으로 이해해 보자. 중력이 한 일을 경로를 무한히 잘게 잘라 각 지점에서 중력 벡터와 경로의 선속도 벡터의 스칼라 곱의 총합이다. 하지만 선적분을 적용하면 아무리 난해하게 움직였더라도 결국 시점과 종점의 중심에서 거리만 알면 일을 구할 수 있다는 뜻이다. [적분은 구간의 시점과 종점만 따진다. 적분의 중요하면서도 근본적인 정의를 상기하자.]
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위와 같이 [중심에서 거리에 의존하는] 특징의  중력을 다루기 위해 도입한 개념이 중력 포텐셜(Gravitational Potential)이다.
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중력은 질량을 가진 두 물체 사이에 작용하는(거리의 제곱에 반비례) 힘으로 알려져 있다. 사실 질량을 가진 물체 주변에 형성되는 가상의 힘의 분포이며 실제 힘으로 발현되려면 또다른 질량이 존재해야 한다. 질량에 의해 형성되는 잠재력을 중력장(Gravitational Field) 이라하고 이는 거리(반지름)의 방향의 기저벡터를 붙인 벡터장(Vector Field)이다. 중력(벡터)장은 다시 -∇φ로 표기한다. [∇ 는 공간 편미분 연산자로서 스칼라를 벡터화 해준다. φ는 중력 포텐셜(Gravitational Potential)은 스칼라다.]
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중력 포텐셜을 시각화 하면 다음과 같다. 적색영역이 양, 청색영역이 음이다. 중력 퍼텐셜에 그래디언트를 취하고 음의 부호를 붙였으므로 질량 m에 작용하는 힘, 즉 중력의 방향은 지구질량 M (중력 퍼텐셜의 원인)을 향한다.
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[1] 중력 퍼텐셜(스칼라장, scalar field)에서 움직이는 질량 m에 대해 중력이 작용하여 행한 일을 구하기 위해 적분을 해보자. [난해하게 움직이는 물체의 경로 R를 직접 적용하는 대신 시간 λ 을 도입하였다. dR/dλ 는 움직이는 물체의 순간 접선속도다. 교묘히 시간과 공간이 얽히기 시작한다.]

[2] 중력은 위에서 정의한 중력 퍼텐셜 φ의 그래디언트 ∇φ에 움직이는 객체의 질량을 곱한 식을 적용한다.[그래디언트 연산자 ∇는 스칼라장을 벡터화 한다.]

[3] 직교좌표계에서 중력 퍼텐셜의 그래디언트. (극좌표계에서 그래디언트를 구하는 편이 수월하긴 하지만 좀더 익숙한 직교좌표계에서 따져보기로 하자.)

[4] 접선속도(tangential speed) 벡터는 직교좌표계 축으로 분리된 벡터의 합으로 표현된다. 이는 다변수 미분의 연쇄법칙을 따른다. 중력장 중심에서 물체의 위치까지 반지름 벡터 R에 대한 좌표축의 미분은 기저벡터와 같다.
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중력 포텐셜의 그래디언트 벡터와 접선속도 벡터의 스칼라 곱 ∇φ⋅(dR/dλ)은 결국 중력장 포텐셜의 시간 미분 dφ/dλ 과 같다.
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위에서 보인 식을 중력장에서 물체가 움직인 일의 적분에 적용해보자. 적분의 계산결과는  경로의 종점과 시점에서 포텐셜의 차에 질량을 곱한 것과 같다.
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처음 일을 구하는 적분식은 상당히 복잡해 보였지만 결국 중력장의 적분으로 쉽게 구할 수 있음을 알게되었다.
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그럼 중력장에서 경로 적분의 의미를 시각화하여 이해해 보기로 하자.

중력장이 움직이는 물체에 작용한 일(=에너지)을 계산하기 위해 이동된 위치마다 변화하는 벡터들을 수없이 더하는 대신 경로의 시점과 종점의 중력 퍼텐셜 차만 알면 구할 수 있다. 중력장이 행한 일의 계산이 매우 단순해진 것이다. [중력 퍼텐셜은 스칼라장(scalar field)이다. 길이와 방향을 갖는 고도의 추상적 개념인 벡터 보다 매우 단순한 함수다.]
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중력 퍼텐셜 φ 를 [연속적인] 등위선(level sets)으로 나타내보다. 이 등위선 상에 물체가 이동한다. 움직인 경로를 따라 통과하는 등위선의 갯수가 바로 일이다. 벡터장으로 일을 계산했을 때에 비해 얼마나 단순하며 그림으로 봐도 매우 직관적이다. 이로써 중력장(중력의 미분형) dF는 여벡터장(중력 퍼텐셜의 미분형) dφ 임을 알 수 있다.
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중력 퍼텐셜을 그래디언트 연산을 취하여 벡터장으로 계산하는 방법과 단지 퍼텐셜의 차분형으로 계산하는 방법을 비교해보면 더욱 명확하다.
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끝으로 '그래디언트 정리'로 알려진 선적분(Line Integral)의 원리를 배워보자. 경로를 따라 스칼라 함수의 그래디언트와 경로 벡터의 스칼라 곱의 적분 대신 경로가 어떻든 시점과 종점의 스칼라 함수 값만으로 계산 할 수 있다.
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다만 경로가 통과하는 방향에 따라 등위선의 증감을 맞춰줘야 한다.
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적분을 차분형(differential form)으로 해석해보자. 모든 적분은 차분형을 포함하며 경로로서 구간이 지정되어 있다.
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차분형과 경로의 적분 결과는 경로가 통과하는 (차분으로 간격이 그어진) 등위선의 갯수와 같다. 이때 여벡터(적층 등위선)의 방향과 경로의 통과 방향을 감안해야 한다.
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이와 같은 방법의 선적분 해석의 장점은 좌표계에 무관하다는 점이다. 다음 강의에서 이에대한 실질적인 예를 다뤄보겠다.

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[이전] 8. 여벡터장 변환규칙(공변)(Covector Field Transformation Rules (Covariance))
[다음] 10. 차분형 적분[경로적분] 예제(Integration with Differential Forms Examples)
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강의목차:
Tensor Calculus by eigenchris @ Youtube

0. 소개(Introduction)
1. 다변수 미적분 요약(Multi-variable Calculus Review)
2. 직각좌표계와 극좌표계 그리고 기저벡터(Cartesian & Polar ㅌCoordinates, and Basis Vectors)
3. 자코비언(The Jacobian)
4. 미분하면 벡터된다(Derivatives are Vectors)
5. Derivative Transformation Rules (Contravariance)
5.1 Derivative Operators are Vectors Discussion
6. Differential Forms are Covectors
7. 여벡터 장 성분(Covector Field Components)
8. 8. 여벡터장 변환규칙(공변)(Covector Field Transformation Rules (Covariance))
9. 차분형(여벡터장) 적분[경로적분](Integration with Differential Forms)
10. Integration with Differential Forms Examples
11. The Metric Tensor and Arc Lengths (flat space)
12. The Metric Tensor in Curved Spaces for Measuring Arc Length
13. Gradient vs d operator (exterior derivative_differential)
14. Gradient explanation + examples
15. Geodesics and Christoffel Symbols (extrinsic geometry)
16. Geodesic Examples on Plane and Sphere
17. The Covariant Derivative (flat space)
17.5 Covariant Derivative (Component Definition) - Optional
18. Covariant Derivative (extrinsic) and Parallel Transport
19. Covariant Derivative (Intrinsic) and Geodesics
20. The Abstract Covariant Derivative (Levi-Civita Connection)
21. Lie Bracket, Flow, Torsion Tensor
22. Riemann Curvature Tensor Geometric Meaning (Holonomy + Geodesic Deviation)
23. Riemann Curvature Tensor Components and Symmetries
24. Ricci Tensor Geometric Meaning (Sectional Curvature)
25. Geometric Meaning Ricci Tensor_Scalar (Volume Form)
26. Ricci Tensor_Scalar Properties