8. 여벡터장 변환규칙(공변)(Covector Field Transformation Rules (Covariance))

8. 여벡터장 변환규칙(공변)(Covector Field Transformation Rules(Covariance))



여벡터장(Covector Field)의 변환 규칙에 대하여 공부한다. 이전의 텐서 기초 강좌중 '여벡터 변환규칙' 편을 먼저 보길 권한다.
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'텐서의 기초' 강좌에서 개별 벡터와 여벡터의 변환 규칙을 배웠다. 기저벡터의 공변성, 벡터 성분의 반변성, 기저 여벡터의 반변성 그리고 여벡터 성분의 공변성이 그것이다.
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'텐서 미적분' 강좌는 이 벡터와 여벡터 변환의 기본 개념을 장의 개념으로 확장한 것이다. 움직이는 벡터의 미문으로 벡터장을, 적분의 미분형으로 여벡터장을 기술한다.

벡터장은 움직이는 벡터의 미분 d/dλ 으로 벡터의 기저축 성분 c^i (또는 p^i)을 움직임 인자 λ로 미분 d(c^i)/dλ (또는 d(p^i)/dλ)과 벡터에 대한 기저축의 편미분 ∂/∂(c^i) (또는 ∂/∂(p^i))의 선형조합 인데 이는 다변수 편미분의 연쇄법칙과 같다. 벡터장의 규칙에서 기저벡터 변환 규칙은 공변성을 갖는다. 벡터장 성분은 하며 반변성을 갖는다.

여벡터장은 스칼라장 함수 [f = f(x,y) = (x(λ), y(λ)) = f(λ)] 미분형df 으로 축성분 편미분 ∂f/∂(c^i) (또는 ∂f/∂(p^i)) 과 미분형 d(c^i) (떠는 d(p^i)) 의 선형조합이다. 이번에 배울 내용은 이 여벡터 장의 변환에 관한 것이다.
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지난번 강의에서 여벡터 장은 기저여벡터장으로 분리될 수 있음을 보였다.
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df 가 어느 여벡터장으로 확장될 수 있다면 dθ 와 또한 dx와 dy의 선형조합으로 확장될 수 있다. 확장식에서 기저여벡터장의 계수는 역자코비안(Inverse Jacobian) 행렬의 원소다. 분모에 극좌표, 분자에 직교좌표계다.[극좌표에서 직교좌표계로 변환.] 여벡터장의 성분 변환 규칙으로 반변성을 따른다.
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극좌표계에서 직교좌표계로의 변환규칙을 아인슈타인 표기법으로 기술하면 다음과 같다.
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이를 행렬로 표현하면 다음과 같다. 우변은 역자코비언(역변환) 행렬과 열벡터로 담긴 기저여벡터장(반변성을 갖는)의 곱이다.
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역자코비언 행렬의 원소인 편분을 구하면 극좌표계에서 직교좌표계로의 변환에서 이미 계산[1][2] 했던 대로 다음과 같다.[참조: 3. 자코비언]
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위의 직교좌표계와 극좌표 사이의 변환을 통해 (여벡터장) 변환 규칙이 타당한지 확인해 보자.

먼저,

극좌표계의 여벡터장 dr 을 직교좌표계 (x,y) 로 변환하는 경우다. 직교좌표계의 x 축 상으로 만 변환하면 y=0 이므로 변환식에서 dx 항만 남는다. dr 은 항상 밖으로 향한다.[반지름은 음이될 수 없다] 하지만 직교좌표계의 x 축은 원점에서 양과 음의 방향이 있다.
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직교좌표계의 y 축 상으로 만 변환하면 x=0 이므로 변환식에서 dy 항만 남는다. 극좌표계의 r축은 항상 양의방향이지만 직교좌표계의 y 축은 원점에서 양과 음의 방향이 있다.  [dx 와 dy 의 계수 (x/r) 과 (y/r) 은 1이다. 따라서 전 방향으로 등간격으로 여벡터장의 등위선은 원이다. 극좌표 조건에 부합한다.]
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dθ 에 대해서도 같은 해석을 할 수 있다. 직교좌표계의 x 축 상으로 만 변환하면 y=0 이므로 변환식에서 dx 항만 남는다. 각도 θ가 반시계 방향이 양의 부호를 감안하면 직교좌표계의 부호에 대응한다.
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직교좌표계의 y 축 상으로 만 변환하면 x=0 이므로 변환식에서 dy 항만 남는다. 계수에 음의 부호를 가지고 있으므로 반시계 방향의 θ와 y 축의 부호가 일치한다. [dx 와 dy 의 계수가 (y/r^2) 과 (x/r^2) 다. 거리 역제곱(inverse square)이다.]
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직교좌표계의 여벡터장 dx와 dy도 극좌표의 dr 과 dθ 의 선형조합으로 확장될 수 있다. 확장식의 기저여벡터장의 계수는 자코비안(Jacobian) 행렬의 원소다. 분모에 직교좌표, 분자에 극좌표계다.
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일반형으로 확장된 변환식의 아인슈타인 표기법에 따라 기술하면 다음과 같다. [직교좌표에서 극좌표계로 변환.] 극좌표계의 기저여벡터장 dr 과 dθ 는 열벡터로서 반변성을 갖는다.
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위의 자코비언 행렬의 원소인 편분을 구하면 직교좌표계에서 극좌표계로의 변환에서 이미 계산했던 대로 다음과 같다.[참조: 3. 자코비언]

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이 변환을 정성적으로 이해해 보자. 직교좌표계의 여벡터장 dx 을 극좌표계 (r,θ) 로 변환하는 경우다.

먼저 x 축 선상에서 여벡터장 dx를 보자. y=0 이므로 dθ 성분은 없다. 원점에서 x축의 양의 구간은 반지름과 일치한다. 하지만 음의 구간은 반지름 방향이 x축의 방향에 반대이므로 서로 상쇄되어 r 은 항상 양의 값을 가져야 한다는 조건에 부합한다.

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이번에는 y 축상의 dx 다. x=0 이므로 dθ 성분만 남는다. θ는 반시계방향이 양의 부호다. 계수가 음의 부호다. 따라서 y 축의 양의 구간의 θ는 시계방향이다. 물론 y가 음인 구간에서 θ는 반시계 방향으로 여벡터장 dy의 방향과 일치한다.

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직교좌표계의 임의 위치에서 여벡터장 dx 을 극좌표계로 변환하는 경우를 보자. x 와 y 가 모두 0이 아니므로 극좌표계 기저여벡터 dr 과 dθ 의 벡터합 방향이 된다. 아래 그림처럼 (보라색 화살표) dr 과 (녹색 화살표) dθ 의 합은 결국 dx 와 같다.

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y축 여벡터장 dy 역시 dr 과 dθ의 성분 선형합이 된다. 두 기저여벡터장의 합은 결국 dy 와 같다. 

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위에서 직교좌표계와 극좌표계 사이의 여벡터장 변환 규칙을 살펴봤다. 여벡터장 변환 규칙을 요약하면 기저여벡터의 변환은 반변성을 따르는 변환이다.

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이번에는 여벡터장 성분의 변환규칙을 알아볼 차례다.(Covector Field Component Transformation Rule)

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여벡터장(=스칼라장의 미분형, df )은 어느 좌표계의 기저여벡터장과 성분 조합의 선형합이라는 것은 이미 배웠다. 또한 여벡터장의 성분은 다변수 편미분의 연쇄법칙에 따라 합으로 확장될 수 있다.

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정리하면, 여벡터장(covector field)은 기저여벡터장(basis covector field)과 여벡터장 성분(covector field components) 조합의 선형합이다. 기저 여벡터장의 변환 규칙은 성분과 반변한다. 여벡터장 성분의 변환 규칙은 공변관계다.
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여벡터장의 성분의 변환 규칙이 공변한다는 점이 다소 특이해 보일지 모른다. 여벡터의 값(성분)은 벡터가 통과하는 등위선의 갯수다. 벡터의 길이에 비례한다(벡터와 여벡터 성분이 공변).
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공변하는 여벡터장 성분의 변환 규칙을 확실히 새기기 위해 예를 들어보기로 한다. 앞서 스칼라장 함수 f(x,y)와 이를 극좌표계로 변환한 f(r,θ)의 예를 들었었다.
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두 좌표계 사이의 성분 변환에 공변성이 있는지 살펴보기로 하자. 여벡터장 성분 df 의 직교좌표와 극좌표에서 확장 표현될 수 있다. 지난 강의에서 두 좌표계 사이의 성분 변환을 구했었는데 이번에 배운 공변성의 관점으로 다시 확인해보자.
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여벡터 성분의 변환 규칙은 다변수 편미분 연쇄법칙과 같으며 변환될 좌표계의 성분에 대한 편미분에 자코비언의 곱이다. 이를 행렬로 표현하면 변환될 여벡터 성분을 행벡터로 놓고 자코비언 행렬을 곱한 것과 같다. [공변하는 여벡터 성분은 행벡터, 반변하는 벡터 성분은 열벡터. 텐서 기초강좌 내내 배운 것이다. 이제는 덮어놓고 외우자.]
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위의 변환 행렬을 계산하면 결국 극좌표계로 변환된 여벡터장의 성분을 얻게 된다.
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이번에는 극좌표계(P)에서 직교좌표게(C)로 여벡터장 성분을 변환해보자.
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정리하면 직교좌표계 여벡터장 성분 행벡터를 얻는다.
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이제 마지막 남은 상자를 채워보자. 벡터장과 여벡터장의 표현법과 변환을 정리하면 다음과 같다.
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[이전] 7. 여벡터 장 성분(Covector Field Components)
[다음] 9. Integration with Differential Forms

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강의목차:
Tensor Calculus by eigenchris @ Youtube

0. 소개(Introduction)
1. 다변수 미적분 요약(Multi-variable Calculus Review)
2. 직각좌표계와 극좌표계 그리고 기저벡터(Cartesian & Polar ㅌCoordinates, and Basis Vectors)
3. 자코비언(The Jacobian)
4. 미분하면 벡터된다(Derivatives are Vectors)
5. Derivative Transformation Rules (Contravariance)
5.1 Derivative Operators are Vectors Discussion
6. Differential Forms are Covectors
7. 여벡터 장 성분(Covector Field Components)
8. Covector Field Transformation Rules (Covariance)
9. Integration with Differential Forms
10. Integration with Differential Forms Examples
11. The Metric Tensor and Arc Lengths (flat space)
12. The Metric Tensor in Curved Spaces for Measuring Arc Length
13. Gradient vs d operator (exterior derivative_differential)
14. Gradient explanation + examples
15. Geodesics and Christoffel Symbols (extrinsic geometry)
16. Geodesic Examples on Plane and Sphere
17. The Covariant Derivative (flat space)
17.5 Covariant Derivative (Component Definition) - Optional
18. Covariant Derivative (extrinsic) and Parallel Transport
19. Covariant Derivative (Intrinsic) and Geodesics
20. The Abstract Covariant Derivative (Levi-Civita Connection)
21. Lie Bracket, Flow, Torsion Tensor
22. Riemann Curvature Tensor Geometric Meaning (Holonomy + Geodesic Deviation)
23. Riemann Curvature Tensor Components and Symmetries
24. Ricci Tensor Geometric Meaning (Sectional Curvature)
25. Geometric Meaning Ricci Tensor_Scalar (Volume Form)
26. Ricci Tensor_Scalar Properties

7. 여벡터장 성분(Covector Field Components)

7. 여벡터장 성분(Covector Field Components)



이번강의는 차분형(differential form=covector field,여벡터 장)을 성분(components;여벡터가 벡터는 아니지만 벡터 처럼 행동한다. 그러므로 좌표계 기저축의 성분으로 분리될 수 있다)으로 나눠 보려고 한다. 텐서의 기초 강좌중 여벡터 성분의 고급편이다.
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전편 요약... 차분형은 여벡터장을 만든다(Differential forms are Covectors) [이전].
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이번 강의는 벡터의 미분(=벡터장)을 기저축에 대한 편미분(=기저벡터)과 성분(=기저축  변화율)의 선형합으로 표현 했듯이, 여벡터장(=covector field; 스칼라장의 미분형 differential form of scalar field)도 기저축의 차분에 배율값을 곱한 합이 됨을 보인다. 이 배율값이 여벡터의 성분이다. 이번 강의는 바로 이 배율값 A, B가 무슨의미인지 살펴볼 것이다.
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[01:19] 이번에 살펴볼 내용은 여벡터장에 벡터를 적용 df(v) 하면 성분이 어떻게 나눠지는지 보고자 한다. [배율값 A와 B를 구하려는 목적이다].

그전에 먼저, 여벡터장에 기저벡터를 적용하면 df(e_1) 어떻게 되는지 보기로 하자. 스칼라장 함수 f 를 각 기저축으로 편미분한 것과 같이된다. [df(v): 여벡터장에 벡터를 적용하여 방향성을 구함]
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만일 x축으로 만 분포한 스칼라 함수 [예: f(x,y) = x]에 미분 연산자를 적용하여 여벡터 장을 구하면 x 축 편미분은 1, y축 편미분은 0 이다.
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만일 y축으로 분포[예: f(x,y)=y] 한 여벡터 장의 경우 y 축 편미분은 1, x축 편미분은 0 이다.
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정리를 해보자. 기저벡터를 여벡터 장 df에 작용시키면 해당기저축에 대한 편미분이된다.
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그리고 기저벡터를 기저축 방향으로만 변하는 여벡터 장에 작용시키면 1혹은 0의 값을 얻는다. 기저축과 동일한 방향에 대해서만 1이며 그외 교차 방향의 축에 대해서는 0이다.
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이런 특성을 살펴보는 이유는 여벡터 장을 기저축 성분으로 분할 하는데 활용 될 수 있기 때문이다.

기초편에서 여벡터의 특성을 공부할 때 특별한 기저 여벡터(special basis covector)를 정의한 적이 있었다. 바로 기저벡터를 작용 시켰을 때 0 또는 1을 출력하는 ε^1 과 ε^2 다. 이 특별한 기저 여벡터와 기저벡터의 조합은 크로네커 델타로 정의된다. 앞서 봤던 미분형에 편미분 연산자를 작용한 꼴의 결과 역시 이와 비슷한 결과를 낮는다. 이 연산의 결과를 일반화 하면 크로네커 델타와 같다.
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여벡터의 기초편에서 배운 내용을 상기하면, 여벡터 α는 기저여벡터 ε^1 과 ε^2에 대해 여벡터 성분 α_1 과 α_2 곱의 선형 합으로 나타 낼수 있었다. 그리고 그 성분을 행벡터로 표시했다.
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이제 여벡터 장으로 논의를 옮겨보자. dx와 dy는 차분형에 대한 이중기저(기저 여벡터)와 같다. 여벡터장 df를 두 이중기저의 차분형 dx와 dy로 분리하면 배율 값 A와 B를 곱하여 더한 꼴이된다. 그럼 A와 B는 여벡터 장에 어떤 의미를 갖는지 살펴 보자.
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평면에 스칼라 함수 f(x,y)가 있다. 평면의 기저축 여벡터 성분(=배율값) A와 B를 구하기 위해 이동인자가 λ인 곡선을 그려보자. [여벡터장을 구하려면 벡터가 있어야 한다. 따라서 스칼라 장위에 임의의 곡선을 놓고 그 접선 벡터로 스칼라장 여벡터를 구하려고 한다.] 곡선의 임의 위치에서 접선벡터는 움직임 인자의 미분 d/dλ 다.
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함수 f [f(x,y) = (x(λ), y(λ)) = f(λ)]의 미분 df/dλ는 여벡터 장에 접선벡터를 적용한 것과 같다.
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위의 f에 대한 λ 미분을 직교좌표계 축으로 다변수 미분 연쇄법칙에 적용하여 풀어보면 다음과 같다. 최종적으로 스칼라장 미분형  df는 기저여벡터 dx와 dy의 선형 합이라는 것을 증명할 수 있게 된다. 이때 배율값(scaling coefficients)은 각 기저축에 대한 스칼라장의 편미분 ∂f/∂x 과 ∂f/∂y 이다.
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결론적으로 모든 여벡터장(Covector field)은 기저축 차분형 dx와 dy의 선형조합(linear combination of dual basis for differential form)으로 표현될 수 있음을 보였다.

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편미분 연산자는 기저벡터의 미적분 버젼으로 벡터장을 표현하며, 미분형은 기저여벡터의 미적분 버젼으로 여벡터장을 표현한다.
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여벡터장을 미분형 공식으로 표현한다고는 하지만 확실히 개념이 잡히지 않는다. 이해를 돕기위해 예를 들어 설명해보기로 한다.

스칼라장(scalar field) f(x,y)가 아래와 같이 주어졌다. 이에대한 미분형 df을 구해보자. 앞서 배운 대로 여벡터장 성분은 f를 x와 y에 대하여 편미분 하면 구할 수 있다. x축의 성분은 1, y축의 성분은 2y다. x 축으로는 등위선의 간격이 1로 상수이나 y 축으로는 등위선 간격이 변한다. 원점에서 y로 멀저질 수록 2배 증가한다.
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위에서 구한 성분(등위선 간격)을 여벡터 장을 그려보면 다음과 같다. x축으로 등위선은 dx에 항상 1개씩이지만, y축으로는 dy의 2y배가 된다. 즉, y축으로는 간격 dy에 통과하는 등위선의 수가 y가 증가함에 따라 두배씩 증가한다.
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x 축으로 등위선 간격은 항상 같다.
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y축 방향으로는 y가 원점에서 멀어짐에 따라 통과하는 등위선의 갯수(여벡터 값)이 두배로 증가하므로 등위선 간격은 줄어든다.[간격이 줄어야 갯수가 늘어남]
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양의 방향뿐만 아니라 음의 방향으로도 동일한 증가가 적용된다.
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직교좌표계가 특별한 것이 아니다. 똑같은 스칼라 장을 극좌표로 풀어보자. 이미 알고 있는 직교좌표계의 축을 극좌표로 바꾸는 방법을 함수에 대체하여 r과 θ 가 사용된 새로운 식을 얻는다.
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극좌표계로 표현된 스칼라 장 함수를 미분하여 여벡터 장을 구해보자. 직교좌표 때보다 좀더 복잡해졌다.
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[10:54] 각도 θ=0 이면 r 축의 편미분 값은 1, θ 축 편미분 값은 0 이다.
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이를 해석하면, θ=0인 방향으로 균일하게 등분된 dr 크기의 여벡터로만 존재한다. 각도 성분은 없다.
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각도 θ=π/2 이면 r 축의 편미분 값은 2r, θ 축 편미분 값은 (-r) 이다.
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이를 해석하면, 각도 θ=π/2 에서 위쪽(r이 증가하는) 방향으로 2r 배의 여벡터 성분(r이 늘어날 수록 통과하는 등위선의 갯수가 2배로 늘어난다는 의미다)을 갖고, 각도 성분은 r이 멀어질 수록 각도가 시계방향(음의방향)으로 커진다[극좌표 각도축은 반시계방향이 양의 방향이다]. 두 기저여벡터의 방향을 감안하면 여벡터 장을 구성하는 여벡터는 중심에서 멀어질 수록 간격은 좁아지고 우상단에서 위쪽으로 방향을 바꾸는 모습을 취한다[결국 직각 좌표계에서 살펴봤던 모습과 동일함].
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극좌표계로 표현 되서 다소 복잡해지긴 했으나 여벡터 장을 기술은 변함없다.
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정리해보자. 여벡터는 기저여벡터(dual basis vector)에 성분을 곱한 조합의 선형합으로 확장 표현된다. 좌표계가 바뀌면 그에 맞는 성분 값을 취함으로써 여벡터 불변성을 유지한다. [이때 여벡터 성분은 공변성을, 여벡터기저벡터는 반변성을 갖는다.] 미분형인 여벡터 장의 경우에도 이와 동일한 법칙을 갖는다.
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선형조합의 여벡터 표현을 아인슈타인 표기법으로 기술하면 다음과 같다.
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차분형(differential form)을 여벡터장(covector field)이라고 한 이유를 배웠다.
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[이전] 6. 차분형은 여벡터(Differential Forms are Covectors)
[다음] 8. Covector Field Transformation Rules (Covariance)
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강의목차:
Tensor Calculus by eigenchris @ Youtube

0. 소개(Introduction)
1. 다변수 미적분 요약(Multi-variable Calculus Review)
2. 직각좌표계와 극좌표계 그리고 기저벡터(Cartesian & Polar Coordinates, and Basis Vectors)
3. 자코비언(The Jacobian)
4. 미분하면 벡터된다(Derivatives are Vectors)
5. Derivative Transformation Rules (Contravariance)
5.1 Derivative Operators are Vectors Discussion
6. Differential Forms are Covectors
7. Covector Field Components
8. Covector Field Transformation Rules (Covariance)
9. Integration with Differential Forms
10. Integration with Differential Forms Examples
11. The Metric Tensor and Arc Lengths (flat space)
12. The Metric Tensor in Curved Spaces for Measuring Arc Length
13. Gradient vs d operator (exterior derivative_differential)
14. Gradient explanation + examples
15. Geodesics and Christoffel Symbols (extrinsic geometry)
16. Geodesic Examples on Plane and Sphere
17. The Covariant Derivative (flat space)
17.5 Covariant Derivative (Component Definition) - Optional
18. Covariant Derivative (extrinsic) and Parallel Transport
19. Covariant Derivative (Intrinsic) and Geodesics
20. The Abstract Covariant Derivative (Levi-Civita Connection)
21. Lie Bracket, Flow, Torsion Tensor
22. Riemann Curvature Tensor Geometric Meaning (Holonomy + Geodesic Deviation)
23. Riemann Curvature Tensor Components and Symmetries
24. Ricci Tensor Geometric Meaning (Sectional Curvature)
25. Geometric Meaning Ricci Tensor_Scalar (Volume Form)
26. Ricci Tensor_Scalar Properties