5. 미분 변환 규칙(반변)(Derivative Transformation Rules (Contravariance))

5. 미분 변환 규칙(반변)(Derivative Transformation Rules (Contravariance))



'미분하면 벡터'가 되는 원리를 배웠다. 이번 편은 그 미분의 변환 법칙을 공부한다. '텐서의 기초' 강좌중 '3. 벡터변환 규칙(Vector Transformation Rules)'을 먼저 보면 좋다.
-

-

이전 강의를 복습 해보자.  ['미분하면 벡터'의 엄밀한 의미는 공간에서 움직이는 벡터의 궤적을 미분하여 얻은 접선벡터 다발의 분포/벡터장(vector fields)이다. 이 벡터의 다발을 미분 연산자로 표현 벡터로 취급한다.  따라서 이 벡터장 비분 연산자는 벡터의 변환법칙을 따른다.]

벡터를  확장하면 기저벡터와 성분 곱의 선형조합이다. 기저벡터의 선택에 따라 성분이 달라진다. 이와 동일하게  (공간상에 움직이는) 벡터를 미분하여 접선 벡터를 구하면 다변수 편미분 연쇄법칙에 따라 선형조합의 꼴이 된다. 이 경우에도 (공간의)좌표계  선택에 따라 성분도 달라 진다.  벡터에 대해  공간축 편미분이 기저벡터에 해당하며 공간축에 대한 변화율이 그 성분이 된다.

-

-

일반화 한 선형 합을 아인슈타인 표기법(Einstein Summation Notation)으로 간략화 하여 기술하면  다음과 같다.

-

-

벡터 미분으로 접선벡터 다발(벡터장)을 구성하는 예를 보자. 길이가 2면서 회전운동을 하는 벡터 R을 미분한다. 벡터 R의 운동인자를 λ라 하자(물리학 이라면 시간 t라 했을 것). 벡터 R(λ)의 궤적을 직교좌표로 나타내면 (x(λ), y(λ)), 극좌표라면 (r(λ), θ(λ)) 가 된다. 직교좌표와 극좌표에서 기술된 기저벡터와 성분의 선형합을 비교해 보자. 운동의 형태에 따라 적절한 좌표계를 선택하면 벡터의 기술이 매우 단순해 진다. [직교좌표에서 두 초월함수였던 성분이 극좌표에서는 상수다! 그나마 한축의 성분은 0]

-

-

이번 강의에서 보이려는 것은 벡터 미분 성분이 반변한다는 점이다. 기초강좌에서 벡터 성분은 반변한다는 것을 배웠다. 반변(contra-variant)이란 순방향 변환 행렬로 변환되는 기저벡터 변환에 반해 성분은 역방향 변환 행렬이 사용된다는 의미이며 이를 그림으로 표현하면 기저벡터 크기를 늘이면 성분값은 반비례하여 작아진다는 뜻이다.

벡터 v는 기저벡터가 e_j인 좌표계 혹은 e_j_tilde 좌표계에서 저마다의 성분 값을 곱한 선형조합으로 표현된다. 두 좌표계사이에 호환되는 성분 값을 구해보면 서로 반변한다는 사실을 알 수 있다. 

-

-

벡터장(vector fields)의 경우에도 동일한 반변 규칙이 적용된다. 변환행렬 대신 변미분 행렬(자코비언)이 곱해진다.

-

-

정리해보면 기저의 변환에 순방향, 성분의 변환에 역방향 변환행렬이 이용된다. 이를 서로 반대의 변환 도구(행렬 또는 자코비언)을 아용하므로 반변(contravariant) 한다고 한다.

-

-

지금배운 내용을 좀더 명확히 하기 위해 예제를 풀어보자.

기저벡터가 e_i인 좌표계에서 벡터 v는 e_i_tilde로 변형된 좌표계에서도 변함이 없다(vector invariance). 하지만 두 좌표계에서 측정한 성분 값은 달라진다(component variance). 벡터 v의 원좌표계 성분 (1, 1.5)에 역방향 변환행렬 B을 곱하면 변형된 좌표계의 성분 (1,2)을 구할 수 있다. 두 좌표계에서 벡터 v의 성분이 값으로 알려져 있으므로 쉽게 계산할 수 있다.

이번에는 벡터장(vector field)의 경우를 보자. 직교좌표(Cartesian Coordinate)를 원좌표계로 두고 극좌표계(Polar Coordinate)를 변형좌표계라 하자. 벡터장은 벡터 R을 움직임 인자 λ에 대한 미분 dR/dλ 이다.

원운동을 하는 벡터 R 의 직교좌표계에서 성분은 초월함수로 표현된다. 그런데 극좌표 성분으로 표현하면 (0, 1) 이다. 도데체 역변환(미분)행렬(자코비언)이 어떻기에 이리 단순하게 되는 것일까?

-

-
벡터장의 변환은 미분연산 행렬이다. 직교좌표계에서 극좌표계로의 변환을 순방향으로 잡았다. 따라서 성분의 변환은 역방향 변환을 적용해야 한다. [직교좌표계 기저축을 'c' 라 하고 극좌표계 기저축을 'p'로 명명하였다. 그리고 변환은 기저축의 편미분 연산을 행렬로 표현한다. 순방향은 ∂c/∂p로 역방향은 ∂p/∂c 다. 외우기 좋게 분자에서 분로로 변환한다고 기억해 두자.]
-


-
위에서 구한 역 자코비언을 직교좌표계에서 벡터장의 성분과 곱하여 얻은 극좌표계에서의 벡터장 성분은 다음과 같이 계산된다.
-

-
이번에는 순방향 변환인 자코비언을 구해보자.
-

-
위의 자코비언을 곱하여 극좌표에서 벡터장 성분을 직교좌표계의 성분으로 변환하면 다음과 같다.
-

-
기초강좌에서 배웠던 벡터의 변환과 벡터장의 변환 과정이 같다는 것을 알 수 있다. [기저의 변환에 순방향, 성분의 변환에 역방향 적용]
-

-
지금까지 배운 내용을 정리해보자.

벡터(vector) v는 성분(component) v^i 과 기저벡터(basis vector) e_i 의 곱의 선형합(linear summation)으로 표현된다.

벡터장(vector field) dR/dλ 역시 위치 벡터(position vector) R에 대한 기저축 성분의 변화율 d(c^i)/dλ [또는 d(p^i)/dλ]과 기저축에 대한  접선벡터 ∂R/∂(c^i) [또는 ∂R/∂(p^i)] 곱의 선형 합으로 표현된다. 이때, 위치벡터는 좌표계의 각축 c^i 의 함수이므로 편미분(partial derivatives) 한다. 이 선형합은 다변수 미분의 연쇄법칙(chain rule of multi-variable derivatives)과 같으므로 특별히 외울 필요는 없을 것이다.

변형된 두 좌표계 사이의 변환규칙(transformation rules)은 성분과 기저벡터가 서로 반변(contra-variant)의 관계에 있다. 기저벡터 변환에 순방향 변환이 적용된다면 성분은 역방향 변환을 적용한다.

벡터장의 기저 ∂R/∂(c^i) [또는 ∂R/∂(p^i)]는 위치벡터 R에 대하여 기저축으로 편미분에 해당하며 위치벡터 일반에 적용되므로 편미분 연산자 ∂/∂(c^i) [또는 ∂/∂(p^i)] 만으로 표기한다.
-



-
앞으로 편미분 연산자를 기저벡터로 취급할텐데 생소하긴 하다. 익숙해지자.
-

-
How can a derivative operator can be considered a vector ?
먼저 지금까지 기저벡터라고 했던 벡터에 상수를 곱하거나 덧셈을 하는 벡터 연산이 미분연산자에 적용해도 그 성질이 유지된다는 점을 알고 시작하자.
-

-
그리고 미분은 한 점에서 기울기다. 기울기의 의미는 각 기저축의 크기에 영향을 준다. x축 편미분은 x축 방향을 취하고 y편미분은 y축 방향을 취한다. λ로 미분하면 결국 λ 방향을 취한다는 의미다. 따라서 미분은 일반적으로 벡터로서 받아들여지는 특성인 방향과 크기를 의미 한다고 할 수 있다.
-

-
또한 서로다른 좌표계의 각 기저축 간의 편미분은 자코비언 혹은 역 자코비언이라고 하는 변환에 이용된다는 점도 기억해 두자.
-

-
굳이 벡터 R의 표기를 생략하고 편미분 연산자만을 벡터로 취급하려는 이유는 위치벡터(position vector)를 다룰 것이기 때문이다. 벡터 R를 표시하면 원점이 있다는 전제하에 벡터를 그린다. 하지만 향후 다루게될 공간의 굴곡을 벡터로 표현할 때 원점의 개념은 없이 해당 지점에서 기저를 다루게 될 것이다. 앞선 강의에서 몇차례 이에대한 개념을 다뤘었다. 앞으로 공간의 휨을 기저의 변형이라는 '기괴한' 방식으로 점근할 것이다. 벡터의 움직임을 다룰때 공간, 즉 좌표체계를 동적으로 적용한다.
-

----------------------------------------------------------------

[이전] 4. 미분하면 벡터된다(Derivatives are Vectors)
[다음] 5.1 Derivative Operators are Vectors Discussion
----------------------------------------------------------------
강의목차:
Tensor Calculus by eigenchris @ Youtube

0. 소개(Introduction)
1. 다변수 미적분 요약(Multi-variable Calculus Review)
2. 직각좌표계와 극좌표계 그리고 기저벡터(Cartesian & Polar Coordinates, and Basis Vectors)
3. 자코비언(The Jacobian)
4. 미분하면 벡터된다(Derivatives are Vectors)
5. Derivative Transformation Rules (Contravariance)
5.1 Derivative Operators are Vectors Discussion
6. Differential Forms are Covectors
7. Covector Field Components
8. Covector Field Transformation Rules (Covariance)
9. Integration with Differential Forms
10. Integration with Differential Forms Examples
11. The Metric Tensor and Arc Lengths (flat space)
12. The Metric Tensor in Curved Spaces for Measuring Arc Length
13. Gradient vs d operator (exterior derivative_differential)
14. Gradient explanation + examples
15. Geodesics and Christoffel Symbols (extrinsic geometry)
16. Geodesic Examples on Plane and Sphere
17. The Covariant Derivative (flat space)
17.5 Covariant Derivative (Component Definition) - Optional
18. Covariant Derivative (extrinsic) and Parallel Transport
19. Covariant Derivative (Intrinsic) and Geodesics
20. The Abstract Covariant Derivative (Levi-Civita Connection)
21. Lie Bracket, Flow, Torsion Tensor
22. Riemann Curvature Tensor Geometric Meaning (Holonomy + Geodesic Deviation)
23. Ricci Tensor Geometric Meaning (Sectional Curvature)

4. 미분하면 벡터 된다(Derivatives are Vector)

4. 미분하면 벡터 된다(Derivatives are Vector)



이번 강의는 '텐서의 기초' 강좌중 '2. 벡터의 정의(Vector Definition)'의 심화 편으로 미분이 벡터가 되는 이유를 설명한다.
-

-
벡터 v는 기저벡터(basis vector)와 성분값(components)의 선형 확장(linear expansion)으로 기술될 수 있다. 기저벡터 e_1과 e_2로 정의된 좌표계와 e_1_tilde와 e_2_tilde 로 정의된 좌표계에서 각각 기술할 수 있으며 서로 다른 성분 값을 갖는다[기저벡터의 선형합].
-

-
개별 벡터는 기저벡터의 선형합으로 수월하게 기술할 수 있다. 이번에는 공간에 무한개의 벡터가 존재하는 벡터장(vector field)을 다뤄 보자. 벡터장의 벡터를 개별적으로 기술하기는 불가하다. 개별 벡터를 다루는 대신 관점을 공간으로 돌려보자. [원래 한종류 벡터가 괴상하게 굴곡진 공간에 놓이게 되어 다양한 모습을 하게 되었다면 어떨까? 벡터가 놓인 위치의 기저벡터가 변화무쌍 하다는 관점을 취해보자.]
-

-
벡터가 2차원의 '괴상한' 곡선에 접선(tangential line)의 규칙에 따라 놓였다고 하자. 이를 접선 벡터(tangent vectors)라 한다. 위치에 따라 크기와 방향이 제각각인 벡터들이 놓일 것이다. 이 수많은(곡선은 연속이다) 접선벡터들이 곡선에 놓인 벡터장이 된다.
-

-
원점에서 곡선위의 한 점에 이르는 벡터 R을 정의해보자. 이 벡터 R은 입력인자 λ를 갖는데 이를테면 시간에 따라 벡터의 끝점이 곡선위를 움직인다고 하자. 평면에 놓인 벡터는 좌표축의 성분으로 기술된다 [ R = (x,y) ]. 따라서 벡터의 인수는 성분의 인수가 된다[ R(λ) = (x(λ), y(λ)) ].
-

-
곡선위를 움직이는 벡터 R은 λ의 함수 R(λ) 이다. 입력이 h 만큼 변한 후 움직인 벡터 R(λ+h)와 벡터 R(λ) 의 차 벡터는 R(λ+h)-R(λ)다. 입력 변화량 h의 미소극한을 취하면 벡터 R의 λ에 대한 미분이며 이는 접선벡터와 같다. 그리고 이 곡선을 따라 수많은 접선벡터들이 모여 벡터장을 이룬다.
-



-
이 벡터장의 벡터들은 직교좌표계 상에 표시되었다. 직교좌표계의 기저벡터는 어느 위치에서도 동일하게 고정되어 있다. 곡선위의 벡터장을 구성하는 무한개 벡터들을 일일이 기술하는 것은 불가능 하지만 미분이라는 수식을 동원하면 수월하게 표현할 수 있다. 벡터 R은 (x,y) 평면상의 곡선을 따라 움직이므로 미분 dR/dλ 은 다변수 미분(편미분)의 연쇄 법칙에 따라 아래와 같이 전개된다.
-

-
앞서 배운대로 벡터 R 을 좌표계 한축으로 편미분한 ∂R/dx, ∂R/dy는 각 좌표축의 기저벡터와 같다. 미분 dR/dλ을 정리하면 기저벡터의 계수가 되는 dx/dλ와 dy/dλ는 벡터장의 성분 값(components of vector field)이다. [λ을 시간으로 본다면, 시간상 공간 변화율이다. 운동의 관점을 벡터에서 공간으로 변경해 가고 있다. dR/dλ, ∂R/dx, ∂R/dy는 벡터, dx/dλ, dy/dλ는 스칼라.]

이어서 기저벡터와 벡터장 성분의 선형합 확장식을 아인슈타인 표기법으로 단순화 하였다.
-

-
이제 처음 이 강의를 시작할 때 한 벡터 v를 기저벡터 e_1, e_2와 그 성분v^1, v^2의 선형합으로 나타냈듯이 벡터장 역시 이와 동일하게 선형합 확장식으로 나타 낼 수 있다고 했었다. 그대신 다변수 미분인 편미분 x와 편미분 y를 벡터장의 기저벡터로 하고 공간의 미분을 벡터장의 성분으로 한다.

아래의 두 식은 서로 달라 보이지만 그 의미는 일치한다. 벡터를 기저벡터와 성분의 선형합으로 확장하여 표현한 것이다. 위의 식은 벡터 한개, 아래식은 무수히 많은 벡터로 구성된 벡터장이다.
-


-
위의 벡터 표현을 일반화 한 아인슈타인 표기법으로 간략하게 기술하면 다음과 같다.
-

-
실제적인 예를 들어보자. '기괴한' 공간으로 변환시키는 이유를 좀더 잘 이해할 수 있을 것이다.

[1] 먼저 직교좌표계에서 원 둘레를 따라 분포된 벡터장(vector field)을 기술해 보자. 벡터장을 형성하려면 위치가 계속 변화해야 하므로 새로운 인수 λ 를 도입한다.
[2] 아래 그림과 같이 원 둘레의 점들을 향한 수많은 벡터 R이 있다. 입력 인수가 λ인 벡터 R(λ)은 2차원 직교좌표에서 반지름이 2인 원둘레 위에 놓여있다. 벡터 R(λ)의 x성분과 y성분은 (2cos(λ), 2sin(λ)) 다. [λ를 시간이라고 놓고, 시간의 흐름에 따라 벡터 R이 원둘레를 회전한다. 즉, λ는 각도다.] 
[3] 벡터 R을 λ로 미분하여 접선벡터로 이뤄진 벡터장을 기술한다. 점들은 평면위 (x,y) 좌표체계에서 움직이므로 다변수 미분 연쇄법칙을 적용하였다.
[4] 편미분 ∂R/∂x 와 ∂R/∂y는 각각 x축과 y축의 기저벡터다. 두 기저벡터에 대한 성분 dx/dλ, dy/dλ를 구한다.
[5] 원둘레를 움직이는 벡터 R(λ)의 미분으로 표현된 벡터장이다.
[6] 미분식 대신 열행렬로 표시하기도 한다.
-

-
원둘레를 도는 벡터 R(λ)에 의해 생성된 벡터장 dR/dλ 을 구성하는 벡터 몇가지를 직교좌표계(∂R/∂c)에서 구해봤다.

λ=0: 벡터 R(0)의 접선벡터의 x축 성분은 0, y축 성분은 2 다.
λ=π/4:벡터 R(π/4)의 접선벡터의 x축 성분은 -√2, y축 성분은 √2 다.
λ=π/2:벡터 R(π/2)의 접선벡터의 x축 성분은 -2, y축 성분은 0 다.
-

--------------------------------------------------------
이번에는 조금은 '괴이한' 극좌표계로 관점을 옮겨보자. 벡터장을 구하기 위한 과정은 직교좌표계에서 수행했던 것과 동일하다. 좌표축을 극좌표계인 r과  θ로 바꿔 벡터 R이 그리는 궤적의 접선벡터를 모아 벡터장을 형성한다.
-

-
개별 벡터와 벡터장을 기저벡터와 성분의 선형조합으로 기술 한 것을 비교해보면 같은 의미를 갖는다는 것을 알 수 있다. 물론 아인슈타인 표기법을 사용하여 일반화된 선형조합의 벡터 표현을 간략하게 기술 할 수 있다.
-


-
직교좌표계에서 살펴봤던 원주의 접선 벡터장을 극좌표계로 바꿔보자. 직교좌표의 두축 x, y를 극좌표의 r 과 θ 로 변환시킨다.

[1] 원의 반지름은 직교좌표계의 두 축으로부터 정의된다. 아울러 x와 y를 2cos(λ)와 2sin(λ) 로 치환하여 정리하면 반지름은 λ 에 무관하게 항상 같다.
[2] x와 y를 치환 한후 간단한 삼각함수 등가 변환으로 θ 가 곧 λ가 됨을 알 수 있다.
[3] 결국 극좌표계로 표현한 벡터 R(λ)은 매우 단순하다. r축은 단순 상수이며 θ축은 λ의 1차함수다.
-

-
벡터 R(λ)에 의해 생성된 벡터장을 극좌표계에서 구해보자. 미분하면 된다. 극좌표계에서 벡터장의 모양은 매우 단순하다.
-

-
원둘레를 도는 벡터 R(λ)에 의해 생성된 벡터장 dR/dλ 을 구성하는 벡터를 극좌표계 ∂R/∂p 에서 구면, r축으로는 0, θ 축으로는 1이다.
-

-
원운동을 하는 벡터 R(λ)의 벡터장을 직교 좌표계와 극좌표계로 기술한 벡터장을 비교해보자. 극좌표계의 기술이 엄청나게 단순하다. 이로써 '기괴한' 좌표계를 만들어내야할 이유가 충분하다.
-

-
요약...
-

-


----------------------------------------------------------------
[이전] 3. 자코비언(The Jacobian)
[다음] 5. 미분 변환 규칙(반변)(Derivative Transformation Rules (Contravariance))
----------------------------------------------------------------
강의목차:
Tensor Calculus by eigenchris @ Youtube

0. 소개(Introduction)
1. 다변수 미적분 요약(Multi-variable Calculus Review)
2. 직각좌표계와 극좌표계 그리고 기저벡터(Cartesian & Polar Coordinates, and Basis Vectors)
3. 자코비언(The Jacobian)
4. 미분하면 벡터된다(Derivatives are Vectors)
5. Derivative Transformation Rules (Contravariance)
5.1_ Derivative Operators are Vectors Discussion
6. Differential Forms are Covectors
7. Covector Field Components
8. Covector Field Transformation Rules (Covariance)
9. Integration with Differential Forms
10. Integration with Differential Forms Examples
11. The Metric Tensor and Arc Lengths (flat space)
12. The Metric Tensor in Curved Spaces for Measuring Arc Length
13. Gradient vs d operator (exterior derivative_differential)
14. Gradient explanation + examples
15. Geodesics and Christoffel Symbols (extrinsic geometry)
16. Geodesic Examples on Plane and Sphere
17. The Covariant Derivative (flat space)
17.5 Covariant Derivative (Component Definition) - Optional
18. Covariant Derivative (extrinsic) and Parallel Transport
19. Covariant Derivative (Intrinsic) and Geodesics
20. The Abstract Covariant Derivative (Levi-Civita Connection)
21. Lie Bracket, Flow, Torsion Tensor
22. Riemann Curvature Tensor Geometric Meaning (Holonomy + Geodesic Deviation)
23. Ricci Tensor Geometric Meaning (Sectional Curvature)

3. 자코비언(The Jacobian)

3. 자코비언(The Jacobian)



자코비언(The Jacobian)은 좌표계 간 변환에 사용된다. 사실 자코비언은 '텐서의 기초' 강좌에서 순방향 변환과 역방향 변환을 심화한 내용이라 하겠다.
-

-
좌표계 변환에서 배운 내용을 기억해 보자. 벡터의 합 원리에 따라 원 기저벡터의 덧셈에 계수를 채워 넣는 것이었다. 그리고 변환 행렬을 세워 이를 순방향 변환 행렬이라고 불렀다. [참조: 1. 정역방향 변환(Forward and Backward Transformation)]
-

-
같은 방법으로 직각좌표계에서 극좌표계로 변환 하는 방법을 찾아보자. 직각 좌계의 점들을 극좌표계로 나타내면 방향이 변하고 거리에 따라 길이도 달라지는 이상한(?) 기저벡터 체계로 바뀐다. [굳이 극좌표계라는 이상한 좌표계를 도입하려는 이유를 생각해보자.] 벡터의 합 원리에 따라 직교좌표계의 기저벡터 합으로 극좌표계로 변환 법칙을 세운다. 다만 계수를 찾아 채워 넣을 일이 남았다.
-

-
이전 강의에서 벡터 R의 기저벡터는 편미분과 같다고 했으므로 이를 이용하면 쉽게 변환을 구할 수 있다.
-

 -
기저벡터를 편미분으로 대치하고 연쇄법칙을 적용하자.
-

-
직교좌표의 위치 (x,y)와 극좌표계의 위치(r,θ)의 등가 표기방법을 알고 있으므로 이를 적용하자.
-

-
그런데, 각도 축의 기저벡터 ∂R/∂θ는 거리 r에 따라 크기가 변한다는 점을 감안해 주어야 한다. 기저벡터는 측정도구의 눈금에 해당하므로 정규화 되어야 한다. 거리 r로 나워 줌으로서 쉽게 정규화 할 수 있다. [하지만 이번 강의에서는 정규화 하지 않은 표현을 쓰기로 한다]
-

-
따라서 직교좌표계에서 극좌표계로의 변환을 순방향 변환이라고 하고 이를 변환행렬로 나타낸 것을 자코비언 행렬(Jacobian Matrix)이라 하자.
-

-
자코비언 행렬은 순방향 변환으로 직교좌표계로부터 극좌표계로 기저벡터를 변환에 사용된다.
-

-
직교좌표에서 극좌표로의  기저벡터 변환의 예를 들어보자. 아래와 같이 한점의 좌표는 (1,1)이다. 원점에서 거리 r은 √2 다. 각도 θ는 arctan(1/1)=π/4 이므로, 이점의 극좌표 위치는 (√2,π/4). 이 점벡터(point vector)에 대한 순방향 변환 행렬 F 는 아래와 같다. 순방향 변환행렬로부터 극좌표계의 r 축 기저벡터와 θ축의 기저벡터를 구할 수 있다. 그림 해석으로도 이 변환을 명백하게 알 수 있다.
-

-
다른 예를 보자. 직교좌표계의 점 (-1,0)이다. 극좌표로 옮기면 이 점은 (1, π)다. 원점에서 거리 r=1이므로 순방향 변환 행렬 F 는 아래와 같다.
-

-
순방향 행렬로부터 얻은 기저벡터 변환식과 그림해석을 비교해보자.
-

-
이번에는 직교좌표계의 점 (1,-√3)에 대한 극좌표계로 변환의 예다.
-

--------------------------
[그러고 보니 이상하다! 원래 기저벡터란 것이 좌표계의 기준을 잡아주는 것 아니었나? 그런데 여기저기 위치를 옮겨가며 점마다 그 위치에서 기저벡터를 따로 잡고 있다. 단위(unit)벡터와 기저(basis)벡터를 구분하자.]
--------------------------
[4:48] Using this Jacobian matrix we can get different forward transform matrix for every single point in space, that takes the Cartesian basis vectors and gives us the Polar basis vectors. The Jacobian is a sort of like a master forward transform that works everywhere in the space. We just pick a point, substitute coordinates  of that point into Jacobian matrix and we have the forward transform matrix for that point.
-

-
[5:15] Now we can also go on the reverse direction and build up the Cartesian basis vector out of the Polar basis vector using the same reasoning. We just write the basis vector as partial derivatives and use the multi-variable chain rule to get the equation.
-

-
So, I'm not gonna go through the walk of calculating these derivatives, you can calculate the derivative of square root using chain rule and I actually had look up the derivative table on-line, because I didn't know of by heart. But the coefficients we get from partial derivatives are here.
-

--------------------------------
[모처럼 미분 연습]

-----------------------------------------------

-----------------------------------------------------------
And I'm going to simplify a bit and rewrite like this. So, this is the backward transform, B also known as the Inverse Jacobian Matrix which we denoted by J with little minus 1 exponent.
-


-
This matrix of partial derivative is the inverse Jacobian and gives us coefficients to build Cartesian basis vectors out of Polar basis vectors.
-

-
Just like before, we can serve coordinates into the inverse Jacobian at any points and get the backward transformation matrix for that points.
-

-
직교좌표계와 극좌표계간 기저벡터의 순방향 변환과 역방향 변환에 대해 알아봤다. 다변수 체계의 좌표계에서 편미분이 기저벡터가 되며 연쇄법칙으로 변환 규칙을 세울 수 있다는 것도 알았다. 연쇄법칙 덕분에 기저벡터를 정의하고 그 계수를 편미분을 취하여 구할 수 있다.

기저벡터의 합으로 표현된 변환식에서 계수를 뽑아 행렬로 표현한 것을 자코비언이라 한다. 순방향 변환행렬을 자코비언, 역방향 변환 행렬을 역 자코비언이다.
-

-
새삼스러울 것도 없이 자코비언과 역 자코비언의 곱은 단위 행렬(identity matrix)이 된다. 두 행렬의 곱을 풀어 쓰면 다음과 같다.
-

-
풀어쓴 행렬곱의 첫번째 원소를 따로 떼어 살펴보자. 마치 함수 f(r, θ)에 대한 전미분을 각 변수에 대한 편미분의 합으로 나타낸 표현한 공식과 같다. 함수 f 대신 x를 대입하면 그 값은 당연히 1이다. 이는 위의 자코비언과 역 자코비언 곱의 첫번째 원소와 일치한다.
-

-
같은 방법으로 다른 원소들을 간략화 시켜 놓으면 결국 단위 행렬이 됨을 알 수 있다. 따라서 자코비언과 역 자코비언은 서로 역관계에 있다는 것을 증명한 셈이다.
-

-
아인슈타인 표기법(Einstein Notation)을 사용하여 수월하게 자코비언을 기술해 보자. 먼저 좌표계의 축에 색인을 붙인다. 직교좌표계는 c 로 극좌표계는 p로 표기하기로 하자.
-

-
이에따라 자코비언 행렬 곱을 다시 쓰면 다음과 같다. 연쇄법칙을 적용하면 가코비언 행렬 곱의 각 원소들은 결국 크로네커 델타와 같게된다. 이로서 자코비언과 역 자코비언 행렬은 서로 역관계에 있다는 것을 증명한 셈이다.
 -

-
요약...

서로다른 좌표계 사이의 정역변환을 다변수 미분으로 기술 될 수 있음을 보였다.
-

-
편미분을 기저벡터로 나타내고 다변수 미분의 연쇄법칙에 따라 기저벡터의 성분인 계수도 편미분으로 구할 수 있다.
-

-
기저벡터 변환식의 성분은 변환 행렬에 담을 수 있다. 다변수 편미분으로 표현된 변환 행렬은 자코비언 또는 역 자코비언이라 한다.
-

-
다차원으로 일반화한 표현법은 다음과 같다. 아인슈타인 표기법이 활용된다.
-

-
물론 편미분 대신 기저벡터로 표현 할 수 있다.
-

-
----------------------------------------------------------------
[이전] 2. 직각좌표계와 극좌표계 그리고 기저벡터(Cartesian & Polar Coordinates, and Basis Vectors)
[다음] 4. 미분하면 벡터된다(Derivatives are Vectors)
----------------------------------------------------------------
강의목차:
Tensor Calculus by eigenchris @ Youtube

0. 소개(Introduction)
1. 다변수 미적분 요약(Multi-variable Calculus Review)
2. 직각좌표계와 극좌표계 그리고 기저벡터(Cartesian & Polar Coordinates, and Basis Vectors)
3. 자코비언(The Jacobian)
4. 미분하면 벡터된다(Derivatives are Vectors)
5. Derivative Transformation Rules (Contravariance)
5.1_ Derivative Operators are Vectors Discussion
6. Differential Forms are Covectors
7. Covector Field Components
8. Covector Field Transformation Rules (Covariance)
9. Integration with Differential Forms
10. Integration with Differential Forms Examples
11. The Metric Tensor and Arc Lengths (flat space)
12. The Metric Tensor in Curved Spaces for Measuring Arc Length
13. Gradient vs d operator (exterior derivative_differential)
14. Gradient explanation + examples
15. Geodesics and Christoffel Symbols (extrinsic geometry)
16. Geodesic Examples on Plane and Sphere
17. The Covariant Derivative (flat space)
17.5 Covariant Derivative (Component Definition) - Optional
18. Covariant Derivative (extrinsic) and Parallel Transport
19. Covariant Derivative (Intrinsic) and Geodesics
20. The Abstract Covariant Derivative (Levi-Civita Connection)
21. Lie Bracket, Flow, Torsion Tensor
22. Riemann Curvature Tensor Geometric Meaning (Holonomy + Geodesic Deviation)
23. Ricci Tensor Geometric Meaning (Sectional Curvature)