6. 차분형은 여벡터(Differential Forms are Covectors)

6. 차분형은 여벡터(Differential Forms are Covectors)



이번 강의는 미분이 여벡터 장(Covector fields)이 되는 이유를 설명한다. 앞선 텐서 기초 강의에서 여벡터(covector) 편을 먼저 공부하면 좋다.
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도함수와 미분을 구분없이 사용된다. 영어 derivatives를 도함수, differentials 을 미분이라고 하자. 어떤 함수를 미분 연산하여 얻은 함수가 도함수다. 미분은 극한값이다. 두 용어의 미묘한 차이를 직감적으로 이해 해보자.
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미분(differential) 은 적분의 대상이되는 변수의 미소극한을 의미한다. 텐서 기초 강좌에서 여벡터는 등위선 적층(stacks of line)이라고 했다.
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좀 어색해 보이는 이 둘이 서로 같은 개념이라고 엮어보는 것이 이 강의의 목적이다. 먼저 미분의 의미를 가지고 있는 dx 를 다른 시각에서 재해석(re-interpret dx) 해보자.

적분에서 함수의 구간영역의 면적을 구할 때 dx는 적분 구간을 무수히 나눠 미소극한으로 몰고간 간격이다.
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삼각함수의 적분에서 흔히 사용하는 기법으로 '치환적분'의 경우를 보자. 적분하기 어려운 초월함수(삼각함수 포함)은 고차다항식으로 치환(change of variable)하여 푸는 것이 일반적이다. 예를 들어 sin(x)를 u라는 변수(함수 아니고 변수다!)로 치환 해놓았다 하자. 그리고 u는 넓은 x의 영역에서 곡선을 그리지만 미소극한 dx 로 좁히면 미소 변화량 du는 직선으로 간주된다. 이때 기울기는 du/dx 다. 변수가 치환된 만큼 적분 구간도 변경 되어야 함은 물론이다.
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이번에는 다변수 미적분의 경우를 보자. 두개의 변수를 갖는 함수 f(x,y)가 있다. 편미분의 연쇄법칙이 적용된다. 함수 f의 극소변화량 df 는 두축에서 각각 극소기울기  ∂f/∂x 와 ∂f/∂y를 구하고(편미분) 이를 극소 변화량 dx와 dy를 각각 곱한 후 더한다.
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여벡터(covector)를 상기해보자. 적층선을 마련해 놓고 그위에서 벡터를 얹어 뚫고 지나간 선의 갯수를 여벡터라 한다. 사실 여벡터는 벡터가 아니라 벡터를 입력 받아 값을 출력하는 함수다. 적층선(여러개의 선이 있어야 하므로)을 마련하기 위해 행 벡터 형식을 취하고 있을 뿐이었다. 몇개의 여벡터를 구하는 예는 아래와 같다.
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여벡터가 성형성(linearity)을 갖는다는 점은 중요한 성질이다.
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2차원 여벡터가 적층선(stack of lines)이었다면 3차원 여벡터는 적층면(stack of planes)이라고 이해하자.
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여벡터와 미분은 이렇게 전혀 달라 보이는데, 미분이 여벡터라니 어떤 연유일까?
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요점은 미분을 의미하는 d 기호에 있다. 이제까지 기호 d에 변수를 붙이면 '극소변화량'으로 받아 들였었다.  이제부터는 스칼라장(scalar field=함수)에 d 기호를 붙이면(극소미분을 적용하면) 여벡터장(covector field)라고 해석하자.
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스칼라장(scalar field)이란 공간의 한지점을 입력으로 넣으면 해당위치의 값(스칼라)를 출력하는 함수다. 이 함수의 변화량을 마치 등위면 간의 차이로 보고 이를 여벡터장 이라고 하자는 것이다[벡터의 변화 분포를 벡터장이라고 했듯이 등위면 간의 차이분포를 여벡터장이라고 하자.].

공간에 스칼라 값이 분포하게 되는데 높낮이에 따라 방향을 정한다. 높이가 증가하는 방향을 양으로 감소하는 방향을 음이라 하자. 스칼라장에는 방향이 없지만 미분하면 분포한 값의 증가와 감소에 따라 방향을 갖게된다. 여벡터도 벡터취급해야 하므로 방향을 정의해 두어야 한다. 등위선의 각 지점에서 저마다 증가하는 방향이 생겼다.
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스칼라장의 예를 하나더 보자. 2차원의 위치마다 다른 값을 갖는 스칼라 장이다. 그저 값의 분포다.
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같은 차분을 갖는 선끼리 연결해 놓음으로써 등위선(trace out the level set)을 그릴 수 있다. 좌측 값의 분포도에서 빨간 부분이 양의 영역으로 차분 방향이 중심으로(높이로 보면 고지 방향) 향하고 있고 청색은 밖을 향하고(높이로 보면 저지 방향) 있다.
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기호(혹은 연산자) d 의 역활이 이제 분명해 졌다. 스칼라 장에서 방향성을 갖는 여벡터 장으로 변화시킨다. 함수(분포)에서 동위층 세트(눈금)로 변화시킨다. 아무 방향성이 없는 0-형식에서 방향을 갖는 1-형식으로 변화 시킨다. 대수적으로 말하자면 스칼라장(scalar field) f에서 여벡터장(covector field)으로 바꿔준다.
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이번에는 d 연산자의 역활을 보여주는 예를 보자. 먼저 직교 좌표계에서 dx와 dy는 어떤 의미인지 살펴보자. 직교좌표계의 x 축 스칼라장은 x 축 한 지점에서 주어지는 값의 분포다. 오른편으로 양의 값, 외편으로 음의 값이 분포한다. 여벡터장 dx 은 양의 방향으로 증가하는 수직의 등위선을 배치한다. y축 역시 분포를 가지며 증가하는 방향으로 수평 등위선을 배치한다. [차분을 취함으로써 '방향성'을 가진다.]
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극좌표계의 경우를 보자. 원점에서 반지름 r에 d 연산을 취하면 원형의 등위선을 그을 수 있고 반지름이 증가하는 방향을 잡을 수 있다. 하지만 반시계방향으로 증가하는 각도 축으로는 약간의 문제가 있다.
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회전각 방향으로는 영원히 증가하지 않고 2π 마다 반복된다는 점과 반지름 원점에서는 회전각을 정의할 수 없다.
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이를 해결하기 위해 각도축 θ는 r≠0 의 조건을 달고 방향은 이웃하는 변위 만을 고려해 시계방향으로 증가방향을 정한다.
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[9:17] 이제 df 가 여벡터 장이라고 받아들일 수 있다면 벡터에 작용하여 스칼라 값을 출력할 것이다. 여벡터장 df가 다음과 같을 때 벡터 v가 그림처럼 한 위치 p에 놓였다고 하자. 그렇다면 벡터 v에 대한 여벡터의 결과 값은 어떻게 구할수 있을까. 이 여벡터장 그림에서 벡터 v가 지나간 등위선의 갯수를 구하면 될 듯하지만 옳지 않다. [방향이 서로 다를뿐만 아니라 기준도 다른 여러 여벡터 장에 걸쳐 있는 벡터의 여벡터 값으로 등위선의 갯수를 합한 결과로 잡으면 논리적이지 않다.]
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벡터가 시작된 위치 p의 df에서 접선에 평행하고 동일 간격으로 확장한 등위선의 갯수로 계산되어야 한다.
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만일 다른 벡터 u가 위치 q 인 경우 역시 놓인 위치에서 접선이면서 등간격인 등위선의 갯수로 여벡터 장 값이 구해져야 한다. 방향과 간격의 기준이 어떻게 정의되어 있는지 분명히 해두자[여벡터도 벡터이므로!].
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아울러 여벡터 장 df가 선형성을 갖는다는 점도 기억해 두자.
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[11:24] 이번강의 마무리...
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지도의 등고선, 즉 등위선들의 모음 같은 것이다. 함수의 출력값이 동일한 지점들을 모아 놓은 것이다(the level sets of function).
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지도위에 등정 방향을 잡음에 따라 같은 시간내에 다다를 고지의 위치가 다르듯이 df(v)가 출력하는 값은 벡터 v가 향하는 f의 기울기에 따라 달라진다.
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동일 방향이라도 길이가 짧은 벡터가 도달할 고지 또한 낮다. 당연한 이야기를 하는 이유는 여벡터장도 여벡터의 공변하는 성질이 있다는 것을 보여주고자 한다]
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결국 df(v)는 방향을 알려준다. 스칼라장을 미분하여 여벡터장을 얻는다. 스칼라장에는 값만 있는데 여기에 방향성을 보태줌으로써 벡터처럼 취급할 수 있다. 그래서 델(∇)연산자를 벡터화 시켜주는 연산자라고 한다.
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스칼라장 f 에 벡터 v를 얹어 놓고 기울기를 측정 df(v) 하므로써 그 방향의 기울기로 방향을 알아낸다는 의미다.
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요약...
d 연산자의 역활을 새롭게 살펴봤다. '차분'을 취하여 방향성을 부여해준다. 차분 연산자는 선형성이 있다. 여벡터 장의 계산은 여벡터계산과 동일하다. 스칼라장에 차분을 취하여 방향을 알아낸다. 이를 방향성 미분이라 한다.
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이번 강의로 d 연산자에 대한 새로운 시각을 가지게 되었으리라 믿는다. 하지만 아직 적분이 여벡터와 어떤 관계에 있는지 이해되진 않을 것이다. 다음 강의에서 설명 하겠다.
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[이전] 5.1 미분연산자가 벡터인 이유(Derivative Operators are Vectors Discussion)
[다음] 7. Covector Field Components
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강의목차:
Tensor Calculus by eigenchris @ Youtube

0. 소개(Introduction)
1. 다변수 미적분 요약(Multi-variable Calculus Review)
2. 직각좌표계와 극좌표계 그리고 기저벡터(Cartesian & Polar Coordinates, and Basis Vectors)
3. 자코비언(The Jacobian)
4. 미분하면 벡터된다(Derivatives are Vectors)
5. Derivative Transformation Rules (Contravariance)
5.1 Derivative Operators are Vectors Discussion
6. Differential Forms are Covectors
7. Covector Field Components
8. Covector Field Transformation Rules (Covariance)
9. Integration with Differential Forms
10. Integration with Differential Forms Examples
11. The Metric Tensor and Arc Lengths (flat space)
12. The Metric Tensor in Curved Spaces for Measuring Arc Length
13. Gradient vs d operator (exterior derivative_differential)
14. Gradient explanation + examples
15. Geodesics and Christoffel Symbols (extrinsic geometry)
16. Geodesic Examples on Plane and Sphere
17. The Covariant Derivative (flat space)
17.5 Covariant Derivative (Component Definition) - Optional
18. Covariant Derivative (extrinsic) and Parallel Transport
19. Covariant Derivative (Intrinsic) and Geodesics
20. The Abstract Covariant Derivative (Levi-Civita Connection)
21. Lie Bracket, Flow, Torsion Tensor
22. Riemann Curvature Tensor Geometric Meaning (Holonomy + Geodesic Deviation)
23. Ricci Tensor Geometric Meaning (Sectional Curvature)

5.1 미분연산자가 벡터인 이유(Derivative Operators are Vectors Discussion)

5.1 미분연산자가 벡터인 이유(Derivative Operators are Vectors Discussion)



이번 강의는 이전 편에서 미분 연산자가 벡터가 되는 이유에 대해 부연 설명을 한다. 만일 미분 연산자가 벡터인 이유를 이해 했다면 다음 강의편으로 넘겨도 좋다. [다음]
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지난 강의에서 위치벡터 R을 기저축으로 편미분 하면 기저벡터가 된다는 것과 위치벡터가 없는 편미분 연산자 만으로도 기저벡터라고 표현하기로 하자고 배웠다.

{이번 강의는 원저자 eigenchris가 일반 상대론을 독학 하면서 격은 학습경험을 이야기 하고 있음.}

처음에 왜 이렇게 해야하는지 의문이 들었지만 그 답을 아무데서도 찾지 못했다. 이번 강의는 왜 이런 표기가 필요 했는지 자세히 살펴보기로 한다.
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텐서 미적분을 배워야 겠다고 마음먹은 것은 일반 상대론(GR)을 공부하고자 했을 때였다. 여러 교과서와 온-라인 자료들을 보면서 텐서 미적분안에 휜 공간(curved space), 시공간의 4-차원(4-dimensional time-space), 미분(differentials)에 대한 새로운 관점, 공변미분(covariant derivative) 따위가 나왔지만 처음부터 이해하기란 아주 어려워 더이상 진전할 수 없었다.
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그래서 이 텐서 미적분 강좌를 마련하였다. 턴서 대수(Tensor Algebra), 평면 텐서 미적분(Flat Tensor Calculus) 그리고 곡면 미분 기하학(Curved Differential Geometry)을 배운 후 마침내 일반 상대론(General Relativity)으로 들어갈 수 있으리라 생각했다. 그런데 곡면 미분 기하학을 배우기전에 텐서 미적분에서 편미분이 기저벡터가 되는 생소한 개념을 알고 넘어가야 한다는 사실을 알게되었다. 어느정도 개념을 익힌 후 미분 기하학을 배우고 다시 텐서 미적분으로 번갈아 공부하는 것이 효과적이다. 그래서 이 강좌는 평면에서 텐서 미적분을 다룬 후 향후 곡면 기하학으로 넘어갈 것이다.
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지난 강의에서 '2차원 평면(flat surface)' 위에서 움직이는 벡터 R를 x축으로 미소극한을 취하면 기저축과 같은 방향이되므로, 이 x축에 대한 편미분(partial derivative)을 기저벡터로 정의했다. [y축도 마찬가지임]
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그리고 평면위에서 곡선을 따라 움직이는 벡터 R을 이동인자 λ로 미분하면 곡선위 임의 위치의 접선벡터(tangent vector=벡터장 vector field)라 하였다.
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접선벡터를 다변수 미분 연쇄법칙(multi-variable chain rule)에 따라 확장하면 기저벡터와 기저축 성분 조합의 선형 합의 꼴이된다. 이 계산은 모두 2차원 평면에서 이뤄진다. [벡터 R과 그 원점(origin) 그리고 접선 벡터 모두 2차원 평면위에 놓여있다.]
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이번에는 '평면'이 아닌 '곡면'의 2차원을 생각해보자. [평평하든 굽었든 '면(surface)'은 2차원(2-dimension)이다. 면 위의 한지점은 기저축의 성분 값으로 표현된다. '평면(Flat surface)'과 '곡면(Curved Surface)'의 차이를 인식해보자.] 곡면의 쉬운 예로 지구 표면을 달리는 자동차를 생각해보자. 지표면을 달리는 자동차의 속도를 구하려면 구면을 따라 움직이는 위치벡터(position)의 원점을 잡아야 한다.
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움직임 벡터의 원점은 지구의 중심이 되고 위치 벡터를 움직인 인자(물리학에서 대개 시간)으로 미분한 속도 벡터는 구면의 접선 방향이 된다. 이때 곡면과 평면의 차이가 발생한다. 곡면의 경우 원점과 접선 벡터가 모두 '면' 위에 놓이지 않게된다. 이를 'Extrinsic' 기하학 이라 한다. 말그대로 원점과 속도벡터가 면 외부에 놓이는 것을 허용한다는 뜻으로, 2차원 구면위의 현상을 기술 하려면 3차원이 동원 되어야 한다.
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지구 구면을 평면에 옮겨놓은 지도상에서 위치벡터를 어떻게 정의할지 생각해보자. 2차원 평면에 옮겨놓은 지도상에는 (구의 중심인) 원점을 표기하기는 불가능하다. 지도상 한점에서 위치 벡터를 잡아보자. 벡터는 직선이다. 하지만 구면의 지구 표면에서 실제로는 곡선이다. 직선이어야 하는 벡터를 그리는 것은 불가하다.
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직선인 벡터를 그리기 위해 표면의 시점에서 구를 가로질러 종점이 닫는 표면까지 직선을 그을 수 있다. 이렇게 표면을 벗어나 (실제로는 허용되지 않지만) 벡터를 그려 해석하는 방법을 'intrinsic' 기하학이라 한다. 면의 내부로 들어갔다는 의미다.
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In General Relativity, when we are studying 4-dimensional space-time geometry, we run into this exact situation[INTRINSIC Geometry로 풀어야 하는 상황]. Space-time in GR is curved. So we can draw straight lines in the curved surface. So, that means we can draw position vectors. And we can pick an origin point outside 4-dimensional space-time, because that would mean we'd be picking a point outside of universe. And I don't really even know what that would mean.

So, we have problem here in GR. We will force to use intrinsic geometry to study space-time. But how can we study things like velocity, if we are not allowed to use position vectors?

시공간을 다루는 일반 상대론의 기하학에서도 굽은 면에 직선을 그으려 할 때 이와 동일한 경우를 접하게 된다. 일반상대론의 시공간은 굽어있다. 물론 이 굽은 면 위에 직선을 그을 수도 있다. 이 말은 위치벡터를 그릴 수 있다는 뜻이된다. 그리고 4차원 시공간 밖에 원접을 잡을 수 있다는 뜻이된다. 그렇다면 우주의 중심을 어디로 잡을수 있단 말인가.

일반상대론의 문제가 바로 여기에 있다. 할 수 없이 'intrinsic' 기하학을 채택할 수 밖에 없다. 하지만 (우주의 원점을 잡을 수 없으므로) 위치 벡터를 잡을 수 없는 상황에서 속도 같은 문제를 어떻게 묘사할 수 있을까. [속도는 dR/dλ 다. 그런데 위치 벡터 R를 표현할 원점을 모른다]
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The solution is realized that while we can draw straight line on the surface we can still draw curved path.

You notice that on this surface of the Earth, here, we're already have some grid lines defined on the map already. And if we have curves that means that we can still define derivatives with respect to those curves. right?

If this is the curve of increasing x, then we can still define derivatives with respect to the x. And if this is a curve of any increasing y, then we can still define derivatives with respect to y. So we can use normal position vectors to talk about direction on that surface. But we can't use this derivative operator when we talk about different directions.
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The partial derivative with respect to x points in the x direction. And the partial derivative with respect to y points in the y direction.
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And if we have some path that travel around on Earth's curved surface, we can still consider the direction at the path that is pointing in using the derivative with respect to the curve parameter, λ.

And we can break this direction out into x and y components using the multi-variable chain rule that we have for derivative operators.

So, you shouldn't think of this direction vector as actually connecting these two point on the Earth. This derivative just gives the general direction that the curve is traveling in at any given point.

So, derivatives give us a way talk about directions on a curved surface in a ways that is completely intrinsic to the surface, and doesn't require an outside space in any way.
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And we can use same approach in 4-dimensional space-time. While we can't draw straight line we can still draw a curved path. And that means we can take derivatives with respect to path parameter to get a sense of different directions.
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So the old notation uses the actual vectors from the vector spaces, R2, R3 to define the directions. But the new notation uses the vector space of derivative operators which is formally call the tangent vector space as denoted TpM, which is the vector space of derivatives at some point p on a surface M. So keep in mind that these vectors and these vectors are in fact different vectors from different vector spaces.
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[이전] 5. 미분 변환 규칙(반변)(Derivative Transformation Rules (Contravariance))
[다음] 6. 차분형은 여벡터(Differential Forms are Covectors)
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강의목차:
Tensor Calculus by eigenchris @ Youtube

0. 소개(Introduction)
1. 다변수 미적분 요약(Multi-variable Calculus Review)
2. 직각좌표계와 극좌표계 그리고 기저벡터(Cartesian & Polar Coordinates, and Basis Vectors)
3. 자코비언(The Jacobian)
4. 미분하면 벡터된다(Derivatives are Vectors)
5. Derivative Transformation Rules (Contravariance)
5.1 Derivative Operators are Vectors Discussion
6. Differential Forms are Covectors
7. Covector Field Components
8. Covector Field Transformation Rules (Covariance)
9. Integration with Differential Forms
10. Integration with Differential Forms Examples
11. The Metric Tensor and Arc Lengths (flat space)
12. The Metric Tensor in Curved Spaces for Measuring Arc Length
13. Gradient vs d operator (exterior derivative_differential)
14. Gradient explanation + examples
15. Geodesics and Christoffel Symbols (extrinsic geometry)
16. Geodesic Examples on Plane and Sphere
17. The Covariant Derivative (flat space)
17.5 Covariant Derivative (Component Definition) - Optional
18. Covariant Derivative (extrinsic) and Parallel Transport
19. Covariant Derivative (Intrinsic) and Geodesics
20. The Abstract Covariant Derivative (Levi-Civita Connection)
21. Lie Bracket, Flow, Torsion Tensor
22. Riemann Curvature Tensor Geometric Meaning (Holonomy + Geodesic Deviation)
23. Ricci Tensor Geometric Meaning (Sectional Curvature)