[무선통신 시스템 설계] 9강. 비선형성 기초 (Non-Linearity Basics)
-------------------------------------------------------------------
[일러두기] 이 글은 아래 강좌를 토대로 작성되었습니다. 일부 내용은 저의 생각 담아 첨삭하였습니다. 오류가 있을 수 있으니 강좌 원본을 꼭 함께 봐주시기 바랍니다.
[Radio System Design] Module 9. Non-Linearity Basics / David S. Ricketts
함께 공부한다고 여기시고 아래 글에 오류가 있다면 가차없는 지적 바랍니다.
-------------------------------------------------------------------
개요
- 비선형성의 정의(Definition of Non-Linearity)
- 비선형성 모형화(Modeling of Non-Linearity)
실제 우리가 접하는 모든 현상(자연적으로나 사회적으로나)은 비 선형적이다. 과거의 경험을 바탕으로 쉽게(!) 예측하고 싶어 선형적으로 근사화 하려는 노력이다.
[무전기 얘기 하다가 웬 수학 타령이람!]
----------------------------------------------------------------------------
선형성과 비선형성의 비교(Linearity vs Non-Linearity)
- 어떤 시스템이 중첩의 원리(superposition rule)를 따를 때 선형적이라고 한다.
- 시스템 = 입력+출력+함수
- '중첩의 원리' [링크]: 입력의 중첩과 출력의 중첩은 동일해야 한다.
- 선형 방정식(편이가 있는 1차 함수)을 함수로 가진 시스템이라고 해서 선형성을 가지는 것은 아니다.
직관적으로 보자. 입력에 x 의해 반응 하는 증폭 m외에 별도의 c 가 생겨난 것과 같은 의미가 된다. 마치 없던 것이 생겨났다. 선형 시스템이 아니다.
- 사인파 증폭 회로의 예
- 입력전압 V 에 대해 이득이 G인 시스템이다.
- 증폭에는 전압증폭(voltage gain)과 전력증폭(power gain)이 있다. 여기서는 전압 증폭 시스템이라 하자.
----------------------------------------------------------------------------
비선형성의 모형화 (Why & How Model)
- 현실 세계는 비선형 시스템
- 모의실행으로 예측과 분석을 위해서
- 수학을 통한 모형: 물리현상의 이해 (제멋대로 인것처럼 보이지만 규칙이...)
모형을 세우는 수학적 접근법은 여럿 있겠으나 테일러 급수(Taylor Seriese) 기법위주로 다루겠다. 접선을 계수로 하는 고차항 들의 합.
테일러 급수로 모형화 한 예: 다음과 같은 모습의 RF 증폭기가 있다고 하자.
- 이 증폭기는 포화 영역이 있다.
- 입력이 작은 구간에서 선형적으로 근사할 수 있다.
- 더 정확한, 입력 범위를 넓게 확장하려면 고차 미분항이 필요하다.
- 출력 Vout(t)는 입력 Vin(t) 에 대한 기울기(미분항)를 곱으로 하는 다항식(=급수의 합)으로 근사된다.
- 입력 Vin에 대한 각항의 기울기 α는 초기조건 Vin=0 (동작점)으로 하는 미분값.
- 이 근사 모형의 정확도는 입력의 범위에 달렸다.
* 근사식에 홀수차 제곱항 사용에 유의
------------------------------------------------------------------------------------
비선형적 모형화로 인해 생기는 일:
단일 주파수를 갖는 주기신호(=싱글톤, single-tone)가 비선형 시스템에 적용되면 어떤 일이 벌어지는지 보자.
- 입력에 대해 테일러 확장식으로 표현되는 시스템이라고 하자.
- 이 시스템의 입력에 싱글톤 신호를 입력하자.
- 이 시스템의 비선형성을 테일러 급수로 근사시켜 놓으면(비선형 근사 모형),
코사인 제곱을 확장하는 법칙을 울프람에게 물어보자. 인터넷은 이럴때 쓰는 것.
- 근데, 왜 확장했다고?
----------------------------------------------------------------------------------------
테일러 확장식으로 비선형 시스템을 모형화 하는 방법은 타당하다.
----------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------
[참고] https://mathworld.wolfram.com/TaylorSeries.html
Taylor Series
A Taylor series is a series expansion of a function about a point. A one-dimensional Taylor series is an expansion of a real function about a point
is given by
Taylor's theorem (actually discovered first by Gregory) states that any function satisfying certain conditions can be expressed as a Taylor series.
......
댓글 없음:
댓글 쓰기