2023년 6월 26일 월요일

[무선통신 시스템 설계] 9강. 비선형성 기초 (Non-Linearity Basics)

[무선통신 시스템 설계] 9강. 비선형성 기초 (Non-Linearity Basics)

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[일러두기] 이 글은 아래 강좌를 토대로 작성되었습니다. 일부 내용은 저의 생각 담아 첨삭하였습니다. 오류가 있을 수 있으니 강좌 원본을 꼭 함께 봐주시기 바랍니다.

[Radio System Design] Module 9. Non-Linearity Basics / David S. Ricketts

함께 공부한다고 여기시고 아래 글에 오류가 있다면 가차없는 지적 바랍니다.
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개요

  • 비선형성의 정의(Definition of Non-Linearity)
  • 비선형성 모형화(Modeling of Non-Linearity)

실제 우리가 접하는 모든 현상(자연적으로나 사회적으로나)은 비 선형적이다. 과거의 경험을 바탕으로 쉽게(!) 예측하고 싶어 선형적으로 근사화 하려는 노력이다.

[무전기 얘기 하다가 웬 수학 타령이람!]

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선형성과 비선형성의 비교(Linearity vs Non-Linearity)

  • 어떤 시스템이 중첩의 원리(superposition rule)를 따를 때 선형적이라고 한다.
    - 시스템 = 입력+출력+함수
    - '중첩의 원리' [링크]: 입력의 중첩과 출력의 중첩은 동일해야 한다.

비선형 시스템의 간단한 예:
  • 선형 방정식(편이가 있는 1차 함수)을 함수로 가진 시스템이라고 해서 선형성을 가지는 것은 아니다.

직관적으로 보자. 입력에 x 의해 반응 하는 증폭 m외에 별도의 c 가 생겨난 것과 같은 의미가 된다. 마치 없던 것이 생겨났다. 선형 시스템이 아니다.

  • 사인파 증폭 회로의 예
    - 입력전압 V 에 대해 이득이 G인 시스템이다.
    - 증폭에는 전압증폭(voltage gain)과 전력증폭(power gain)이 있다. 여기서는 전압 증폭 시스템이라 하자.
입력으로 사인파가 주어지고 출력은 증폭률 G 에 의하여 결정된다. 입력의 모습이 선형이든 비선형이든 상관 없이 이 시스템은 선형성을 갖는다. (출력의 전압이 입력의 전압에 G 만큼 커졌다.)
주파수와 진폭이 다른 두 사인파가 입력으로 주어졌다. 출력은 두 사인파에 대해 각각 증폭도 G 를 곱한 반응이다. 이 시스템은 선형성을 갖는다. (두 사인파 사이의 영향 없음)
증폭률 G가 입력 신호의 전압변동에 의해 반응 하는 함수, G(Vin)인 경우 출력은 입력마다 다르게 증폭 될 뿐만 아니라 입력에 없던 새로운 신호를 생성하기도 한다. 과도증폭으로 인한 포화(saturation), 두 신호가 상호영향을 주는 변조(modulation), 특정 주파수를 억압하는 필터(filter) 등의 예에서 많이 보던 시스템이다. 이런 시스템은 비선형 이다. 증폭 함수 G(Vin)이 입력 전압 Vin과 입력전압의 주파수 ω에도 반응 한다.

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비선형성의 모형화 (Why & How Model)

  • 현실 세계는 비선형 시스템
  • 모의실행으로 예측과 분석을 위해서
  • 수학을 통한 모형: 물리현상의 이해 (제멋대로 인것처럼 보이지만 규칙이...)

모형을 세우는 수학적 접근법은 여럿 있겠으나 테일러 급수(Taylor Seriese) 기법위주로 다루겠다. 접선을 계수로 하는 고차항 들의 합.

테일러 급수로 모형화 한 예: 다음과 같은 모습의 RF 증폭기가 있다고 하자.

  • 이 증폭기는 포화 영역이 있다.
  • 입력이 작은 구간에서 선형적으로 근사할 수 있다.
  • 더 정확한, 입력 범위를 넓게 확장하려면 고차 미분항이 필요하다.

시스템의 비선형 행태를 테일러 급수를 써서 근사:
  • 출력 Vout(t)는 입력 Vin(t) 에 대한 기울기(미분항)를 곱으로 하는 다항식(=급수의 합)으로 근사된다.
  • 입력 Vin에 대한 각항의 기울기 α는 초기조건 Vin=0 (동작점)으로 하는 미분값.
  • 이 근사 모형의 정확도는 입력의 범위에 달렸다.

* 근사식에 홀수차 제곱항 사용에 유의

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비선형적 모형화로 인해 생기는 일:

단일 주파수를 갖는 주기신호(=싱글톤, single-tone)가 비선형 시스템에 적용되면 어떤 일이 벌어지는지 보자.

  • 입력에 대해 테일러 확장식으로 표현되는 시스템이라고 하자.

  • 이 시스템의 입력에 싱글톤 신호를 입력하자.
  • 이 시스템의 비선형성을 테일러 급수로 근사시켜 놓으면(비선형 근사 모형),
이 시스템의 행동(behavior)에 대해 입력(일차식 이었다!)과의 관계를 알고자 하는데 다행히 사인파처럼 주기함수들의 고차제곱은 일차항으로 확장 가능하다.

코사인 제곱을 확장하는 법칙을 울프람에게 물어보자. 인터넷은 이럴때 쓰는 것.

  • 근데, 왜 확장했다고?
스펙트럼 아날라이져에서 많이 보던 모습이다. 증폭기, 변조기 등등 대부분 비선형 시스템에서 보던 고조파를 동반한 모습이다. 

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결론

테일러 확장식으로 비선형 시스템을 모형화 하는 방법은 타당하다.

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[참고] https://mathworld.wolfram.com/TaylorSeries.html

Taylor Series


A Taylor series is a series expansion of a function about a point. A one-dimensional Taylor series is an expansion of a real function f(x) about a point x=a is given by

f(x)=f(a)+f^'(a)(x-a)+(f^('')(a))/(2!)(x-a)^2+(f^((3))(a))/(3!)(x-a)^3+...+(f^((n))(a))/(n!)(x-a)^n+....

If a=0, the expansion is known as a Maclaurin series.

Taylor's theorem (actually discovered first by Gregory) states that any function satisfying certain conditions can be expressed as a Taylor series.

......





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