아무나 하는 수학, 과학 & 라디오: [무선통신 시스템 설계] 1강. 기본 정의(Basic Definitions)

[무선통신 시스템 설계] 1강. 기본 정의(Basic Definitions)

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[일러두기] 이 글은 아래 강좌를 토대로 작성되었습니다. 일부 내용은 저의 생각 담아 첨삭하였습니다. 오류가 있을 수 있으니 강좌 원본을 꼭 함께 보아 주시기 바랍니다.

[Radio System Design] Module 1. Basic Definition / David S. Ricketts

배우는 중이니 아래 글에 오류가 있다면 가차없는 지적 바랍니다.
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내용

이 앞으로 무선통신을 다루면서 자주 등장할 몇가지 기본개념들을 간단하게 짚어보기로 한다.

신호를 다루는 두가지 관점
- 시간 영역 (Time Domain)
- 주파수 영역 (Frequency Domain)
전파 신호를 다룰때 사용하는 단위, '데시벨'
- dB
- dBm
- dBc
필터 특성의 규정 (Filter Specifications)
- 차단 및 통과 주파수 (Frequency)
- 특성 량 (Power in dB)
- 대역폭 (Bandwidth)
- Q
- 삽입손실 (Insertion Loss)

신호를 다루는 관점1: 시간영역(Time Domain)

우리가 다루려는 '신호(signal)'는 파동(wave)이다.
우리가 사는 세상은 시간순으로 발생하는 사건들이다.
사건들을 표현할 때 '시간(time)'을 독립변수로 사용한다.
관찰하기 쉽지만 여러 신호가 합성된 경우 구성 성분을 파악하기 어렵다.

신호를 다루는 관점2: 주파수 영역(Frequency Domain)

신호는 여러 주파수를 가진 파동들의 조합이다.
시간순 배열의 사건을 주기성을 가진 성분의 분포로 바꿔놓을 수 있다.
주기적(periodic) 이라는 말에 시간(time)과 반복(frequent)의 의미를 모두 내포하고 있다는 점에 주목하자.
주파수(frequency)를 독립변수를 두고 사건의 구성을 표현한다.
분석은 일정 시간 구간 내에서 한정된다. 시간은 무한히 흘러가지만 주파수 구간은 유한 범위내에서 이뤄진다.

주파수의 표현

주파수(frequency): 고정된 시간 간격을 두고 반복되는 횟수
각 주파수(angular frequency): 등속도로 원운동하는 회전자의 회전수
'고정된 시간 간격' 과 '등속도로 원운동'은 같은 말이다.
주파수 f 와 각주파수 ω 와의 관계: ω = 2πf
2π 는 회전자(phasor)가 원 둘레를 한바퀴 돌았을 때 각도를 값으로 나타낸 것이다.
위상차를 따로 취급할 때가 아니라면 우리는 한바퀴 돈 '횟수'를 따질 것이다. 2πf 에서 '주파수'는 초당 회전자가 한바퀴 돈 횟수를 뜻한다.

신호를 관찰하는 장비들

오실로스코프(oscilloscope): 시간영역에서 신호의 크기를 보여주는 장비
스펙트럼 아날라이져(spectrum analyzer): 주파수영역에서 신호의 성분을 보여주는 장비

두 영역의 상관 관계

시간영역에서 기록된 신호는 주파수영역으로 분석될 수 있다.
퓨리에변환(Fourier Transform): 두 영역 사이의 변환과 역변환
서로 가역변환이다. 관점만 다를뿐 동일한 정보를 가진다.

시간영역에서 주파수영역으로 신호분석 예: 필터링 (Filtering)

구형파(square wave): 시간영역에서 보면 단순한 사각형이지만 주파수 영역에서 보면 매우 다양한 주파수의 사인파들이 합성된 왜곡파다.
시간영역의 구형파를 주파수영역으로 변환하면 다양한 주파수 성분들이 나타난다.
필터링(filtering): 그중 가장 세력이 큰 주파수 성분만을 가려내서 시간영역으로 복원하는 것
변환과 복원
- 변환 분석(Analysis): 시간영역에서 수집한 신호를 주파수 영역으로 변환
- 필터링: 불필요한 주파수 성분 제거
- 역변환 복원(Recover): 시간 영역으로 복원
필터링(Filtering)
- 변환(Forward transform)과 역변환(Inverse Transform) 과정은 계산상 불리
- 시간-주파수 변환은 분석, 판단, 시현을 위해 활용
- 직접 필터링 알고리즘 사용(FIR Filter)

음의 주파수 (Negative Frequency)

주파수는 일정 시간(초)당 한주기 파의 갯수다.
시간순으로 사건을 기록하는 실생활에서 주파수는 항상 양수다.
시간은 항상 한방향으로만 흐른다. 시간의 기준을 뒤로 미룬다 해도 주기적인 파동은 변함이 없다.
시간은 절대적 기준이다. 하지만 과거 사건들을 기록해 둘 수는 있다. 예를 들면, 사진, 디지털화 된 파동 샘플 등

자연계에서 일어나는 사건은 항상 대칭성을 갖는다. 주파수도 대칭성을 가져야 하므로 0을 기준으로 양수쪽 주파수에 대칭인 음수의 주파수가 존재한다. 이 주파수를 이미지(image) 신호라 한다. 영어 'image' 를 그대로 번역해 '영상' 신호라고 하는 경우가 있는데 좀 어이없다. 0을 기준으로 거울에 비친 듯이 대칭이라는 뜻이다.

음의 주파수를 가진 신호는 실행활에서는 감지할 수 없더라도 수학으로는 표현 되어야 한다. 음의 주파수 신호는 두 파동을 섞을 경우 실제 세계로 발현된다. 이는 실험으로 그리고 수학 표현으로 일치한다. 'image'는 '가짜' '허구' 혹은 '가상'이 아니다. 이런 대칭의 이미지를 표현하기 위한 수학이 도입 됐는데 바로 허수체계(imagenary numbers)다.

파동의 표현: 직교하는 실수 축과 허수 축 평면상에서 회전자(phasor)의 궤적 표현, (r, θ)
- 원점에서 거리, r(t) 과 실수축 에서 반시계 방향 각도 θ(t)
- r 과 θ는 모두 시간의 함수
- 시간은 절대적이다. 한방향으로 흐른다(음수가 없다).
회전자의 r(t)=1로 고정된 회전자의 움직임을
- 실수 축의 움직임을 시간상 투영한 궤적: cos(θ)
- 허수 축의 움직임을 시간상 투영한 궤적: sin(θ)
회전자의 실수 궤적과 허수 궤적은 동시에 존재한다.
회전자의 회전방향에 따른 각도의 부호
- 반시계방향: 양의 각도, 양의 주파수
- 시계방향: 음의 각도, 음의 주파수
주파수는 회전자의 초당 회전수
- 양의 방향으로 회전: 양의 주파수
- 음의 방향으로 회전: 음의 주파수
회전자가 만드는 궤적(파동)의 특징
- cos()는 양의 방향으로 돌든 음의 방향으로 돌든 동일
- sin()은 양의 방향으로 회전하는 파동과 음의 방향으로 회전하는 파동은 부호가 반대
삼각함수의 매개인자(parameter)는 각도
- 시간에 따라 변하는 각도
- 1파장: 회전자가 한바퀴 회전 했을 때 거리
- 각도를 시간당 회전수(주파수)로 표현
주파수 영역에서 분석
- 파동은 회전자가 한바퀴 돈 것으로 간주한다.
- 주파수 분석: 초당 몇회전하는 파동인지 알아내는 것.
- 주파수를 삼각함수의 인자로 바꿈
- 각도와 회전수는 모두 차원이 없는 숫자
- 각주파수(angular frequency): 초당 회전한 바퀴수 = 초당 360도 x 회전수
- 주파수(f) = 회전수(ω) : ω = 2πf

데시벨 (decibel, dB)

전파를 다루는 무선공학자들(RF engineers)은 척도로 로가리듬(logarithm)을 즐겨 사용한다. 눈금(scale) 간격이 우리가 늘 보면서 익숙한 등간격(evenly spaced)이면 얼마나 좋은가. 등간격은 거듭 더하는 횟수다. 로가리듬은 거듭 곱하는 횟수다. 아무래도 덧셈이 곱셈보다 쉬운데 말이다.

그럼에도 로가리드믹 눈금(logarithmic scale)을 사용하는 이유는,

곱셈을 덧셈으로 바꿀 수 있다.
범위가 큰 숫자를 다루기 편리하다/보기 좋다.
별것 아닌 걸로 뭔가 있어보이는 척할 수 있다.

데시벨(decibel, dB)은,

전력 배율(증폭율)을 10을 밑(base)으로 로그를 취한 것이다.
지수만 취하니 숫자가 너무 작아서 10배 했다.
시스템의 성능은 입출력의 증폭(amplify) 또는 감쇄(attenuate) 비율이다.
dBm은 소신호를 다룰 때 숫자가 너무 작아서 1000배한 것
전력을 표시할 때 사용된다. (배율의 분모를 1와트, 1미리와트로 둔다.)
무선통신에서 전파를 다루는데 있어서 숫자의 범위가 너무 크다. (송신은 Kilo 단위, 수신Micro 단위: 변화폭 10^9)

무전기 사양서 읽기

고조파(Harmonics) 방출: -50dB 이하

원하는 주파수의 방출량에 비해 1만분의 1
- 7Mhz에서 1와트 출력일 때 14Mhz, 21Mhz 등의 고조파 방출량은 10u와트
출력 대비 고조파 방출량도 증가하므로 비율로 표시

반송파 및 측파대 억제: 50db 이상

유효신호 대비 불요신호 억제의 정도 10만분의 1 이상

감도

증폭은 신호는 물론 잡음도 증폭한다.
신호의 전압이 0.2uV 일때 이를 구분할 수 있다. (증폭곡선 참조)

전파의 전력(RF Power)

고주파 전파의 전압과 전류를 측정하는 것은 매우 어렵다.
자연계에 존재하는 신호(인공적인 변조포함)는 여러 주파수 성분이 혼합된채 존재한다.
순간적으로 변화하는 전압을 측정하기 보다 일정 시간 간격을 두고 평균을 취하는 방식으로 측정한다.
고주파 전력 측정 법
- 부하저항 양단의 전압으로 측정
- 저항 손실 분은 온도 측정 (전기적 측정분 외의 손실분)
- 부하저항은 50옴으로 표준: 안테나(antenna), 더미 로드(dummy load)

출력 측정 예:

부하저항 없이 전력을 잴 수 없다. 오실로스코프로 전압을 살피는 것은 전압파형 관찰일 뿐 전력이 아니다. [전류 흐름이 없음]
50옴짜리 부하저항을 연결 했을 경우 멀티미터 교류 전압은 실효 전압이 아니다.
실효전압은 RMS 전압이다.
다이오드로 반파정류 후 컨덴서 평활화된 전압(V_peak)을 측정한 후 유효전압(V_RMS)과 부하저항(50옴)을 적용하여 전력계산

[참조] SSB 와 AM 변조된 전파의 파형 모습과 출력전력 측정치 [링크]

간이형 QRP용 전력 측정 장치의 예

[1] 12W Dummy Load / Power Meter, https://qrpguys.com/12w-dummy-load-power-meter

[2] 2W 더미로드 / 출력 표시기

요약 [dB, dBm, dBc]

입출력 비율(Ration)식 이다. 분모와 분자의 단위에 유의해야 한다.

필터 (Filter)

특정 주파수에 반응 (Frequency selective response)
주파수(대역)을 차단 또는/그리고 통과 시키는 역활을 하는 부품(하드웨어 또는 프트웨어)

필터의 역활

아날로그 vs 디지탈 필터

아날로그 필터 설계 툴
https://rf-tools.com/lc-filter/
디지탈 필터 설계 툴
http://t-filter.engineerjs.com/

필터의 성능을 판단하는 평가요소

차단과 통과 사이의 전환 대역폭(Transition Band)
디지털 필터:
- 높은 정밀도와 안정성 실현 (부품 삽입 손실이 없다)
- 엄청난 계산량을 요구하므로 실시간 처리는 계산 능력에 좌우된다.
- 적응성: 대역폭, 통과와 억제 비율을 필요에 따라 변경 가능하다
- 셀계용이하다. 시뮬레이션으로 필터 성능 평가
- 대역폭이 좁은 베이스 밴드 처리 용
아날로그 필터:
- 정밀도가 낮다.
- 사용된 부품(코일, 콘덴서)의 물리적 특성(주파수, 온도 등)에 영향을 받는다.
- 적응성이 없다.
- 부품의 안정성이 보장되지 않으므로 시뮬레이션 평가와 일치하지 않는다.
- 디지털 변환이 필요 없으므로 간단하다.
- 고주파 전파 처리용

필터의 구조