아무나 하는 수학, 과학 & 라디오: [무선통신 시스템 설계] 12강. 비선형성: 혼변조(Intermodulation) 및 OIP3

[무선통신 시스템 설계] 12강. 비선형성: 혼변조 및 OIP3

-------------------------------------------------------------------
[일러두기] 이 글은 아래 강좌를 토대로 작성되었습니다. 일부 내용은 저의 생각 담아 첨삭하였습니다. 오류가 있을 수 있으니 강좌 원본을 꼭 함께 봐주시기 바랍니다.

[Radio System Design] Module 12. Non-Linearity: Intermodulation and OIP3 / David S. Ricketts

함께 공부한다고 여기시고 아래 글에 오류가 있다면 가차없는 지적 바랍니다.
-------------------------------------------------------------------

개요

혼변조(Intermodulation)의 정의
OIP3 (3rd-order Output Intercept Point)

[주] 혼변조: 인접해 있는 두 고주파(RF)의 고조파(harmonics)들 사이에 간섭을 일으키는 현상. 믹서는 주 주파수(fundamental) 사이의 섞임을 의도 했지만 고조파(harmonics) 사이에 섞이는 것은 원치 않았다.

----------------------------------------------------------------------

혼변조에 신경을 쓰게된 이유

인접 주파수를 묶어 운용하는 다중 채널 통신이 흔해지면서 혼변조의 문제가 생겼다.
송신기의 비선형성(P1dB, 송신기 이득압축)이 혼변조에 어떤 영향을 미칠까?

일단 두개의 채널 만 따져보자.
- 두채널의 대역폭을 단순화 하여 두 반송파만 있다고 하자.
- 단순화 했어도 수학이 다소 복잡하다. [고차 다항식의 전개라 복잡할 뿐 어렵진 않다]

두 인접한 주파수의 신호를 테일러 급수 형식을 갖는 비선형 증폭기의 입력에 인가하여 그 출력을 다항식 전개 후 정수배 ω로 확장하면 아래와 같다. [테일러 근사, 코사인 함수의 확장과 정리는 '기초편[링크]' 참조]

입력의 두 신호가 영항을 주어 (ω1±ω2)로 파생된 모든 신호에 변조(A1과 A2의 곱)가 있다.

주 신호(fundamental) Cos(ω1t) 와 Cos(ω2t) 항에 A1과 A2의 곱이 존재한다.
제2고조파 Cos(2*ω1*t) 와 Cos(2*ω2*t) 항에는 각각 A1과 A2만 있다. (혼변조 없음)
제3고조파 Cos(2*ω1+ω2)t 와 Cos(2*ω2+ω2)t 항에도 A1과 A2의 곱이 존재한다.
제3고조파 Cos(2*ω1-ω2)t 와 Cos(2*ω2t-ω2)t 항의 혼변조가 문제다.

파생된 고조파 성분은 대역 필터로 걸러 낼 수 있다. 하지만 Cos(2*ω1-ω2) 와 Cos(2*ω2-ω1)의 신호는 두 주 신호 ω1, ω2 에 너무 가까워서 걸러내지 못한다. 이를 3차 혼변조(IM3) 신호라 한다. 혼변조는 인접한 주파수에 두개의 강력한 신호를 변조(혹은 증폭)하면서 생긴 현상이다. 대역 필터로 걸러내기 어렵다.

고조파 혼변조가 주 신호에 영향을 주진 않지만 인접 주파수를 사용하는 통신 채널에 악영향(혼신)을 유발한다. 혼변조는 송신기 뿐만 아니라 수신기에서도 큰 문제가 된다. 단파 수신기에서 강력한 AM 방송국 신호가 유입되는 경우 혼복조(?)때문이다. 필터가 부실한 보급형(초소형) 수신기, 직접변환 방식 수신기에 흔히 발생한다.

--------------------------------------------------------------------------------

혼변조 특성 도식화(Interpolation Characterization)

혼변조를 없앨 수는 없으므로 증폭기의 작동 범위를 적절히 조절하기로 하자.
단일 주파수의 신호에 대한 고조파(단일변조)와 서로다른 두 주파수 신호 입력으로 인해 발생한 혼변조(특히 3차 혼변조)의 관계를 파악해 최적의 증폭기를 설계해 보자.

혼변조 특징을 파악하기 위해 증폭기에 주어지는 두 주파수의 입력신호를 다음과 같이 놓자.

문제가 되었던 IM3 에 주목하자.

필터를 써서 멀리떨어진 고조파들은 성공적으로 제거 했다면,

선형 구간에서 출력은,

주파수가 모두 같은 간격(𝜟ω)으로 벌어져 있다.
선형 구간 내에서,
- 주 신호(main tone)은 진폭 A 에 지배된다.
- 혼변조 신호 IM3 는 진폭 A의 세제곱에 지배된다.

A 는 입력 신호의 진폭으로 전압(voltage) 값이다. 주 신호(main tone)와 혼변조 신호(IM3)를 입출력 전력(power) 도표로 나타내어 보자.

위의 도표에서 두 직선은 증폭기의 선형구간을 표시했다. 실제로 Pin 이 증가하다 포화구간에 이르면 선형성을 잃게 된다. 그리고, 두 직선의 기울기는 각각 1 과 3으로 다르다. IM3 직선의 기울기가 가파르기 때문에 두 직선이 만나거나, 그 지점을 지나면 오히려 혼변조가 더 클 수도 있겠으나 선형성을 잃게 되므로 그럴 일은 일어나지 않는다[있을 수도 없는 일이다. 두 직선은 비선형성을 테일러 급수로 근사했기 때문에 나온 것이다.] 다만, 입력이 증가할 수록 혼변조가 급격히 증가한다는 점에 유의하자. 이득 압축이 없다고 가정하고 두 직선이 만나는 지점, 0dBc가 되는 지점을 IP3 라고 한다.

입력 Pin 지점에서 두 직선이 보여주는 Pout의 차이는 주신호 대비 3차혼변조의 비를 나타낸다. 이를 반송파 대비 혼변조 출력의 전력비를 의미하여 dBc 로 표현한다. 위의 그림에서 dBc는 주신호보다 혼변조 신호가 항상 작으므로 음의 값을 가진다. [dBc, Decibel relative to the carrier]

-------------------------------------------------------------------------------------

예제: 어떤 증폭기의 출력이 20dBm인 지점에서 상대 IM3가 -25dBc로 측정되었다. 이 증폭기의 출력이 22dBm 인 지점에서 상대 3차 혼변조(relative IM3)를 dBc 로 구하라.

3차 혼변조 IM3[dBm]의 증가는 입력전력 Pin[dBm]의 2배다. 따라서 전력의 데시벨 좌표계에서 반송파의 선형구간 전력증폭 직선의 기울기기 1이고 3차 혼변조 전력증가 직선의 기울기는 3이다. 두 직선의 기울기 차가 2므로 당연한 소리다.

만일 반송파 대비 상대 3차 혼변조 전력이 IM3[dBc] = -22dBc 였다면 IP3는 현재 입력전력에서 얼마나 높여야 도달할까? 입력 전력을 1dBm 올리면 IM3[dBc]가 2dBc 만큼 감소 하므로, -22dBc 가 0 이 되려면 현재 입력전력에서 11dBm 올리면 된다. [dBm은 전력량, dBc는 차분을 의미한다.]