제1부(요약). 공간과 시간(Space and Time)
제2부. 우리 우주의 역학과 기하학(Geometry and Dynamics of our universe)
V2.1 로버트슨-워커 측량(The Robertson-Walker Metric)
V2.2 원주율(π, Pi)
V2.3 휘어진 공간(Curved Space) /강좌동영상/영문자막/한글자막
[00:00] 브라이언: 좋습니다. 폴. 전편에서 수학공부를 좀 했죠. 당신이 보여준 π(원주율)이 어떻게 (RW 측량의) k 값에 따라 변할 수 있는지 수학적으로 보여 줬죠. 하지만 저는 원주율이 달라질 수 있다는 점을 머리 속에서 그려볼 수 없는 사람들 중 하나예요. 지금 가지고 있는 어려움은 우리가 삼차원에 시간이 더해진 공간에 살고 있다는 거죠. 그것을 사차원이라고 합니다. 그런데 사차원을 시각화 할 수 없다는 거예요. 하지만 삼차원 중 하나를 빼고 생각해 볼 수 있겠다는 묘안이 떠오르긴 하네요. 뭐, 아니면 두개를 빼봐도 되구요.
* 구면좌표계의 사용: 공간을 X,Y,Z 세개의 개별 차원으로 표현 했다면 그 중 하나를 임의로 빼고 생각 하기 어렵다. 각축으로 독립적인 운동을 할 수 있기 때문이다. 구면 좌표계를 사용 하므로서 차원을 갖는 축은 오직 r 뿐이다. 차원이 없는 두 각도축은 r에 의존한다. 차원이 없는 각도를 생략(dθ=0, dφ=0 으로 놓음으로써)한다고 측량의 차원에 영향을 주지 않는다.
폴: 맞아요. 기묘한 기하학을 이해 해 볼 한가지 방법은 우리의 삼차원 우주가 실제로 사차원에서 휘어졌다고 상상해 보는 겁니다. 세개의 공간 차원, 줄여서 삼차원이라 하는 것을 사차원에서 X, Y 그리고 Z로 표현된 곡면이라고 해보는 겁니다. (상상이 잘 않된다면)꼭 그럴 필요는 없겠죠. 실제로 사차원이 정말 있을 수 있는 것 같지 않잖아요. 그냥 측량(the metrics)을 바꿔보지요. 측량은 (공간을) 이해하는데 아주 도움이 됩니다. 물론 앞서 말한대로 사차원에 대한 설명을 아무리 들어도 한쪽 귀에서 다른 쪽 귀로 빠져나갈 겁니다. 그래서 아주 흔히 하는 비유는 (공간 차원 하나를 줄여서) 이차원 우주를 상상해 보는 겁니다. (이차원)평면(surface)을 상정 해 봅니다. 대개 이차원 우주에는 벌레가 살고 있죠. (날지는 못하고)평면위를 기어다닐 뿐 입니다. 그리고 삼차원에서 휘어져 있다고 상상해 봅시다. (평면을 기어 다니는 벌래는 이차원의 세계에 살고 있다.) 하지만 그 평면(벌래의 우주)가 삼차원에서 휘어 있다. 이는 k 값에 따른 공간 변화에 대한 비유라고 볼 수 있습니다.
* 우리가 사는 세계의 실제 공간은 세 좌표값 반지름 r 과 두 각도 θ, φ 로 표현 한 3차원이다. 하지만 측량의 논의를 단순화하기 위해 φ를 고정 시켰다는 점을 상기하자. 반지름과 θ 만으로 단순화 시켜도 문제 없는 이유는 우주는 균일하기 때문이다. 균일한 구에서 한 단면 만을 다룬다.
브라이언: 그럼 그 벌래는 지구 표면을 기어다니는 것과 다르지 않군요. 우리도 벌래처럼 표면위에 있죠. 물론 우리는 지구를 파고 들어가거나 우주로 튀어나갈 수 있다는 생각도 할 수 있습니다. 하지만 우리가 생각할 수 있는 차원은 평면이라고 상상해야 합니다. 표면에서 밑으로 혹은 공중으로 올라가는 선택의 여지가 아예 없습니다.
그럼 k 가 0보다 큰 경우를 생각해 보도록 합시다. 이때(k>0) (원주율)파이는 3.15159265.... 보다 작았습니다. 즉, 구의 표면에 비유 할 수 있겠군요.
[01:41] 폴: 구(sphere)에서 원주율 파이를 어떻게 측정 할까요? 이렇게 상상해보죠. 이 중간에 깃발을 꼽고 잘 훈련된 벌레 여러마리가 전 방향으로 동일한 거리를 기어 나가도록 했다고 합시다. 그 벌래들의 대열은 원을 형성 하겠죠. 그리고 그 원의 둘레를 돌아볼 수 있어요. 그리고 그 둘레가 원주율 파이 곱하기 지름보다 작다는 것을 알게 될 겁니다.
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[01:57] 브라이언: 지구의 표면에 비유하자면, 우리가 어디에 거주하든 북극 혹은 남극을 향해 간다고 생각해봅시다. 그런후 적도를 향해 깃발을 내려 보낸다고 합시다. 그리고 앞으로 쭉 나가면서 둘레를 쟀다고 해봅시다. 멀리 내려 갈수록 둘레의 길이가 달라지죠. 평평하지 않고 굽어 있어요. 그러니까 원주의 길이가 짧아지게 됩니다.
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[02:19] 폴: 게다가 북극에서 출발하여 남극까지 걸어갈 수도 있어요.
[02:23] 브라이언: 아. 맞아요.
[02:24] 폴: 그럴경우 극점에서 둘레는 0이 되겠지요.
[02:26] 브라이언: 맞습니다.
[02:27] 폴: 그런데 북극에서 남극까지 가는 동안 내내 반경은 계속 증가 했지만 마침내 둘레는 0이 되었습니다.
[02:33] 브라이언: 맞아요.
[02:34] 그러고 보니 다 맞아 떨어지네요. (RW측량에서 k>0 일 경우 반경이 길어지면서 원주율이 감소하여 결국 0이되었다.)
[02:36] 폴: 그러니까 이것이 우리의 우주(모형) 예상 중 하나 입니다. k 가 0보다 크다면 우주의 모습은 구에 비유될 수 있어요. (우주의 모습이 '구'라는 것이 아니다. '구'에 '비유(analogy)'될 수 있다는 점을 명심하자.)
[02:41] 그리고 이 생각은 우주의 모습에 대한 여러개의 가능성 중에 하나 입니다. k>0 인 우주 모습에서 원주율이 점점 줄어들게 된다는 것을 보여 줬습니다.
[02:46] 브라이언: 그렇군요.
[02:46] 폴: 작은(반경) 규모에서의 원주율. 방안에서 원을 그려봐야 크게 다를 것 없어요. 하지만 점점 규모를 넓혀서 반경이 우주의 규모까지 길어지면(수십억 광년) 원주율은 급격하게 줄어들 겁니다.
[02:56] 브라이언: 맞습니다.
[02:56] 폴: k>0 인 우주 모습의 두번째 예상은 평행선이 마침내 만난다는 겁니다.
[03:01] 브라이언: (평행선이) 만난 다구요? (만나면 평행선이 아니지?)
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[03:01] 그 말은, 그러니까 예를 들어 지구 적도에서 직각으로, 어쨌든 구 표면에서 극점을 향해 선을 그으면 이 두 선이 결국 만나게 된다는 뜻이군요. 이 경우 만나는 곳이 바로 극점이 되겠구요. 그러니까 90도가 되는 지점 이네요. 90도 아니면 180도, 또 다른 90도를 더한 지점이 있겠군요. 그럼 삼각형의 내각 합이 180도를 넘습니다.
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[03:25] 폴: 맞아요. 이런 모습(k>0)의 우주에서 평행선은 (언잰가) 만납니다. 물론 이차원의 비유에 그치지 않습니다. 그러니까 만일 두개의 레이져 광선을 발사하면 정확히 앞을 향해야 겠죠, 결국 두선은 만납니다.
[03:36] 브라이언: 네.
[03:36] 폴: 거리의 규모를 우주의 반경까지 확장 하면, 아주 아주 크게 보는 거죠. 이런 걸 실험실 안에서는 해볼 수 없어요. 그럼 이런 우주(k>0 인 구)의 또 다른 가능성(증거)는 어떤 방향으로든 아주 멀리가면 출발했던 그 지점으로 다시 돌아오게 됩니다.
[03:50] 브라이언: 맞아요. 모든게 자체적으로 감쌓여 있죠. 그러니까, 그 우주에서 빠져나올 수 없어요. 그 안에 빠져 버린 것과 같아요. 그러 유한(finite) 하군요.
[03:58] 폴: 네!
[03:58] 브라이언: 그래요? 이 구의 표면을 쭉 훓고 지나가면서 누적하면 표면적을 구하죠. 구의 표면적은 유한 하잖아요.
[04:03] 폴: 네. 그것이 소싯적 항상 저를 괴롭혔어요. 왜냐면, 어떻게 우주가 유한 할 수 있을지 설명하는 우주론에 관한 책을 읽곤 했는데 그리고 저는 납득 할 수 없었습니다. 어떻게 우주가 유한 할 수 있죠? 유한 하다는 말은 만일 우리가 우주선을 타고 멀리 가다보면 "여기가 우주의 끝이니 넘지 마시오"라고 써있는 담장을 만나게 될지도 모르는 거잖아요. 도데체 다른 쪽 담장은 어디에 있을까요? 이 생각은 참 납득할 수 없었습니다. 하지만 이렇게 생각해 볼 수 있죠. 우주선을 타고 정말 아주 멀리 가다보면 결국 내 등뒤에 도달 할 것입니다.
[04:27] 브라이언: 맞군요. 그러니까 우리 우주에서 모두 제자리가 될 겁니다. 한 방향으로 아주 오랜 시간을 두고 가다보면(은근히 '시간'이 끼어들다.), 우주가 이런 모습을 하고 있는 한 결국 출발지에 도달 하겠죠.
[04:36] 폴: 맞습니다. 저는 항상 이것이 공상 과학(SF) 영화에서나 나올 법한 이야기 라고 생각 했어요. 우주 영웅을 가둬 놓을 최고의 감옥 같은 거요. 당신도 알다시피 아놀드 슈워츠제네거나 뭐 그런 배우들 말이죠. 만일 그들이 수미터 방 크기만 한 공간이 이렇게 스스로 휘어있는 그런 우주를 만들 수만 있다면요. 그리고 우리의 영웅이 그 공간을 탈출하는 상상을 해봐요. 그는 한 방향으로 총을 쏘면 결국 그 총알은 그의 등을 맞출 겁니다. 만일 그가 땅을 파고 들어가면 부스러기 들이 머리위에서 떨어질 거구요. 그러니까 그가 이런 우주를 빠져나올 방법이 없네요. 아주 완벽한 감옥이예요. 탈출 방법이 없어요.
[05:02] 브라이언: 흠.. 좋아요. 그런데 이것(k>0인 구)이 우주모형의 다는 아니죠.
[05:05] 폴: 물론 아니죠. 그것은 k가 0보다 크다는 조건에 불과 합니다. 만일 k가 0보다 작다고 해봐요(k<0). 또다른 기묘한 모습을 생각해 볼 수 있죠. 흔히 말 안장(saddle) 모형이라고들 부릅니다. 그럼 이런 (말안장)모양을 살펴볼 짧은 동영상을 준비 했습니다.
[05:16] 브라이언: 그럼 이 모습은 쌍곡선(hyperbola)을 닮았군요. 쌍곡선을 본적이 있다면 비슷하다고 생각되겠습니다.
[05:21] 폴: 네. 그럼 이 경우(k<0), 다시한번 위치를 잡아서 (훈련받은 여러마리)벌레들을 모든 방향으로 보내고 그 벌래들이 도달한 위치를 따라 원을 그려 봅시다.
[05:29] 브라이언: 흠.. 그래요.
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[05:30] 폴: 이제 그 원이 위아래로 울겠죠. 그럼 원주율(파이)을 따져보죠. 원둘레가 2π 곱하기 반지름r 보다 길어 집니다.
[05:37] 브라이언: 맞아요. 그러니까 그말은 여기 반경에 점선을 찍었더니 2π 보다 크다는 거잖아요. 그럼 다시 이런 모습의 우주를 생각해 봅시다. 앞서 봤던 우주와 아주 달라요. 방안에서 상상해보고 종이에 그려보던 그런 식으로 따져보기는 어렵습니다. 그저 일반적인 원이 아닙니다.
[05:57] 폴: 네. 그리고 이 경우(k<0)의 표면에 평행선을 그어보면 서로 벌어집니다(diverge).
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[06:01] 브라이언: 그리고 만일 여기에서 삼각형을 그려 본다면 내각을 다 합쳐 180도보다 작아야 삼각형을 만들 수 있습니다.
[06:09] 폴: 네. 이 경우에도 차이를 알아보려면 곡률 반경이 우주의 규모에 이르러야 합니다. 아주아주 크게 봐야 하지요. 초등학교 수업시간에 삼각형을 그릴 때 내각의 합이 180도 였던 것과는 규모가 다릅니다. 그것에 대한 또 다른 설명이 있어요.
[06:22] 브라이언: 우리가 아주 일부에 지나지 않는다고 볼 수 있습니다. 우리의 화면이 어주 유한하기 때문이죠. 하지만 이 우주는 계속됩니다. 여기에서 끝나지 않고 끝없이 이어져요.(구형=폐쇄형 우주, 말안장=개방형 우주) 그러니까 이 안장의 표면적이 몇 평방 미터나 될지 재보려고 해도 무한히 넓다고 말할 수 밖에 없죠. 영원하죠(면적과 시간을 혼용하고 있다). 계속해서 (안장의) 양방향으로 커져가는 중입니다.
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[06:44] 폴: 좋아요. 우리는 k 가 0보다 큰 경우를 살펴 봤었습니다(k>0). 유한한 우주(finite universe) 인데, (삼각형 내각의) 합이 180도를 넘는 곳이며, 원주율 π가 작고, 평행선이 결국 만나게 되는 곳이죠.
[06:54] 그리고 k 가 0보다 작은 우주도 봤어요(k<0). 이런 우주에서 평행선은, 만일 두개의 레이저 광선을 쏘면 영원히 벌어지죠. 직선이었 더라도 두 형행선은 벌어집니다. 그리고 이 우주는 무한(infinite universe)합니다.
[07:04] 만일 k 가 정확히 0 이라면(k=0), 정상 우주(normal universe)의 경우 입니다. 측량이 우리가 익히 알고 있던 것과 같아요.
[07:12] 브라이언: 그런 우주는 그저 격자 입니다. 아주 큰 육면체 처럼 보입니다. 이 외에 (우주를 보는)다른 방법도 있겠죠? 예외 같은 것은 없나요?
[07:20] 폴: 네. 그럼 약간 희안한 것을 볼께요. 이런 겁니다.
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[07:24] 브라이언: 이것은 어떻게 한거죠?
[07:25] 폴: 아,네. 그러니가, 심술을 부렸어요. 제가 여기에 가한 것은 원래 평평한 우주였는데 둥그렇게 말았죠. 그래서 원통형이 됐어요. 말하자면....
[07:31] 브라이언: 그러니까 원통으로 말린 쪽으로보면 끝없이 돌고 돌겠네요? 아, 알겠어요. 돌고 돌아요. 맞아요.
[07:35] 폴: 네. 여기 화면 크기가 작아서 일부만 그린 겁니다. 이 경우 평평한 우주죠. 이쪽으로 원주율을 계산하면 평평한 종이에 그린 것과 일치합니다.
[07:42] 브라이언: 네.
[07:42] 폴: 이쪽 축으로 차이가 있죠. 돌고 돌아서 시작한 위치로 되돌아옵니다. 뭐든 이렇게 할 수 있어요(어떤 형태의 우주라도 만들어 낼 수 있는 수학은 대단하다.) 우리가 할 수 있는 모든 형태로 우주를 그려볼 수 있죠(기하학 geometry 으로 그리고 위상 수학 topology 으로 설명하고). 그러니까, 구형 우주(sphere universe), 말 안장형 우주(saddle universe), 완전히 평평한 우주(all flat universe) 등등 말이죠. 아주 이상한 지형(topology)을 가진 우주를 만들 수 있고 다양한 방법으로 이어 붙일 수도 있어요. (수학으로) 아주 다양한 (우주 모형)이 가능 합니다. 하지만 어떤 형태가 되었든 원주율 π와 기하학적인 측정을 고려해 볼 때 이 세가지 중 하나로 귀결 됩니다. 그러니까 k는 기하학적으로 세가지 모형인데, 개방형(opened), 폐쇄형(closed) 혹은 평편형(flat) 중 하나라는 겁니다. 아직 시간 t에 대해서는 이야기 하지 않았습니다.
[08:13] 브라이언: 네. (k에 따른 측량)앞에 곱해지는 값이었죠. 그럼 이제 a(t) 에 대해 따져봐야 할 때가 되었다는 뜻이군요. 어찌보면 기하학적인 측면과는 관련 없어 보입니다. 시간에 따라 우주가 어떻게 변해갈지 말해주는 것 같아요.
[08:26] 폴: 맞습니다. 운동, 역학(kinematics)에 관한 겁니다. (속도 가속도 등은 물체의 운동을 시간상 변화를 기술 한 것) 다음 동영상 강좌에서 이 것이 미치는 영향(역학)을 다뤄 볼께요.
LQ2.3 ---------------------------------------------------------
At one point, a few decades ago, only two really bright, high redshift quasars were known, and the two of them lay almost exactly in opposite directions in the sky (179 degrees apart). This was most likely a coincidence, but at the time, there was some speculation that in fact these were the same quasar, being viewed in two opposite directions around the universe.
For this theory to be true, what should the value of k be?
[A] k greater than 0 (k>0)
b) k equal to 0 (k=0)
c) k less than 0 (k<0)
d) All of the above are possible.
Explanation
The simplest answer would be a spherical universe - i.e. k>0, as the universe is then finite and you could see all around if the radius was right. Both the other cases are infinite and so you would not see multiple images (unless they were folded into some wierd topology).
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