제1부(요약). 공간과 시간(Space and Time)
제2부. 우리 우주의 역학과 기하학(Geometry and Dynamics of our universe)
V2.1 로버트슨-워커 측량(The Robertson-Walker Metric) /동영상강좌/영문자막/한글자막
V2.2 원주율(π, Pi) /강좌동영상/영문자막/한글자막
[00:01] 폴: 자, 그럼 생각해 볼까요. π (원주율)는 어떻게 정해진 걸까요? 파이의 정의는 원둘레를 c라 하고 지름을 d 라 하면, 원둘레(circumference)를 지름(diameter)으로 나눈 값입니다. 쉽죠.
[00:20] 실험으로 원을 그려볼 수 있습니다. 중심에서 반지름 r 인 지점에 점을 수없이 찍으면 원을 그릴 수 있는데 반지름의 두배가 지름 d 입니다. 그럼 둘레를 재면 원주길이가 되요. 그리고 이 둘의 비율을 구합니다.
[00:36] 로버트슨-워커(RW) 측량이 옳다 치고 원주율 π을 계산해 보기로 합시다. 원을 그려놓고, 원은 아무데나 그려도 되요. 우주가 균일 하기 때문에(uniform & isotopic) 원을 어디에 둬도 좋습니다. 반지름이 r0인 점을 찍어보죠. 그리고 쎄타를 변화시켜봅니다. 그리고 쎄타 주변을 따라가 봅니다. 앞선 가정(균일한 우주)을 유지해야 합니다. 어떤 원이든 같은 답(원주길이 나누기 지름은 원주율 π)을 얻어야 하니까요. 각도 θ를 변경하면서 반지름이 r0인 원을 그리는데 φ 는 0으로 두기로 합시다. (우주는 균일 하다는 가정 하에 구를 원으로 단순화 시켰다.) 그러니까 (RW측량에서) δφ는 변화하지 않습니다.
[01:23] 이제 (로버트슨-워커)측량을 사용하여 얼마 만한 원을 그릴 수 있는지 보기로 합시다. 우리에게 필요한 것은 이 측량이 좌표의 한 부분에 약간의 변화를 주면 이에 해당하는 약간의 길이 변화가 있을 것임을 보여준다는 겁니다. 그럼 좌표계에 큰 변화를 주어 봅시다. 원의 둘레 혹은 지름에 한 해 변화를 살펴보기 위해 각각을 잘게 나눠 볼 겁니다.
[01:43] 먼저 (RW측량으로) 원둘레를 계산해 봅시다. 각도를 잘게 나눈 δθ 에 대응하여 원둘레가 잘게 나눠 지죠. 그럼, 이 작은 원호 길이를 δs 라고 할 수 있죠. 이 경우 δs 는 어떻게 될까요? 그렇죠. δs 의 제곱은 a(t)의 제곱이 될 겁니다. 이 경우 θ 만 약간 변화했을 뿐입니다. 그외 아무것도 바뀌지 않았어요. 그러니까 (RW측량에서) 다른 항들(δr과 δφ)은 모두 0 입니다. 그러니까, (δs 의 제곱은) r 제곱에 d 쎄타 제곱이죠.
[02:15] 이는 전체 길이의 작은 부분으로 δs 인데, 단지 a(t)와 r, 이 경우 (고정된 반지름을) r0 라고 놓고 각도만을 변화 시킵니다. 이는 미소 각도 근사(small angle approximation)입니다. 아주 작은 값이죠. 이 작은 조각들을 모두 더하여 전체 원주의 길이를 구합니다. 작은 조각을 모두 더하는 것을 적분이라고 하죠. 따라서 (δs를 적분하면) 원주의 길이를 알 수 있는데, 각도에 대해 0에서 2π 범위에서 적분 하면 전체 원 둘레의 길이가 됩니다.
[02:48] 각도는 라디안이고 a(t) r0 에 δθ 를 dθ 로 바꾼 것이죠. 아주 작은 양의 각도에 극한을 취한 겁니다. 그러면 이 적분은 어찌 될까요? 그렇죠. 여기에서는 (적분 변수가 θ 뿐이므로) a(t) 와 r0 모두 상수로 취급됩니다. 그러므로 단지 r0로 고정되었을 때 dθ에 대한 0 에서 2π 구간의 적분입니다. a 와 r0는 밖으로 빼냈구요. 적분은 단지 1 곱하기 쎄타 입니다. 이 적분은 θ가 될 것이고 구간은 0에서 2π 이며, 결국 2π r0 a(t) 죠. 이 결과가 바로 예상했던 대로 원둘레 길이 입니다. 원둘레 2π r0에 a(t)에 곱해 졌습니다. a(t)는 우주가 언재든 팽창하거나 수축할 것이라고 가정 했었죠. 자. 아주 쉽죠.
[04:02] 이번에는 약간 복잡하게 될텐데 (RW 측량으로) 원의 반지름, r 혹은 지름, d 를 따져볼 겁니다. 다시 RW 측량을 살펴보죠. 길이 측량 δs에 영항을 주는 반경 r에 대한 변화를 볼 겁니다. 그러니까 각도 θ 와 φ 는 고정시켜 두고 r이 변화 합니다. 지름은 반경의 두배죠. 두배의 반경은 0에서 r0까지 구간의 적분과 같게 되죠. 단지 a(t) 와 dr을 1 빼기 k r 제곱의 제곱근으로 나눈 겁니다. 분모의 제곱근 안에 k 가 있군요. RW 측량 식에서 dr 항을 취한여 얻습니다. δθ 와 δφ 는 0으로 두고 ds를 취하기 위해 제곱근을 씌운겁니다. 이제 a(t)에서 t를 고정 하기로 합니다. 그러면 a 를 밖으로 빼고 1 나누기 1빼기 k r제곱의 제곱근에 대해 적분을 하겠습니다. 이 (제곱근 분의 일)부분의 적분은 다소 난해 합니다. 분모의 k 가 0보다 작거나 클때에 따라서 결과가 달라지기 때문이죠. 그럼 k를 -1 혹은 1일 때로 단순화하여 생각해 봅시다. 두가지 경우에 대한 각각의 적분을 풀어봅니다.
[05:25] 만일 k가 양수일 경우(k>0), k는 여러 상수를 가질 수 있지만 +1로 단순화 시키기로 하죠. 동일하게 k가 -1이 아닌 음수를 가질 수 있지만 역시 -1로 단순화 시키기로 합시다. 그럼 k를 +1 와 -1로 놓고 풀어봅시다. 이제 이 적분을 풀어볼까요? 좀 복잡하네요. 약간의 요령이 필요하겠어요. 대수(algebra tool)를 온-라인으로 풀어주는 웹사이트를 찾아보죠. 아니면 컴퓨터에서 수행되는 대수 도구를 사용 할 수도 있죠. 여기에서는 사용할 도구는 이겁니다. 무료 온-라인 컴퓨터 대수 도구로 SAGE 가 있습니다. 소스 공개형 컴퓨터 대수 시스템입니다. 주소는 sagemath.com 입니다. 여러분도 스스로 사용해 보세요.
[06:00] 제가 한 것을 보여드리죠. 변수로 r을 지정하고, r=var('r'), k를 1로 취했다고 하고, 여기에 음수로 놓았습니다. integrate(1/sqrt(1-r^2), r). 1 나누기 제곱근 1 빼기 r제곱을 r의 함수로 놓고 적분 한 겁니다. 그리고 실행 시켰습니다. 결과로 r의 아크 사인이 나왔군요. arcsin(r).
[06:22] 이번에는 k 가 음수로 조건을 바꿔보죠. 이 부분을 양수로 바꿔야죠. 그러니까 k 가 -1 이니까, 1 나주기 제곱근 1 더하기 r 제곱 입니다. integrate(1/sqrt(1+r^2), r). 이렇게 하면 적분 결과는 아크 하이퍼볼릭 사인이 되는군요. arcsinh(r).
[06:39] k에 다른 상수값을 넣어볼까요. 일테면 1.003 이라고 하죠. 전체적으로 곱해지는 상수값만 바뀔 뿐이죠. 전체에 곱해지는 상수와 삼각함수의 변수에 상수가 곱해 지네요.
[06:51] 그럼 우리가 알아낸 바는 반경이 2 곱하기 a(t) 가 밖에 있고, k 가 1일 때는 r0의 아크 사인, arcsin(r0), k 가 -1일 때는 r0의 아크 하이퍼볼릭 사인, arcsinh(r0) 이 됩니다. 그외 다른 상수를 적용해도 결과 함수형은 변함이 없어요. 그럼, 이 적분 결과는 (RW측량이 적용되는)이 우주에서 π(원주율)값이 어떻게 변화할지 알려주고 있어요.(원주율 π는 상수 아닌가요?)
[07:30] 앞서 보였지만 π는 c 나누기 d 였죠(π = c / d). (k 가 0인 우주에서는) 지름이 d인 원의 원주길이 c는 2π 곱하기 r0 입니다. (RW측량으로 k 가 0이 아닌 경우 π를 계산하면) 분모 분자의 2는 약분되고, 반지름이 r0로 고정된 우주(k=0임)에서 원주율을 π0 라고 합시다. t의 함수 a(t) 도 역시 약분 되네요. 그럼 r0 나누기 arcsin(r0) 또는 arcsinh(r0) 가 남습니다.
[07:59] 자, 이제 원주율 π는 상수가 아니예요. 변화한다는 얘기죠. 어떤 식으로 변할까요? 다시 컴퓨터 대수 시스템을 활용해 보죠. 분모에 삼각함수를 넣었는데, 앞서 구한 r 나누기 아크 사인, r/arcsin(r)으로 놓고 변화를 살펴볼까요. plot(r/arcsin(r), (r,0,1)) 세로축이 (RW 측량이 적용된 우주의) π 입니다. r0인 우주에서 (원주율은) π0 였습니다. 반지름 r이 아주 작을 때(소규모 우주) 원주율이 π0가 된다는 것을 보여주죠. 하지만 우주의 반경(우주 규모)을 점점 늘리면 π 값이 줄어들어요.
[08:40] 이제, k 가 -1인 우주를 보죠. 분모가 아크 하이퍼볼릭 사인, arcsinh(r) 이 되겠죠. 이번에도 컴퓨터 대수 도구를 실행 시켜서 모양을 볼까요? 작은 규모의 우주라면 예상대로 π0 입니다. 하지만 반경 r이 커짐에 따라 π 값도 점점 커져요.
[09:02] 이로부터 우리가 알 수 있는 것은 원주율 파이는 k가 0일 때 상수 입니다(k=0). 만일 k가 양수(k>0)라면 원주율 파이는 (반지름이) 작은 규모라면 이미 알고 있던 값과 같습니다. 하지만 원의 규모(반지름 r)를 크게 할 수록 원주율은 작아지죠. 만일 k가 음수(k<0)라면 양상은 달라 집니다. 그리고 (원을 측정하는) 규모가 커질 수록 원주율 파이는 커지요.
[LQ2.2]-----------------------------------------------------------
We derived the value of for the cases where k=1 and k=-1. How would behave if k=0?
[A] would have its normal value at all radii correct
b) would be lower than normal at all radii
c) would be larger than normal at all radii
d) would be close to normal at small radii, but would then grow as the radius becomes larger
e) would be close to normal at small radii, but would then shrink as the radius becomes larger
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