제1부(요약). 공간과 시간(Space and Time)
제2부. 우리 우주의 역학과 기하학(Geometry and Dynamics of our universe)
V2.1 로버트슨-워커 측량(The Robertson-Walker Metric) /동영상강좌/영문자막/한글자막
[00:00] 폴: 자 이제까지 시간과 공간에 대한 이론, 아인슈타인의 일반 상대론에 대해 살펴봤었습니다. 그리고 그 이론은 물질이 떨어진 두 원소가 실제로 얼마나 근접해 있는지 알려주는 측량법(the Metric)을 지배한다는 겁니다. (중력은 실제하는 것이 아니며 질량을 가진 물질이 즉량법을 바꾼 결과다.) 그리고 그 측량법은 피타고라스 정리(직각에 기반을 두고 있는)와 같이 익히 알고있던 방법과는 사믓 다르며 살제로 휘어질 수 있어서 (직교 좌표에 익숙한 기존의 관점에서 보면) 아주 이상하죠. 그리고 이로 인해 물체들이 아주 이상하게 움직입니다. 그런데 이런 이론과 현상이 대체 우주론어 어떻게 엮이단 말인죠?
[00:24] 브라이언: 네. 저는 아주 운이 좋다고 생각되요. 왜냐면 당신도 알다시피 공간을 비틀거나 휠 수 있는 방법을 수도 없이 많이 알고 있잖아요. 그런데 우주는 다행 스럽게도 어디를 보나 아주 균일 하답니다. (수학적으로 공간을 매우 다양하게 변형 시킬 수 있으니 우주는 균일하므로 선택은 하나다. 그런 점에서 우주를 수학, 특히 기하학으로 설명하는데 아주 다행이다) 그말인 즉슨 우주의 모든 부분이 다른 부분과 서로 다 같다는 거죠. 따라서 어느 방향으로 특정 할 수도 없어요. (흔히 좌표계를 정할 때 원점을 두고 증가하는 방향을 지정하는 따위를 할 수 없다.) 그리하여 결국 어떤 측량법이 가능하고 불가능한지 판가름 하는 지렛대가 될 수 있다는 점이 밝혀졌죠. 그리고 이는 알렉산더 프리드만(Alexander Friedmann)이 마침내 이런 기묘한 생각을 고안해 내기에 이르럿어요.
[참조]--------------------------------------------------
* 알렉산드르 프리드만 (Alexander Friedmann)
알렉산드르 알렉산드로비치 프리드만(러시아어: Алекса́ндр Алекса́ндрович Фри́дман, 1888–1925)은 러시아의 물리학자이자 수학자다. 현대 물리우주론의 기반을 이루는 프리드만 방정식을 발표하였다.
* 프리드만 방정식 (Friedmann Equation)
물리우주론에서, 프리드만 방정식(Фридман方程式, 영어: Friedmann equation)은 등방적인 우주의 팽창과 수축을 나타내는 미분방정식이다. 러시아의 수학자 알렉산드르 프리드만의 이름을 딴 것이다.
* 현대 우주론의 근간이 된 가장 큰 발견(혹은 관측) 두가지를 들면 '등방우주'와 '우주의 팽창'이다!
---------------------------------------------------------
[00:54] 먼저 구면 좌표계에서 물체가 어떻게 움직이는지 생각해 봅시다. 사람들이 보통 잘 다루지 않는 좌표계이긴 한데요,
[01:02] 폴: 좋아요. 우리가 이미 측량법(the metric)에 대해 배웠으니까, 두 물체의 x,y,z 값을 알고 있으면 그 둘이 얼마나 멀리 떨어져 있는지 잴 수 있다는 거죠. 그리고 우리는 원통 극좌표(cylindrical polar coordinates)에 대해서도 배웠죠. 우리 주변에 놓인 물체의 위치를 높이와 함께 측정하는 것이 었습니다. 그외 세번째 형태의 좌표체계가 있어요. 그리고 이 세번째 좌표계는 우리가 사는 우주의 바른 측량법을 이해하는데 실질적으로 필요한 것으로 밝혀 졌죠. 이 좌표계를 구면 극좌표계(spherical polar coordinates)라고 합니다. 이 좌표계는 천구의 위치를 측정할 때 사용되기도 하죠. 적위(Declination), 적경(RA, Right Ascension) 그리고 위도(Latitude)인데 지구에서 보면 위도과 경도는 구면 극좌표계 입니다.
* 구면 극좌표에 대한 참고, 넘겨짚어보는 가우스 함수와 적분(feat.부분적분법, 중적분, 야코비언)
극점에서 아래로 내린 각도를 측정하며 이를 쎄타(Theta, θ)라 합니다. 해당 지점까지의 거리가 r 이죠. 적도를 따라 각도를 재는데 이를 파이(Phi, φ)라 하죠.
[01:48] 브라이언: 그럼, 만일 우리가 멀리까지 가고 싶다면, 그러니까 ds는 A와 B사이를 여행 하려면 얼마나 먼지 알려주는 것이네요. 그리고 우리가 알고자 하는 A의 좌표값이 r, 쎄타(θ) 그리고 파이(φ) 이구요. 그리고 만일 목표지점까지 반경 r만 제대로 안다면 거리 s 를 즉시 계산할 수 있겠네요.
[02:11] 폴: 맞아요. 만일 거리 r 만 움직였다면 미소 변위 ds는 dr 이 되는 셈이죠.
[02:16] 브라이언: 그거 쉽네요.
[주]----------------------------------------------
구면좌표계의 변위 측량에서 차원 해석(Dimensional Analysis)
각도의 변화가 위치의 변화를 일으키지만 각도로 변위를 측량할 수 없다. 각도는 원의 반경과 원주 길이의 비율(호도법)로서 차원이 없는 값이기 때문이다.
* 차원 해석(Dimensional Analysis)에 관한 연습 문제를 풀어보자.
----------------------------------------------
[02:17] 폴: 이번에는 각도를 극점에서 아래로 내리면 이는 마치 지구에서 위도를 낮추거나 하늘에서 각도를 내리는 것과 같죠, 그리고 다시 각도를 벌려 목표지점까지 움직이면 점점 벌어 지죠. 만일 아주 가갑게 있다면 각도를 조금만 움직여도 되고 긴 작대기를 뻗어 움직였다면 (작은 각도에도) 사이는 아주 벌어집니다. 이는 미소각도 근사인데 이번 강좌에서 여러번 얘기했던 겁니다만, 벌어진 각도로 나온 거리는 반경 r 곱하기 각도 변화 쎄타(θ)입니다. (호도법의 원호길이)
[02:47] 브라이언: 맞아요. 그러니까 s는 당신이 움직인 거리인데 라디언 각도와 반경의 곱입니다(원호의 길이). 그리고 미소 각도가 dθ 로 근사하기 때문에 가능한 아주 작은 값을 취해야 모두 제대로 위의 미소 변위 측정이 성립합니다. (ds는 미소거리, θ 축에 대응하는 미소원호는 모두 반경 곱하기 미소각도 dθ)
[03:02] 폴: 그렇습니다.
[03:03] 브라이언: 그럼 조금 더 복잡한 변위를 볼께요. 각도 φ 축은 조금 더 복잡합니다. 지구로 치면 적도면이 아닌 위도가 올라간 지점에서 원을 그리기 때문인데 위로 위도를 높였더라도, 원주를 도는데 예를 들어 남위 45도에서 지구를 돈다고 해보죠.
[03:22] 폴: 그래요. 여기 보다시피 적도라면 sin(θ) 는 1입니다. 따라서 적도를 따라 돌면 각도 φ 곱하기 반지름 r 이죠. θ 축으로 했던 원호길이 계산과 같아요. 하지만 각도를 극점으로 다가 갈수록 회전 반경이 줄어듭니다. 적도(90도)에서 한바퀴 도는 것보다 +89도에서 한바퀴가 조금 짧죠. 그리고 sin(θ)의 제곱으로 곱해집니다. (1보다 작은 값을 제곱하면 훨씬 작은 값이된다) 사실 만일 북극과 남극에 서면 제자리에서 지구 한바퀴 돌 수 있어요. θ 가 0 또는 180도 이므로 sin(θ) 는 0 이기 때문입니다. 그러므로 제자리에서 한바퀴 돕니다.
[03:57] 브라이언: 맞아요. 그거 완벽한 비유 인데요. 여기를 보세요. r 곱하기 sin(θ) 가 반지름이 되죠. 그러니까 dφ 앞에 두면 당연히 작아지게 됩니다.
[04:14] 폴: 네. 이제 운동을 기술할 변위의 세가지 요소를 갖게 되었죠. 밖으로 향하는 반경 r, 아래로 θ 그리고 회전하며 φ 죠. 그런 후 각각을 제곱하여 모두 더하면 피타고라스 정리가 되죠. 결국 얼마나 움직였는지 알려 줍니다.
[04:25] 브라이언: 그렇죠!
[04:26] 폴: 그렇습니다! 이것이 평평한 우주(flat universe)에 대한 일반적인 측량법입니다. 하지만 로버트슨-워커 측량(Robertson-Walker metric)은 우리의 우주에 적용할 측량인데 만일 우리의 우주가 어느 방향으로 균일 하다면, 등방성(isotropy)이라 하죠, 약간 달라집니다. 그렇게 많이 다르진 않지만 이해 하려면 생각을 많이 해야합니다. 그러니까 다시 ds를 보죠. 앞서 했던 것과 같아요. dr을 제곱하고, r제곱과 dθ 제곱 그리고 sin(θ), dφ 가 보이죠.
[04:53] 브라이언: 여기만 빼고 다 같네요.
[04:59] 폴: 우주가 균일 하다면, 그러니까 어디든 다 같다는 거죠, 이 부분이 측량에 해당하는데요,
[05:06] 브라이언: 네.
[05:07] 폴: 이부분이 정말 중요한 조건 사항입니다. 규모를 좁히면 우주는 균일하지 않죠, 그러니까 규모를 좁히면 측량이 달라져요. 마치 태양의 주위를 도는 지구의 규모 말이죠. 하지만 정말 큰 규모로 보면 이렇게(로버트슨 워커 측량 처럼) 되어야 합니다. 그리고 여기 두개의 아주 흥미로운 항이 있어요. 그럼 여기에 어떤 의미가 있을까요?
[05:20] a(t) 제곱은 전체를 곱하는 것이구요. a 가 t의 함수네요. 그러니까 t는 시간 입니다. 이는 거리나 각도에 무관 한 겁니다. 오직 시간에 관련된 함수죠. 그게 무슨 뜻일까요?
[05:30] 브라이언: 그럼 한번 생각햐보죠. 만일 시간에 비례하여 커진다고 해보죠. 시간이 갈 수록 증가하고 나머지 측량에 곱해집니다. 그 뜻은 측량이 점점 커지게 된다는 거죠. 이는 팽창하는 우주를 의미합니다.
[05:49] 폴: 네. 두 물체가 어떤 좌표계에 놓여 있다고 하죠, 아무일도 없이 그냥 특정 r과 각도 φ가 있는데 가만히 있어도 멀어집니다.
[05:57] 브라이언: 아. 그렇군요. 그말은 우주가 팽창한다는 것을 표현한 것처럼 들리는데요.
[06:00] 브라이언: 맞아요.
[06:02] 폴: 만일 a(t)가 점점 커지면, 물론, a(t)는 실제로 작아 질 수도 있겠죠. 나중에 a(t)가 어떻게 될지 다시 보도록 하겠습다.
[06:09] 브라이언: 좋습니다. 그럼 다른 항들을 살펴볼까요. 그러니까 dr 제곱이 1 빼기 kr 제곱 말이죠. 아주 흥미로운 항 이네요. 이 항이 어떻게 작용하는지 생각해 봅시다.
[06:22] 폴: 네. 이 부분이 당장 난해해 보입니다. 왜냐면 파이(π, 원주율)가 다를 수 있음을 보여주는 겁니다.
[06:30] 브라이언: 그래요....
[06:30] 폴: 파이(π, 원주율)에 대해 생각해 보면 원이 떠오르죠. 그리고 원주에 관한 것이죠. 원의 둘레를 지름으로 나누면 π가 됩니다. 여기에 보듯이 a(t)값을 고정 시켜놓고 두 각도 θ와 φ 를 움직이면 변위는 여기 이 계산대로 나옵니다. 특별 할게 없어요. 하지만 만일 밖으로 뻗는은 반경을 바꾸면 변위는 커지거나 작아지겠죠. 우리가 보통 생각했던 것보다요. 이 변위는 k가 0, 음수 혹은 양수이냐에 따라 다를 겁니다.
[06:57] 만일 k가 양수(k>0)라고 해보죠. (분모부분은) 1빼기 어떤 값이됩니다. 그러니까 어떤 값(dr제곱)을 1보다 작은 값으로 나누게 되죠. 작은 값으로 나누니까 이 항은 커지게 됩니다. 따라서 원이 있을 때 원주길이가 같아야 하지만 반경이 커져요. 만일 k가 다른 값을 가지면 반경이 작아질 수도 있죠. 좀 이상하게 들리죠.
* 원의 둘레 길이를 측정려는 중이다. 원둘레가 커지면 원주율 π 가 유지되어야 하므로 반경도 늘어나야 한다. 원의 반경이 변화하는데 불구하고 원주길이가 같다고 한다면 모순된 것 아닌가?
[07:12] 브라이언: 그것 참 기묘한 생각이네요. 근데... 지구에사는 우리 주변의 것과 비유할 만 한게 있으면 좋겠네요.
[07:18] 폴: 자. 그럼 π 가 어떤 의미를 갖는지 살펴볼께요. 우리가 k 값을 변경 하였을 때 말이죠.
[07:24] 브라이언: 좋아요. 그렇게 하죠.
[LQ2.1]------------------------------------------------------------------
Why do we believe that the Robertson-Walker metric is the one that describes our universe?
a) Because spherical polar coordinates have the most symmetry.
b) Because it predicts an expanding universe.
[C] Because it is the only metric that is the same everywhere. correct
d) Because Einstein said so.
* This metric is the only solution to General Relativity that is the same at all locations and in all directions. While it can predict an expanding universe, it can also predict a shrinking one, and there are many other metrics that can have expansion.
[이전글]<----------[목록]---------->[다음글]
댓글 없음:
댓글 쓰기