러더포드 산란(scattering) 실험에서 충돌 단면 계산을 고전적 방식으로 계산해 본다.
We will calculate with classical arguments of Rutherford the cross section of a small nucleus of charge z scattering of a heavy nucleus of charge Z. The basis of this calculation, is the relationship between the differential cross-section and the dependence of the impact parameter b on the scattering angle theta.
소형 하전 입자 z+가 무거운 입자 Z+와 탄성 충돌하여 각도 θ로 비켜나갔다. 산란각 θ로부터 충돌 인자 b와 미분 단면 사이의 관계로부터 계산을 시작한다.
First we use the fact that the kinetic energy is conserved, and that, as there is no recoil of the target, the initial and the final projectile velocities are the same.
가벼운 z+의 입사 속도 v_i 와 산란 속도 v_f 가 같고, 무거운 입자 Z+ 미동도 하지 않았다. 탄성 충돌로 운동 에너지 보존된다.
In the same way, the angular momentum will be conserved, which tells us that mvb is a constant. This means that dγ/dt can be expressed in terms of the initial velocity of the projectile, the impact parameter and the distance squared between projectile and target.
각 운동량(angular momentum)도 보존된다. 즉, mvb 가 상수다. 이는 각속도 dγ/dt 가 입사입자의 입사속도 v와 충돌 인자(impact parameter) b 곱에 입사 입자와 목표 입자 사이의 거리 r의 제곱에 반비례한다고 나타낼 수 있다.
This serves to express the Coulomb force, which is just the product of the two charges divided by 4 pi r^2, times the unit vector which connects the projectile and the target, in terms of what we know that is to say, the projectile velocity and the impact parameter.
입자가 휘도록(산란되도록) 만든 힘은 원인은 오직 전기적 반발력, 즉 쿨롱 력(Coulomb force)였다. 이 휨으로 인해 입자의 속도는 변함이 없는 탄성 충돌이지만 속도 벡터의 방향이 변화하였다. 입자의 속도 벡터 변화로 인한 힘과 쿨롱 힘을 등가로 놓자. 그리고 쿨롱 힘은 두 입자의 거리 벡터 r의 제곱에 반비례 한다. 거리 벡터 r과 관계된 각도는 γ 다.
When we integrate this relationship between γ = 0 and γ = π - θ, one side is the vector difference between the final and initial velocities. The other side is the integral over the relationship we just obtained.
양변을 적분하여 위의 미분 방정식을 풀자. 좌변은 정적분은 속도 벡터의 차, 우변은 다소 복잡하지만 감마의 범위는 θ에 의존한다. 따라서 γ = 0 와 γ = π - θ 를 적분 구간으로 삼는다.
With a little trigonometry, we get – rather painfully – the value of this integral.
삼각 함수의 간단한 적분이다.
삼각함수의 합각, 반각, 배각의 공식을 활용하여,
벡터 r의 적분 값을 구한다.
이므로,
탄성 충돌한 입사입자의 충돌전 속도와 충돌후 산란 속도의 관계를 알고 있다. 벡터의 합 공식과 이등변 삼각형을 응용하면 두 벡터의 차분 스칼라 값은 다음과 같다.
이제 입사 입자의 운동과 쿨롱 힘의 관계식에 적용해보기로 하자.
수학 문제풀기에 천착하다보면 소위 '현자 타임'이 올때가 있다. 말하자면 이렇게 수학 풀이를 끌고오는 동안 이유를 잊는다. 원자의 모형을 밝히기 위해 하전 입자를 조사하여 입사 입자가 산란되는 현상을 관측하고 이를 바탕으로 원자 이하의 구조가 어떤지 밝히고자 했었다.
원자 이하의 구조를 밝히기 위해 충돌 단면(cross section)가 매우 중요하다. 즉, 충동 요인인 b 값을 구하기 위해 그리고 보이지 않는 입자의 행동을 분석하기 위해 이런 수학이과 개념이 동원된 것이다.
미분 '(산란)단면'을 되집어보자.
충돌 인자의 미분은,
마침내 '단면'을 구하기 위한 모든 준비가 되었다. 대입하여 정리해보자.
마.침.내. 다음과 같은 '단면' 미분식을 얻었다. 이것을 어디에 쓸지 다음편에서 살펴보자.
In this forth video we give an example for calculating and measuring a cross-section for
the Rutherford experiment, which is the scattering process which demonstrated the existence of the atomic nucleus as we know it today.
러더포드 실험은 기본적으로 산란 실험으로 아원자의 존재가 있음을 보여 줬다. 러더포드 실험의 단면 측정과 계산의 예를 보기로 한다.
The goals are
- Apply the concept of cross-section, in a process that can be treated in a semi-classical manner.
- Compute an interaction rate from the characteristics of an experiment.
- We will use a seminal experiment to demonstrate, how the cross-section serves to understand unknow subatomic structure of a target. Geiger and Marsden measured in 1909 the angular distribution of alpha particles – fully ionized He-4 – scattering off thin foils of heavy metal like gold.
'단면(cross-section)'이 미지의 원자보다 미시의 구조를 밝히는데 어떤 역활을 하는지 보여주는 역사적인 실험이다. 가이거와 마스덴(Geiger-Marsden) 1909년에 금(gold)처럼 무거운 금속 박막(thin foil)에 쪼인 알파 입자(alpha particle, 완전 이온화된 헬륨4)가 원형 분포(angular distribution)를 하는 것을 관찰 하였다.
- The preferred model of the time for the nucleus and for the atoms was due to Thomson who had discovered the electron in 1897. This model described the atom as a homogeneous positive substance in which electrons are embedded. It thus has a very modest charge density. In this case, the alpha particles, being much smaller than atoms, should be able to penetrate the foil with only minor perturbation.
그때까지만 해도 원자(atom)와 핵(nucleus)은 1897년 전자를 발견한 톰슨(Thomson)의 모형이 주류였다. 톰슨 모형(Thomson model)은 양성(positive)을 띤 단일한 기초(substance)에 전자(negative electron)를 담고 있는 원자의 모습이다. 따라서 원자는 (전자와 양성자의 균형을 이루고 있으므로) 아주 느슨한 전하 밀도(charge density)를 가지고 있으므로 알파 입자(α-particle)는 약간의 요동(minor perturbation)만 있을 뿐 그대로 통과 할 것으로 봤다.
- If on the other hand, the atom consists of a tiny, dense, and positively charged nucleus surrounded by electrons to fill the atomic volume, as proposed by Rutherford, larger scattering angles would be possible.
한편 러더포드(Rutherford)는 아주 좁은 영역에 밀집되어 양성으로 하전된 핵에 전자가 둘러 싸고 있는 원자 모형을 제안했다. 러더포드가 주장한 모형 대로라면 알파 입자를 주입하면 (튕겨져 나와) 큰 각도로 산란되어야 할 것이다. 바깥에 음전하를 띈 전자가 둘러 쌌다면 외부에서 조사한 양전하인 알파 입자는 (전기적 반발로) 튕겨 나가야 한다.
As we have seen in the previous video, the classical calculation of a cross section requires to find the relation between the impact parameter b and the scattering angle θ. We will calculate the relation for non relativistic velocities of the incident α particle.
충돌 인자 b와 산란각 θ의 관계를 입사한 알파 입자의 관계를 알아보자. 입사하는 알파 입자의 속도가 빛의 속도에 다다르지 못했을 것이므로(가속되지 않음) 비상대론 적으로 계산하기로 한다.
We base this calculation on three laws.
계산에 활용할 물리법칙은 다음과 같다.
- The first one is Newton's law which relates the rate at which the momentum changes to the Coulomb force between projectile and target nucleus.
첫째, 입사한 입자와 충돌 목표입자 사이의 쿨롱력(Coulomb force, 전기 반발력)이 입사 입자의 속도 벡터가 지속적으로 변하게 하는 가속 운동의 힘으로 보고 뉴턴 법칙을 적용한다.
- The second law is the conservation of kinetic energy, characteristic for elastic scattering on a heavy target, which does not recoil when hit by the projectile.
두번째, 입자의 충돌을 무거운 목표 입자에 입사 입자가 탄성 충돌한 것으로 보고 운동량 보본 법칙을 적용한다. 이때 목표 입자의 움직임은 없다. 따라서 운동량 손실은 없으므로 입사 입자의 입사 속도 v_i 와 산란 속도 v_f의 크기는 같다. 속도 벡터의 방향은 다르다. 탄성 충돌로 보고 속도 벡터의 변화를 잃으킨 힘이 존재 하나 속도 벡터의 크기는 같다.
- The third one is the conservation of angular momentum which introduces the angular velocity dγ/dt.
각 운동량 보존 법칙이다. 충돌한 입사 입자가 튕겨 나가며 각 지속적으로 각 운동량 변화를 보인다. 고정된 목표 입자에 대해 지속적으로 각도의 변화를 보이는 입사 입자의 각 운동량 변화를 표현하기 위해 γ를 도입한다. 입사 입자의 각 속도는 dγ/dt다.
Combining these three equations we obtain the relation between the impact parameter b and the scattering angle theta, which we are looking for. If you are interested in the details of the calculation, we refer you to the video 1.4a.
이 세가지 물리법칙을 활용하여 우리가 알고자 하는 충돌 인자 b와 산란각 θ를 계산 할 수 있다. 이 계산에 대해 더 자세히 알고 싶다면 1.4a 강의 편을 보라.
- Inserting our result into the general relation for the classical cross-section, we obtained the differential cross-section for the Coulomb interaction with a point like heavy target.
위의 단면 미분식 dσ(θ)/dΩ 을 구하는 과정은 1.4a 편을 참고 하고 이 식의 의미를 살펴본다. 아래에 언급하는 '단면(cross-section)'은 충돌 확률을 뜻한다.
- The cross section is proportional to the square products of the two charges (zZ e^2). This factor determines the order of magnitude of the cross section.
'단면'은 두 입자의 하전량 곱의 제곱에 비례한다. 단면의 크기를 결정짖는 요인이 된다.
- The cross section is strongly peaked in the forward direction according to 1/sin(θ/2) to the fourth power, and inversely proportional to the square of the kinetic energy of the projectile. These factors are due to the propagator of the photon exchanged between the two reaction partners.
'단면'은 입사 입자의 진행 방향과 일치하는 지점에서 최대가 된다. 위의 단면 미분 식을 봐도 산란각의 네제곱 사인과 운동 에너지에 반비례함을 알 수 있다. (충돌)반응하는 두 입자 사이에 광자의 전파원(the propagator of the photon)에 영향을 주는 요인이 된다,
- These basic properties have indeed been experimentally established by Geiger and Marsden counting the impact of the scattered alpha particles on a screen covered
by zinc sulfate. This molecule emits a small flash of light when hit by a charged particle. The experimenters counted these flashes by watching the screen through a microscope.
위와 같은 단면에 관한 기본 특성(같은 전하를 가진 입자의 전기적 반발력으로 인한 산란을 탄성 충돌로 해석한 현상)들은 가이거와 마스덴의 실험으로 이미 알려져 있었다. 이 실험에서 황산 아연(zinc sulfate)이 칠해진 스크린 위로 산란된 알파 입자를 세어 봤다.
Is it realistic to count scatters by eye in such a setup? The small video 1.4b will convince you by actually calculating the rate.
그런데 육안으로 산란된 입자를 세어 볼 수 있을까? 1.4b편 동영상을 참고하라.
So the procedure to measure a cross section is thus clear.
이제 단면을 구하는 방법은 명홛해 졌다.
- One must count the rate of interactions per second. For that we need a detector
at a distance r covering a surface r^2 dΩ.
초당 반응율(interaction rate)을 계산한다. 이 계산을 위해 충돌 지점에서 검출기까지 거리 R에서 산란 면적은 r^2 dΩ.
- One must then normalize the counting rate by the maximum possible interaction rate to obtain a probability.
(충돌)확률을 구하기 위해 반응율을 최대로 잡고 평균한다.
The maximum rate is obtained when every projectile interacts with the target.
최대 반응율은 모든 입사 입자가 목표 입자와 모두 충돌 했을 경우라고 보자.
It is thus the product of the incident rate and the surface density of the target particles.
이는 시간당 입사 입자의 갯수 곱하기 목표 입자의 표면 밀도가 된다.
It can also be expressed by the flux of projectiles multiplied by the number of target particles covered by the incident beam.
이는 결국 입사 입자의 플럭스를 입사 입자가 조준한 면적에 해당하는 목표 입자의 갯수의 곱과 같다.
- The proportionality factor between the counted rated and the maximum counted rate
is the cross section.
결국 실측 충돌 율과 최대 중돌율 사이의 비례값이이 단면이다.
- The proportionality factor between counting rate and cross section is called luminosity.
- In the laboratory frame where the target is at rest it is given by the rate of the incoming beam times the surface density of target particles. If you want to use the volume density of the target you multiply by the target thickness.
- In the center of mass frame, where two beams collide head-on like in a collider, the luminosity is proportional to the population of the two beams, N_a and N_b, and to
the frequency f at which they cross. And it is inversely proportional to the common surface S of the two beams.
- Counting rate and luminosity thus depend on the details of the experiment that we are conducting. Their ratio, the cross section, characterizes the physical process independent of these details.
Until now we have only considered processes using the tool kit of classical physics. But we already know that this is not sufficient. In the next video we will show how quantum physics approaches scattering processes. Further on we will introduce an indispensable tool kit of particle physics, Feynman diagrams.
이번 강의에서 보여준 방법은 고전 물리(두 입자의 반응을 탄성 충돌로 해석)로 살펴봤다. 우리가 이미 알고 있듯이 이는 충분하지 않다. 다음 강의에서 입자 사이의 산란 현상을 양자 물리를 도입하여 살펴보기로 한다. 아울러 입자 물리학의 없어서는 않된 도구인 파인먼 도(Feynman diagram)에 대해서 알아본다.
W1.3a 광자 빔의 감쇄(Attenuation of a photon beam)/동영상/영문자막/슬라이드
광자 빔이 납 판을 통 동과하며 일어나는 감쇄를 계산 해봄으로써 단면과 확률의 관계를 알아보기로 한다. 이 계산의 결과는 상당히 의외의 결과가 나온다.
We calculate the attenuation of a photon beam of energy 1 MeV by a one centimeter thick lead plate.
The attenuation of the beam intensity I is exponential with three factors in the exponent:
- the cross section σ between photons and lead nuclei
- the density ρ of target nuclei
- the thickness ∆x of the target
Let us first consider lead properties.
- mass density is about 10,000 kilograms per cubic meter. The molecular weight is 0.20 kilogram per mole and the number of nuclei per mole is given by Avogadro's number.
- the cross section between 1 MeV photons and lead nuclei. We get it from the data collected by the Particle Data Group. And 1 MeV we find a huge cross section of about 10 barns.
With this we can calculate the attenuation of the beam.
First, the number density of lead nuclei is approximately 3 times 10^28 per cubic meter.
The exponent of the attenuation law is thus of the order of 0.33. That is to say that the beam is attenuated by only about 28%. There is no less than 72% of the beam which passes this one centimeter thick lead plate, despite the enormous cross section.
감쇄는 지수 함수로 일어난다. 1MeV의 광자가 두께 1cm의 납판(lead sheet)을 통과 할 때 약 28%의 감쇄가 있을 뿐이다. 단면이 엄청 큼에도 약 78% 가량의 광자는 그냥 통과해 버린다.
* 납판으로 (방사성)입자(전자기파)를 막으려면 엄청난 두께의 납으로된 방호벽이 필요하다. 빛을 가리는 것은 아주 극히 일부 영역의 가시광을 차단했을 뿐이다. 고에너지 전자기파는 두꺼운 철판도 통과한다. 원자력 발전소 원자로 내부 압력용기의 철판 두께는 23cm, 외부 콘크리트(고에너지 방사선 차단 효과는 없겠지만) 두께 1.2m
W1.3 확률과 단면(Probability and cross section)/동영상/영문자막/슬라이드
During this first module, we are introducing the objects studied by particle physics namely matter, forces and space-time but also, of course, reactions between particles.
이 강좌의 첫주 강의는 이번 입자물리학 강좌의 학습 목표를 소개한다. 물질을 구성하는 입자, 힘을 나르는 입자를 다뤘고 (입자가 빛과 그 속도로 움직이는 만큼) 시공간과 특수 상대론의 개념, 그리고 입자들 사이의 상호 반응을 살펴봤다.
* 이 강좌는 입자 물리학의 입문이지 물리학의 입문이 아니다. 수학(벡터와 선형대수, 미적분)의 바탕과 물리학(양자론, 상대론)의 개념을 이해했다는 전제하에 입자의 충돌 실험을 다룬다. 이 강좌를 진행하기 전에 필요한 물리 도구를 소개하고 있는데 모두 이해하려니 어렵다. 1주 강의 분량의 절반을 보는데 한달은 족히 걸린다. 이러다 1주도 다 못끝내고 지치겠다. 깊이 배울날이 오길 기대하면서 용어 익히기 수준에서 만족하고 넘기기로 한다.
In this third video, we present the concept of probability, to characterize the strength of fundamental forces. We'll also define one of the most important quantities in particle physics, which is called the cross section. This quantity allows to calculate and to measure the strength of subatomic reactions.
이번 편은 입자가 가진 원천력(fundamental force, 약력, 강력, 전자기력등 입자마다 다름)의 강도를 특정 할 수 있는 확률(probability)의 개념에 대한 것이다. [*입자의 존재(위치와 에너지)를 특정 하지 못하고 오직 확률로 나타낸다.] 아울러 입자 물리학(아마도 입자의 충돌 실험)에서 가장 중요하게 여기는 값들 중 하나인 '단면(cross section)'에 대하여 알아보도록 한다. 이 (단면)값을 통해 아원자(입자)들의 상호작용의 세기를 측정하고 계산이 가능 하다.
After watching this video, you will be able to:
- define the cross section in terms of incident flux and number of target particles.
- relate the cross section to the probability, and the rate of a particle reaction.
이번 편을 보고나면 다음을 이해하게 된다.
- (충돌 장소로) 입사 흐름(incident flux)과 (충동 대상)목표 입자(target particle)을 '단면'으로 정의된다.
- 입자들의 반응 율(reaction rate)과 반응 확율(reaction probability)p을 '단면'에 관계되었다.
In quantum physics the motion of fields and their way of interacting is described by probability amplitudes and probabilities themselves. They are defined in a frequentest way by multiple measurements.
양자 물리에서 장의 움직임(motion of fields)과 상호작용(interaction)하는 방식은 모두 확률 진폭(probability amplitude)과 확률(probability itself)로 기술된다.
* 파동함수: 입자의 운동을 기술. 입자의 위치 특정 불가. 확률의 진동(파동)으로 기술
- For the movement of a particular the wave function ψ, describes the probability amplitude as a function of space-time, and the four-momentum of the particle, namely as a function of t and x and of energy E and momentum p. The probability density to find the particle at time t and at location x, is given by the square of the wave function ψ*ψ.
- 입자의 운동을 기술 하기 위해 고유 파동함수 ψ 를 사용한다. 이 파동 함수는 (4-벡터인) 시공간(space-time)과 입자의 에너지-모멘텀(energy-momentum)의 확률 진폭(probability amplitude)의 기술인 만큼 시간 t와 공간 벡터 x 그리고 에너지 E와 운동량 벡터 p의 함수다. 시간 t와 위치 x에서 입자가 존재할 확률밀도는 파동 함수의 제곱 ψ*ψ 이다.
Integrating this density over a finite volume gives us the probability that the particle is in this volume.
이 확률밀도를 유한한 공간(부피) 내에서 적분하면 그 부피 내에 입자가 존재할 확률이 된다.
- The probability amplitude M for a reaction is the joint probability amplitude that two current densities j_1 and j_2 meet and exchange a virtual photon of four-momentum Q.
* '가상입자(광자)'의 문제를 해결하기 위해 두 전자의 운동으로 해석 한다. 두 전자 사이의 가상 전자 방출과 흡수 과정에서 서로다른 네가지 운동량 벡터가 있다. 운동량 벡터는 공간 성분이므로, 확률 진폭 M을 제곱하여 확률 밀도를 구한다. 이를 운동량(공간 성분)에서 적분하면 위의 반응이 일어날 확률을 구할 수 있다.
The probability for the reaction is then given by the cross section sigma, which is proportional to the square of the amplitude |M|^2.
위와 같은 반응이 일어날 확률(probability for the reaction)을 단면(cross-section) σ 이라 한다. 단면 σ 는 확률 진폭 'M의 제곱'(확률밀도)에 비례한다.
- The physics of particle motion and particle reactions is thus expressed via statistical probabilities.
입자의 운동과 반응을 다루는 물리는 통계적 확률론에 기반한다.
* 현대 물리학은 확률이다. 고교 수학에 '확률과 통계'를 쉬운 과목이라고 하는 것은 잘못이다. 전자계산기를 사용한 정밀한 계산이 가능한 지금은 오히려 미적분 일반 풀이법이 퇴색되고 있다.
- Mathematically speaking, a probability is a real number between 0 and 1.
확률 값은 0과 1사이의 실수(real number)다.
- In a frequentist approach, the probability is defined as the ratio between the number of desired outcomes of an experiment, we might call successes, and the number of trials it took to obtain them. In terms of physics, this is the ratio between the number of times an event happens, and the number of times it could have happened.
빈도론(frequentism) 식의 접근(통계적 확률론)에서 확률은 맟춘(success) 숫자를 시도한(trial) 숫자로 나눈 비율로 정의한다. 물리학의 용어로 말하면 이는 사건이 발생한 숫자 사건이 일어 났을 숫자의 비율로 정의된다.
* Frequentist Probability: 수학적 확률에서 우연을 배제 하려면 시행 횟수가 감안 되어야 한다. 확율을 경우의 수에서 원하는 수의 비로 보는 것이 수학적 확율이다. 예를 들어 주사위를 던져 3이 나올 확률을 보자. 6개의 눈 중 원하는 한 눈이 나올 때 이므로 성공 확률은 1/6이다. 아주 단순한 수학적 비율이다. 하지만 이 확율이 맞을지는 우연을 배제할 수 없다. 실제로 이 수학적 확율을 따라 결정하는 일은 거의 없을 것이다. 시도 횟수를 늘여보자. 한번 시도해서 성공하는 경우는 확률보다 운에 가깝다. 하지만 시도 횟수가 충분히 많다면 그 확율은 수학적 확율에 근접한다는 것이 통계적 확률이다. n_t를 시도한 횟수(trial number), n_x를 성공한 횟수(success number)라고 하면, 확률은 다음과 같이 근사한다.
이 확율이 정당하려면 충분한 시도횟수에 기반하여야 한다. 소위 모집단이 작을 경우 통계(확율)는 편향 된다.
주사위를 천번 던져서 눈이 3이 나온 횟수의 비율을 보면 수학적 확율값에 접근한다는 의미다. 이를 빈도 확율(frequentest probability) 혹은 통계적 확률(statistical probability)라고 한다.
인생 살이는 확율로 선택할 수는 없다. 여러번 살 수 있는 것이 아니 거니와 가려진 경우의 수가 너무나 많다. 카드 놀이 중 내놓을 패를 선택하는 경우라면 가려진 패를 예측하기 위한 근거로 깔린 패를 보고 확율을 계산하는 것은 승산이 있다. '고도리' 판에서 뒷패의 예측 근거로 '초출'의 위력은 다 아는 사실 아닌가.
4. 중심 극한 정리(中心 極限 定理, 영어: central limit theorem, 약자 CLT)
An event can for example be the localization of a particle inside a given volume.
사건을 주어진 부피내의 입자들 사이에 일어나는 반응으로 한정해 볼 수 있다.
- The ratio can also be the number of times a reaction takes place, divided by the number of times it could have taken place. This means in particular that reactions do not always happen. In fact, we will find that they happen rather rarely.
(확률)비는 반응이 일어난 횟수를 반응이 일어 났어야 할 횟수로 나눈 값이 될 수 있다. 이는 입자들 사이의 반응이 항상 일어나지 않는다는 뜻이다. 실제로 반응이 일어나는 경우는 아주 드믈다.
- Probabilities follow their own relatively simple algebra. For our purposes it suffices to know our two simple rules.
- The joint probability of two independent events to happen is the product of their individual probabilities.
- The probability that at least one of two incompatible events happen, is the sum of the two properties. Incompatible means that the two events cannot be realized at the same time.
- Analogous rules apply to the probability amplitudes we have introduced earlier.
- And all of these rules applied to the probability amplitudes that we have introduces earlier.
- The two limiting cases for a probability are p=0 for impossible events and p=1 for certain events.
- In general, we will find that probabilities for particle reactions are rather small numbers.
- Processes which follow probabilistic laws are not certain individually, but can still be predicted collectively.
- This little simulation shows what is called a Galton board as an example. The small balls are introduced in the middle at the top of the board. The obstacles scatter them either left or right with 50% probability. The multiple scatters are independent of each other, the result does not depend on a previous one. At the bottom of the board, the balls show, as you can see, a Gaussian distribution around the middle position.
- For those of you who know a little statistics, this is an example of how chains of multiple events with an arbitrary individual distribution – Boolean in this case but not necessarily Boolean – asymptotically produce a Gaussian distribution, the famous bell-shaped distribution, which is perfectly calculable and characterized by just two parameters, the mean and the width of the distribution.
- But let us come back to particle reaction. Particle physics explores matter by means of scattering experiments.
입자 물리학은 물질을 조사하기 위해 입자를 조사하여 산란 실험(scattering experiments)을 한다.
- For this purpose a beam of particles is directed towards a target. One counts the number of scatters which take place, and measures the scattered particle direction and energy.
산란 실험에서는 입자 빔을 목표 물에 조사하여, (충돌-입자들 사이의 상호작용-로 인해) 산란된 입자의 수와 산란 방향(각도)과 에너지 량을 측정한다.
This sketch shows a fictitious situation where each target particle is represented by a small gray surface. Let us consider a simple model where a reaction takes place if and only if, a particle hits a gray surface.
위 그림은 산란의 상황을 가상적으로 그려봤다. 회색의 원은 목표 입자다. 입자된 입자가 회색 원의 영역에 부디칠 때 산란이 일어난다.
- Let us make the assumption that the distance between target particles is large compared to their size such that the gray surfaces do not overlap. The interaction thus stays rare. In real life this corresponds to a target which is made by a thin foil or a rarified gas.
목표 입자들 사이의 간격이 입자의 크기에 비해 아주 커서 위 그림의 경우 회색 원들이 겹치는 경우는 없고 그 입자들 사이에 반응이 없다고 가정한다.
- The number of possible scatters is evidently proportional to the flux of incoming particles, of incoming projectiles. That is to say, their number per unit time which pass through a perpendicular surface.
(충돌로 인하여) 산란된 입자의 수는 입사된 입자의 플럭스(flux, 단위 면적 단위 시간당 흘러간 입자의 수)에 비례한다. 플럭스는 조사한 빔의 입사 방향에 직각인 평면을 시간당 지나는 입자수다.
The number of actual scatters is proportional to the number of target particles per square meter. That is to say, the surface density n and the individual surface σ.
그리고 산란의 수는 단위 면적당 존재하는 목표 입자들의 갯수에 비례한다. 따라서 산란될 입자의 수는 표면 밀도(surface density) n과 단위 면적(individual surface) σ의 곱이다.
- If fact, the probability to interact is simply the product of the surface density and the surface size σ.
그러니까 입사하는 입자와 상호 작용할 확률은 (목표 입자의) 표면 밀도 n 곱하기 (충돌 지점의) 표면적 σ 이다.
- A small part -dI of the initial flux I_0 will thus be scattered. The rest of the flux is just transmitted. The small fraction of the scattered flux -dI/I is thus equal to the interaction probably n times σ.
입사하는 입자의 초기 플럭스(I_0)와 (충돌 되어)산란된 입자의 플럭스(dI)비는 결국 충돌(혹은 상호작용) 확률(p_int)과 같다.
- The density of targets can also be expressed as the volume density rho, if one multiplies by the infinitesimal target thickness, dx. Integrating over the thickness up to ∆x, one obtains an exponential law for the attenuation of the incident flux.
- We call σ the cross section for the reaction because it has the dimension of a surface. It has nothing to with the geometrical size of the target particle, it rather represents the probability of interaction between an individual projectile and an individual target particle.
σ를 반응이 일어나는 단면적이라고 하자. 목표 입자의 기하학적인 크기와는 무관하며 차라리 독립된 목표 입자와 역시 독립된 입사 입자 사이의 상호작용이 일어날 확률을 나타내는 것이라고 보는편이 낫다.
The cross-section is often measured in enormous units which are one "barn" ten to the minus 28 square meters, which is a very large one. barn = 10^(-28) m^2
- The cross-section is, thus, a sort of probability expressed by strange units, one must admit. But the rules for probability calculation apply:
'단면'을 단위가 '반(barn)'이라고 하는 다소 생소한 단위를 가지고 있는 입자들이 상호작용(혹은 충돌)할 확률로 이해하면 좋겠다. 그렇더라도 확률 계산 규칙에 다음과 같은 규칙이 적용된다:
If two processes are independent of each other, the probabilities just simply add up.
만일 사건(process)이 독립적으로 일어나면, 각 사건의 확률을 더하여 전체 확률을 구한다. (독립 사건의 합)
One distinguishes, for example, processes of
각 사건은 다음과 같이 구분된다.
- elastic scattering, where the kinetic energy of the projectile does not change, just its direction changes,
- 탄성 산란(elastic scattering), σ_el, 입사하는 입자의 운동 에너지의 변함이 없이 방향만 바꿈.
- inelastic scattering, where the projector looses energy and the target particle recoils and/or changes mass,
- 비 탄성 산란(inelastic scattering), σ_inel, 입사 입자가 에너지를 잃고 목표 입자가 움직였거나 또는 질량 변화 한 경우
- and absorption where the projectile simply disappears inside the target.
- 흡수(absorption), σ_abs, 입사 입자가 목표 입자속으로 사라짐
For these mutually exclusive processes, the cross-sections can just be added to form what is called a total cross section, like in the bottom equation on this slide.
위의 세가지 반응(충돌)과정은 서로 배타적으로 일어나므로(한 입자가 동시에 두가지 경우를 만들지 못함) 총 단면(혹은 확률) σ_tot 은 세개의 각각 단면을 더하여 구한다.
σ_tot = σ_el + σ_inel + σ_abs
The cross-section must obviously be a positive real number. It has a maximum, which corresponds to a reaction which always takes place. That is called the unitarity limit.
An application example is calculated in video 1.3a, it deals with the attenuation of photons by a sheet of lead. The result will probably surprise you, and encourage you hopefully, to be very careful the next time you expose yourself to a beam of energetic photons.
- It is clear that the properties of the outgoing particles are also important to understand the reaction.
(충돌 단면 뒤로) 튕겨나간 입자를 살펴보면 (입자 사이의) 반응을 이해할 수 있다.
- For example, the angle by which the projectile is scattered gives useful information about the structure of the target, and the properties of the interaction as we'll see with many examples in the course of these lectures.
입사 입자에 대해 튕겨나간 각도는 목표 입자의 구조, 반응 특성에 대한 정보를 제공한다.
- Keeping in mind that the cross-section has nothing to do with the physical size of the target, let us continue to imagine the cross-section as an effective area for the interaction.
'단면'은 목표 입자의 물리적 크기를 의미하는 것이 아니라 충돌의 효과가 발샹할 수 있는 유효 면적이라고 이해해 두어야 한다.
- If the projectile hits it a reaction takes place, otherwise the projectile passes without perturbation.
입사 입자 중에는 충돌반응을 일으키기는 입사 입자도 있고 아무런 요동도 없이 그냥 통과하는 입자도 있다.
- The scattering into an infinitesimal element dΩ of solid angle, centered on the polar angle θ and the azimuth angle φ, then comes from an element dσ of that surface in our geometrical model.
미소 단면 dσ 의 표면에서 충돌하여 산란된 입자는 회전각 φ 에서 산란각 θ 을 중심으로 미소 입체각 dΩ 범위내에서 발견된다.
산란을 기술할 기하 모형은 미소 단면 σ 에서 각도 θ로 산란된 입자가 발견된 영역을 입체각 Ω로 나타내 보자. 산란되어 튕겨나간 입자가 발견될 미소 범위는 입체각 dΩ이다. 이때 산란각은 θ, 그리고 회전각 φ라고 하자. 이렇게 정의한 기하학 모형에서 미소 단면 dσ을 구해보자.
- The fraction of the incoming beams scattered into the solid element is proportional to the differential cross section, dσ / dΩ.
입사하는 입자 빔이 산란되는 입체각의 범위는 단면의 미분 dσ / dΩ에 비례한다.
- The probability that a projectile is scattered into a solid angle element is not normally uniform. It depends on the angles θ and φ, the scattering and the azimuth angle, and allows one to look into the target in a literal sense.
산란된 입자들의 입체각 범위는 일정하지 않다. 산란각 θ 와 회전각 φ 에 따라 다를 것이다. 이를 바탕으로 단면을 θ 와 φ의 함수 σ(θ,φ)로 놓을 수 있다.
- The total cross section is obtained integrating the differential cross section dσ / dΩ over the solid angle Ω.
총 단면은 미분 단면 dσ / dΩ 을 Ω 로 적분하여 구할 수 있다.
- Let us consider a system with cylindrical symmetry. The scattering probability is then independent of the azimuthal angle φ and only depends on the scattering angle θ.
- An example from classical physics is the scattering by a central force. It shows a fixed relation between the impact parameter b and the polar scattering angle θ.
- All projectiles with an impact parameter between b and (b+db) and an initial azimuthal
angle between φ and (φ+dφ), are scattered into an element dΩ around the direction (θ, φ). The fraction of the incoming beam which falls into such a region is dI/I = ρ ∆x (b db dφ).
- Integrating over the azimuthal angle φ on which the force does not depend we will just obtain a factor of 2π, and the results defines the cross-section in terms of impact parameter b, and the scattering angle θ.
회전 각 φ는 산란을 일으키는 요인(힘)에 영향을 받지 않으므로 독립 변수다. 원에 대해 적분하여 2π를 얻는다. '단면'(반응 혹은 충돌 확율)은 결국 충돌 인자 b와 산란각 θ에 관계되었다는 것을 알 수 있다.
- Taking the absolute value guarantees that the cross section is always a positive definite real number.
- The scattering angle θ depends on the impact parameter b, in a specific manner, which is determined, in fact, by the distance law of the central force or its equivalent potential.
Let us take a really trivial example: the classical shock between two rigid bodies.
- The geometry and the laws of elastic reflection relate b to θ, in the simple geometrical way sketched in this little drawing.
- The differential cross-section is just constant, it does not depend on the scattering angle. The angular distribution of the scattered particles is isotropic.
- The total cross section is found to be sigma times πR^2, equal to the geometrical
surface of the target and we're not surprised to find this result which we expected in the first place.
In the next video, Mercedes will give you a much more interesting example of a realistic electromagnetic interaction. In this case, the interaction of a He-4 nucleus also known as an alpha particle with a heavy nucleus like gold. This process is called Rutherford scattering, its experimental observation has revealed the existence of the atomic nucleus.
