[공업역학] 15강: 라그랑지 방정식 기초와 예제(Introduction to Lagrange With Examples)

[공업역학] 15강: 라그랑지 방정식 기초와 예제(Introduction to Lagrange With Examples) [MIT/OCW]

[주: 아래 글은 위의 강좌를 보고 내멋대로 이해한 내용임. 오류가 있을 것이니 주의할 것. 각종 댓글 환영.]

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라그랑지 방법으로 역학을 해석해본다. 움직임을 다루는(운동을 해석하여 그 움직임의 궤적을 알아내는) 방법으로 가장 먼저 배운 것이 뉴튼 역학으로 직교 좌표계에서 벡터 해석이었을 것이다. 이 방법은 일견 단순해 보이나 자유도가 복잡하게 얽힌 운동의 경우 매우 어렵다. [Introduction to Lagrangian Mechanics by Physics Explained]

좌표계를 (문제를 다루는 시각을) 바꾸면 문제 풀기가 수월해 질 수 있다. 일반 좌표계(generalized coordinates)와 그 좌표계에서 힘(generalized forces)을 어떻게 다룰지 알아보자. 몇가지 예제를 선보일 것이다. [강의 자료 pdf]

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[01:20] 라그랑지언(Lagrangian)이라고 하는 운동하는 물체가 갖는 총 에너지를 운동 에너지와 포텐셜 에너지의 차로 정의한 것이다. [물체의 가속운동은 외력이 작용되었기 때문에 일어난다. 이 외력을 포텐셜 에너지로 보고 발현 중인 운동을 운동에너지로 보자. 운동 에너지, KE(kinetic energy)는 힘이 운동으로 발현되었을 때 측정되는 물리량이다. 포텐셜 에너지, PE(potential energy)는 발현되기 위해 유보중인 에너지다.] 운동을 기술한 라그랑지 방정식은 다음과 같이 정의 된다.

라그랑지 방정식 중요하게 봐야 할 것은 일반화된 좌표 q_j와 일반화 힘 Q_j 다. 색인 j는 독립된 좌표계를 의미한다. 운동의 자유도(degree of freedom; dof)를 따져 좌표계를 설정한다. 예를 들어 3개의 자유도를 갖는 시스템은 3개의 라그랑지 방정식으로 기술된다.

[직교 좌표계를 설정하고 운동 벡터를 좌표계의 성분으로 분리해내는 것과 사뭇 다르다. 라그랑지 역학에서는 미리 정해 놓은 좌표계가 없다. 운동의 자유도에 따라 방정식을 세운다. 일테면 좌표체계를 운동을 해석하는 틀(frame)이라 한다면, 라그랑지 역학은 운동을 보는 관점을 바꾼다고 하겠다. 벡터 해석에서 다수의 에너지(스칼라) 방정식으로 해석한다.]

[03:30] 라그랑지언을 라그랑지 방정식에  대입해보면 다음과 같다.

[04:40] [질량체의 가속운동을 다루는] 역학계(mechanical system)에서 포텐셜 에너지는 시간의 함수도 아니고 속도의 함수도 아니다. 따라서 위의 식에서 두번째 항은 0이다. 자기장에서 운동하는 전자는 전자기 복사(electromagnetic radiation)를 일으킨다. 이 경우 전자의 포텐셜 에너지는 역학계와는 달리 속도의 함수다. [전기역학, electrodynamics은 맥스웰 방정식으로 기술된다.]

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[05:37] 라그랑지 방정식에서 남은 항들을 각각 표시해보자. 좌변에 3개의 항이 남는다. 우변에 일반화 힘이 있다. 각각 항을 (1), (2), (3), (4)로 표기하자. 분석 대상이 되는 역학계의 자유도 수에 따라 j개의 라그랑지 방정식이 세워질 것이다.

일반화 좌표계와 힘에 대해 짚고 가자.

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[06:50] 일반화 좌표계(generalized coordinates): q_j로 표기됨. 좌표계의 축이 j개다.

1) 편의상 직교하는 세축 x,y,z 로 표현했던 데카르트 좌표계(cartesian)도 일반화 좌표계의 하나다. (Not necessarily catresian)
2) 등속으로 이동하는 좌표계들 사이의 등가성을 보장하는 관성 좌표계(inertial)일 필요도 없다. (Not even inertial)

[라그랑지 역학이 역학을 다루는 다른 시각이라는 점을 상기하자. 그렇다고 이 좌표계가 '제멋대로'가 되면 않되므로 조건이 있다.]

3) 이 좌표계의 좌표축들은 서로 독립(independent)이어야 하고, 완전(complete)해야 한다. (Must be independent and complete)
4) 이 좌표계(system)는 입자 구속조건이 홀로노믹(holnomic)계 이어야 한다. (System must be holonomic) [라그랑지 역학, 헤밀토니언 역학의 필요중분 조건이다.]

독립, 완전 그리고 홀로노믹에 대하여 하나씩 짚어보자.

[이 강의의 멋진점 중 하나가 이렇게 추상적 용어가 나오면 예를 들어가며 설명해준다. 정말 마음에 쏙 드는 교수법이 아닐 수 없다! 만들어 내진 못할 망정 자신이 쓰는 용어를 알고 사는 삶이 주체적이라고 할 것이다.]

독립성(independent)과 완전성(complete):

1) 독립성(independent): 좌표계 내의 한 축을 제외한 모든 축을 고정 시켜도 연속된 운동범위를 가질 때 그 축은 좌표계 에서 독립적이다.

Independent: When you fix all but one coordinate, still have a continuous range of movement in the free coordinate,

2) 완전성(complete): 어떤 경우에도 시스템에 포함된 모든 객체는 구분된 좌표로 표현될 수 있어야 한다.

Complete: Capable of locating all parts at all times,

[11:10] 이중 진자(double pendulum)를 기술하는데 몇종류의 좌표계가 있을까? 2개의 좌표계를 고려해보자.

먼저 (x,y) 축을 가진 직교 좌표계. 질량이 m_1, m_2인 두 추의 좌표를 각각 (x_1, y_1), (x_2, y_2)으로 나타냈다.[좌표계 (x,y)는 완전성은 만족한다.] 만일 x축을 고정한다면 나머지 y축 위치도 따라서 고정되어 시스템의 자유도는 사라진다. [운동이 사라진 계는 분석하고 말고 할 껀덕지가 없다.] 따라서 x와 y는 서로 독립적이지 않다.

이번에는 극좌표계다. 진자 추와 피벗 점 사이의 길이는 고정되어 있다. 따라서 두 진자추가 수직선과 이루는 각도 φ_1과 φ_2로 좌표계를 구성하여 이중 진자의 운동을 기술할 수 있다. [좌표계 (φ_1, φ_2)는 완전성을 만족한다.] 추1의 각도 φ_1를 고정시켜도 나머지 φ_2로 시스템의 운동은 살아 있다.  φ_2를 고정시켜도  φ_1의 운동은 보장된다. 따라서 이중 진자 시스템을 기술하는 좌표계의 두 축 φ_1 과 φ_2는 서로 독립적이다.

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[15:35] 홀로노믹 계(Holonomic System): 자유도(degree of freedom)의 개수가 운동을 기술하는데 필요한 좌표의 수와 같은 계

Holonomic: when number of DoF is equal to number of coordinates needed to describe motion

[2개의 축, φ_1 과 φ_2을 가진 좌표계로 기술된 이중 진자의 운동은 2개의 운동자유도를 가져 홀로노믹계의 조건을 만족한다.]

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[20:30] 라그랑지언으로 운동을 다루는 체계적인 방법(Systemic Approach adopting Lagrange equation).

위의 라그랑지방정식을 좌변과 우변으로 나누어 살펴보자.

좌변(LHS)은 T(Kinetic Energy)와 V(Potential Energy)의 미분항으로 구성되어 있다. 우변(RHS)은 시스템에 가해진 비보존힘(Non-conservative forces)에 총합이다.

[좌변은 에너지를 미분한 힘의 차원을 갖는다. 따라서 우변도 비보존 힘으로 양변의 물리량 차원이 일치한다.]

[좌변(LHS) 세우는 절차]
1. 자유도(DoF)를 찾아 일반화 좌표축 q_i 을 정한다.
2. 일반화 좌표계가 완전성, 독립성 그리고 홀로노믹계 조건이 성립하는지 확인한다.
3. T 와 V 를 구하여 라그랑지언 L을 완성한다
4. 라그랑지 방정식의 좌변항 (1), (2), (3) 을 계산한다. [라그랑지언 L의 시간-속도 미분 및 거리 미분]

외부에서 가해진 비보존 힘이 없다면 라그랑지 방정식의 좌변 미분항의 총합은 0이다.

[우변(RHS) 구하기]
1. 각 일반화 좌표축 q_j에 대하여 가해지는 힘 Q_j 를 찾는다.
2. 일반화 힘 Q_j 에 좌표축으로 미세 이동거리 δq_j를 곱한 비보존 일(Non-Conservative Work)를 계산한다.

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[25:40] 라그랑지 방정식 세우기 예제 1: 완충장치(dashpot system)

질량 m인 추가 스프링 k와 완충기 b와 함께 메달려 있다. 물체 m은 중력이 작용하여 스프링에 메달려 진동한다. 이 때 완충기는 비보존 힘으로 작용한다.

움직임은 수직방향이라고 제한하자. 좌표축은 x 한개만 정의한다. 자유도와 좌표축의 개수가모두 1개다. 완전성, 독립성 그리고 홀로노믹계다.

운동 에너지 T와 포텐셜 에너지 V를 구하자. 질량 m인 물체의 운동에너지,  스프링의 장력에서 기인한 에너지와 중력 에너지가 포텐셜 에너지의 총합이다.

위의 운동계에 작용하는 힘을 보존력과 비보존력으로 나누어 보자. 중력 mg 와 스프링 장력 kx는 보존력이다. 보존력의 균형만으로 운동이 일어나지 않는다. 외부에서 힘 F(t)가 가해지고 이에 제동력(damping force) bx는 비 보존력이다. F(t)와 bx_dot가 x축으로 만 작용한다.

라그랑지 방정식을 세우리 위한 네가지 항을 구하면 다음과 같다.

(1) 운동에너지는 속도 x_dot의 함수다. 따라서 속도로 미분하고 다시 시간으로 미분한다.
(2) 운동에너지는 x의 함수가 아니다 따라서 x 로 미분하면 0이다.
(3) 두 포텐셜 에너지는 모두 x의 함수이므로 미분하여 얻는다.
(4) 비보존 외력이 존재한다.

[라그랑지방정식을 세우느라 애는 썼지만 결국 힘을 주어 잡아 당기면 얼마나 늘어나는지 알고 싶었다. 이 (미분)방정식을 풀면 힘을 가했을 때 물체의 위치 x(t)를 구한다. 혹은 제동력 b를 설계할 때 적용될 수 있다.]

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"Newton published the 'Principia' in 1687, in which he laid down his three laws of motion. 101 years later, in 1788, Lagrange developed a way to derive the equations of motion by beginning with work and energy rather than force and momentum."

뉴튼이 1687년 출간한 '프린키피아'를 통해 세가지 운동법칙을 세웠다. 101년 후 라그랑지는 힘과 운동량 대신 일과 에너지를 가지고 운동방정식을 유도하는 역학을 개발했다. -강의자료 pdf, p4-

[운동방정식을 구하는 목적은 운동하는 물체의 위치를 예측 결정하려는 것. 즉, 운동체 위치의 시간함수 구하기]]

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[37:50] 라그랑지 방정식 세우기 예제 2: 실린더형 진자(Rod & sleeve)

2개의 일반화 좌표 x와 θ에 대해여 2개의 독립된 자유도를 갖는 홀로노믹 계다. 따라서 2개의 독립된 라그랑지 방정식으로 시스템을 기술 할 수 있다.

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[라그랑지언]

포텐셜 에너지: 스리브가 x축으로 움직여 스프링을 늘리거나 줄여 스프링이 보유하게 되는 장력 퍼텐셜 V_k 과 스리브의 흔들림에 따른 높이 변화로 생기는 중력 퍼텐셜 V_m2 그리고 흔들리는 막대기의 중력 퍼텐셜 V_m1

운동 에너지: 막대기와 스리브의 회전(rotational) 운동 에너지 그리고 슬리브의 움직임(translation) 운동 에너지

라그랑지 방정식에 적용: 일반화 축이 2개 이므로 라그랑지방정식도 2개 얻는다.

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[x_1 축 라그랑지 방정식]

(1) 먼저 일반화 좌표 x_1 의 라그랑지 방정식을 구해보자.

슬리브의 움직임에 따른 힘의 방정식을 얻었다. 에너지를 라그랑지언은 미분하여 힘의 방정식을 얻는데 결국 라그랑지 방정식은 뉴튼 역학의 힘의 방정식과 동일하다. 라그랑지 방정식은 운동에 대해 관심을 같는 일반화 축에 대해서 기술한다. 공간 벡터 해석에 비해 순수히 스칼라 방정식을 얻게되므로 매우 수월하게 운동을 분석할 수 있다. [일반화 한 좌표축은 서로 독립 이었다.]

(2) 라그랑지 방정식의 두번째 미분항을 구해보자. 슬리브의 이동만 움직이는 것이 아니다. 슬리브의 회전 운동도 있다. 각가속도에 의한 힘의 성분도 라그랑지 방정식을 세우면서 자연스럽게(저절로?) 나왔다. 짜잔! (강의중 교수님께서 감탄사를 연발하심) [이래서 라그랑지 방정식이다!]

(3) 이어서 포텐셜 에너지를 변위 x로 미분하여 스프링 장력과 중력 성분을 구한다.

라그랑지 방정식의 좌변을 모두 구했다.

(4) 일반화 힘, Q_x: F(t), 시스템이 진동 하도록 외부에서 주기적으로 가해진 힘(Oscillatory force, external force to make it vibrate.)이다. 수평으로 흔들어 주던 힘의 x_1 방향 성분만을 취하여 우변에 놓자. [일반화 좌표축에 해당하는 힘]

최종적인 x축 운동 방정식은 다음과 같다.

라그랑지 방정식은 뉴튼 방정식과 같다. 첫번째항은 슬리브의 x_1 방향 힘, 두번째항은 슬리브의 원심력, 세 번째항은 스프링의 인장력 네번째 항은 슬리브의 중력이다. 우변은 슬리브에 운동을 일으키도록 외부에서 가해진 힘이다. [x_1 방향은 슬리브 m_2 만 운동한다.]

끝으로 위의 운동방정식이 운동을 일으킬 외부의 힘이 없이 정지한 경우 정적 조건은 다음과 같다. 라그랑지 방정식이 적절하게 구해졌음을 알 수 있다.[the equation makes sense!]

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[θ 축 라그랑지 방정식]

라그랑지 방정식의 좌변항으 간단하 미분으로 쉽게 구할수있다. 운동축 x_1과 θ 는 모두 시간(time)의 함수다. 우변의 일반화 힘에 대해 유의 하자. 라그랑지언은 에너지(energy)와 일(work)의 관계식이다. 일반화 축을 차원이 없는 각도 θ로 잡았더라도 물리량의 차원(dimension)은 정확해야 한다. 일의 차원은 힘 곱하기 거리다. 각도 변화(δθ)에 대응하는 이동거리(δr)는 호도법(radian)의 정의를 따른다.

최종적으로 얻은 θ 축 라그랑지 방정식은 다음과 같다. 좌변 첫째 항은 스윙(swing) 운동에서 기인한 토크(torque), 두번째 항은 막대의 스윙 운동이 회전반경을 가로지르는 슬리브 m_2 의 직선운동에 전향력(코리올리 효과, Coriolis force)이 작용하고 있음을 보여준다. 나머지 항은 중력의 접선성분이다. 

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