아무나 하는 수학, 과학 & 라디오: [무선통신 시스템 설계] 3강. 아날로그 변조(AM) 장치의 구성

[무선통신 시스템 설계] 3강. 아날로그 변조(AM) 장치의 구성

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[일러두기] 이 글은 아래 강좌를 토대로 작성되었습니다. 일부 내용은 저의 생각 담아 첨삭하였습니다. 오류가 있을 수 있으니 강좌 원본을 꼭 함께 봐주시기 바랍니다.

[Radio System Design] Module 3. AM Modulation Architecture / David S. Ricketts

함께 공부한다고 여기시고 아래 글에 오류가 있다면 가차없는 지적 바랍니다.
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개요

다음과 같은 4가지 아날로그 진폭변조 방식에 대하 간략히 살펴본다.

[주] AM을 '진폭변조(Amplitude Modulation)'의 약자로 인식하고 있으나 디지탈 변조(Digital Modulation)의 비교단어로써 아날로그 변조(Analog Modulation)를 의미를 담고 있다.

양측파대 변조(DSB, Double Side Band)
반송파 억압 양측파대(DSB-Suppressed Carrier)
아날로그 쿼드러춰 변조기(Quadrature, Analog)
반송파 억압 단측파대(Single Side Band-Suppressed Carrier)

아울러 아날로그 수신기 구성도 간략히 알아본다.

전력(Power) 효율적인 변조(반송파 억압, 측파대 전송)
반송파 억압된 신호의 복조(Coherent Receiver)

진폭변조(AM) 기초편에서 다뤘던 내용 복습

- 시간영역에서 보면 신호파와 반송파의 곱(Multiplication in Time-Domain)
- 주파수영역에서 보면 신호파와 반송파의 합성곱(Convolution in Frequency-Domain)

반송파:

신호파를 멀리 전달하기 위한 수단.
단일 주파수로 정보는 없다.

신호파:

정보를 담고있다.
주파수 대역(여러 주파수의 합)을 차지한다.

AC와 DC:

AC 에서 출렁이는 신호: 인간 감각 인지 불가능. 공간 전파. [반송파]
DC 에서 출렁이는 신호: 인지 가능, 능동 전자회로로 수집 및 가공. [신호파]

출렁이는 파형의 수학 표현:

시간영역: 각기다른 주파수와 진폭 가진 여러 파형의 조합
- 음과 양의 진폭값을 갖는 정현파(sinusoid waves)
- 각기다른 진폭에 다양한 주파수를 갖는 정현파들의 합
주파수영역: 음과 양의 주파수 분포. DC(f=0hz)를 중심으로 좌우 거울상 대칭
- 반송파: 정보를 담지 않는 기준 AC 정현파(진폭 1, 주파수 고정). 음양 양쪽으로 떨어진 단일 주파수.
- 신호파: 정보를 단은 DC 성분(주파수 0Hz)을 가지고 있음. 주파수 0Hz를 중심으로 음/양 주파수 양쪽으로 거울상 대칭된 성분분포.

변조:

정보를 멀리 보내기 위한 조작
전자회로로 수집한 인지가능 DC 신호에 공간전파를 위해 고주파 AC 신호 섞기(Mixing)

진폭변조로 얻은 신호 X_AM(f)는,

DC 신호파에 AC 반송파를 곱(합성곱)한 결과:
- 양의 주파수 대역의 실신호와 음의 주파수 대역의 허신호로 구성
- 실신호와 허신호는 주파수 0 을 중심으로 대칭(거울상, mirror image)
양측파대 신호:
- 신호파의 주파수 영역에서 허신호 였던 대역이 실신호로 등장.
- 반송파의 주파수를 중심으로 좌/우(하측파대/상측파대) 거울상 대칭인 실신호
상측파 대(USB, Upper Side Band):
- 반송파 주파수의 우측 대역.
- 대역내 주파수 분포는 정상
하측파 대(LSB, Lower Side Band):
- 반송파 주파수의 좌측 대역.
- 대역내 주파수 분포는 역상(상측파대에 대하여 반송파 주파수를 두고 거울 상)
반송파 섞기
- 변조(modulation)와 주파수 변환(frequency conversion)을 의미
- 음의 주파수 영역에 실신호와 거울상 대칭인 허신호 존재
- 물리적 조작(증폭)을 위해 신호파의 실신호와 허신호 그리고 DC 성분을 모두 실신호(양의 주파수) 영역으로 끌어올림
- 원 신호파를 충실히(허신호, 실신호 그리고 DC까지) 증폭 가능함
- 장단점: 에너지 손실이 크다. 수신기 구성이 간단해 진다. (이유는?)

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변조(modulation)와 주파수 변환(frequency up/down conversion) [주: transform 이 아님]

종전에는 '변조'와 '주파수 변환'이 거의 같은 의미로 사용되었다. 전자회로도 믹서로 동일하다. 다만 사용 용도에서 차이를 두고 있다.

변조(Modulation): 신호파를 반송파에 얹는 행위
주파수 변환(Frequency Up-Down Conversion): 주파수를 높이거나 낮추는 행위

그런데 변조와 주파수변환을 구분하려는 이유는 최근 SDR이라고 하는 수치처리 기반의 무선통신 기기가 등장한 탓이다.

고전적인 SSB 송신기의 절차

음성을 DC로 수집(마이크 앰프)
중간 고주파로 혼합(변조)
대역 필터를 거쳐 측파대 제거(측파대 신호가 만들어짐)
복사하려는 목표 주파수로 변환
불요 주파수 성분 제거 필터
고주파 증폭
고조파 제거 필터
복사(안테나)

디지털 신호처리 방식(DSP, Digital Signal Processing)의 송신기

음성을 DC로 수집
디지털 변환으로 수치화(Analog-to-Digital)
수식으로 측파대 신호 만 뽑아냄(변조)
수치를 아날로그 신호로 변환(Digital-to-Analog)
목표 고주파로 변환
불요 주파수 성분 제거 필터
고주파 증폭
고조파 제거필터
복사(안테나)

변조가 필요한 이유

단순히 반송파(전파)의 단속으로 정보를 표현하는 전신 송신기는 변조가 필요 없음
여러 주파수 성분의 조합인 정보(음성)를 '온전히' 전파에 실어내기 위함
- '음성'은 자연에 존재하는 신호로서 양의 주파수 뿐만 아니라 음의 주파수 성분도 존재
- 음의 주파수 성분은 물리적인 장치(전자회로)로 다룰 수 없음
- 음성을 중간 주파수로 끌어올려 음과 양의 주파수 성분을 모두 실신호 영역으로 끌어올림

디지털 신호처리 방식에서 중간 주파수가 필요없는 이유

수식을 사용하여,
- 수치화된 음성(DC 신호)는 쉽게 AC 로 바꿀 수 있다(샘플값에서 상수 뺄셈)
- 실신호(양의 주파수) 뿐만 아니라 허신호(음의 주파수)도 수식으로 처리할 수 있다.
- '음성'을 각종 전송 가능한 형태(AM, SSB, FM, PM 등)로 바꿀 수 있다.
- 고성능 필터를 구현할 수 있다.
소프트웨어(컴퓨터에서 실행되는 수학)으로 전송에 맞도록 각종 변형을 실시하므로 '소프트웨어 정의 라디오' SDR 이라 한다.
워터-폴 그림을 보여주는 것은 SDR 과는 상관 없는 그냥 멋(사용자 인터페이스)으로 보여주는 것이다.
중간 주파수 단에서 변복조와 증폭을 모두 수치로 처리하므로 기존의 수퍼헤테로다인 방식 무선기기에서 차지하는 대부분의 회로 요소가 사라졌다.
- 아날로그 부품의 열손실, 열잡음, 주파수 특성, 시정수 변동 따위는 걱정 끝!
- 고주파 변환, 고조파 억제 및 임피던스 매칭, 고주파 증폭은 여전히 아날로그 회로의 영역이다.
최근 등장한 올밴드 올모드 단파 송수신기가 손바닥 만 하다(예: (tr)uSDX). 이는 모두,
- 고성능 주파수 발생기(DDS, PLL)와
- 고속 데이터 변환(ADC, DAC) 반도체 부품이 단순저렴 해졌고
- 컴퓨터(CPU)의 성능이 우수해졌기 때문에 가능한 일이다.

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수식과 그림으로 보는 변조와 주파수 변환

주파수 혼합기(Mixer)

1. 정현파(삼각함수 파)의 이해 (기초)

각도(차원이 없는 값)를 변수로 하는 삼각함수의 시간상 변화궤적
- 시간을 매개로 원운동하는 위상자(phasor)의 궤적
- 허수공간: 실수 또는 허수축 만으로 위상자의 위치를 특정할 수 없음
- 위상자의 위치: 원의 반지름(진폭)과 각도(위상)
- 실수축 상의 시간궤적(cosine)와 허수축 상의 시간궤적(sine)
- 주기함수
두개의 독립변수 시간(t)과 주파수(ω)로 표현
변환(transform): 시간 영역 표현과 주파수 영역 표현 사이의 등가 변환
오일러 공식(Euler's Formula)

참고: 정현파의 표현법 (Harmonious Frequency Relationships in Signal Processing)

2. 시간-주파수 변환(Transform):

주파수-위상 성분 분석도구(analysis tool)
증명된 사실:
- 임의 신호를 연속적인 주파수 성분을 가진 삼각함수의 합으로 본다.
- 알려진 주파수의 삼각함수를 임의신호에 곱하여 총합을 구한다(벡터 곱, multiplication & addition).
- 이 총합은 임의신호에서 해당 주파수의 성분량이다.

의문점:
- 동일한 주파수 라도 위상차에 따라 달라질 수 있지 않나?
- 샘플 주파수 보다 큰 주파수 성분은 판단할 수 있을까?
- 위신호(aliasing)를 방지할 방법은?
- 시간-주파수 변환은 과도한 계산이 필요하다. 실시간 적용의 실용성은?
DCT example[Link]

3. 주파수 변환(Frequency conversion):

두 삼각함수 파(AC 신호)의 곱(시간영역)과 합성곱(주파수 영역)
봐야 믿는법. 그림을 보며 이해해보기로 하자. 울프람(Wolfram) 언어를 이용해봤다[Link].
먼저 각각 2 Hz, 20 Hz, 200 Hz에 해당하는 정현파를 생성하자.

cos2hz = Table[Cos[2 x], {x, 0, 2 Pi, (2 Pi)/600}];
cos20hz = Table[Cos[20 x], {x, 0, 2 Pi, (2 Pi)/600}];
cos200hz = Table[Cos[200 x], {x, 0, 2 Pi, (2 Pi)/600)}];
GraphicsRow[
{
ListLinePlot[cos2hz],
ListLinePlot[cos20hz]
ListLinePlot[cos200hz]
}
]

2Hz와 20Hz의 곱과 20Hz와 200Hz를 곱하면 이렇다. DC 성분이 없는 두 정현파의 곱이다.

converted1 = cos2hz * cos20hz;
converted2 = cos20hz * cos200hz;

스펙트럼을 보자.

   GraphicsRow[
   {
ListLinePlot[Abs[Fourier[converted1]]],
ListLinePlot[Abs[Fourier[converted2]]]
   }
   ]

두 정현파의 주파수 합의 주파수와 차의 주파수 분포를 갖는다.

4. 변조(Modulation):

신호파(DC 성분을 가진 신호)와 반송파(AC 신호)의 곱(시간영역)과 합성곱(주파수영역)

정현파에 DC 성분이 더해진 신호파와 반송파의 진폭변조

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[주] 변조를 다루면서 이렇게 수학을 들먹이는 이유? 예전에는 열변동과 경년변화가 심한 RLC 전자부품으로 회로를 꾸몇다. 이제 디지털 신호처리 방식으로 변조된 신호를 뽑는다. 수식을 프로그래밍 언어(소프트웨어)로 기술 함으로써 부품의 물리적 손실없이 고품질 변조가 가능하다. 물론 이 수학들은 2백여년 전부터 존재해왔다. 최근들어 아날로그 신호의 디지털 변환(ADC)과 디지털 신호의 아날로그 변환(DAC)을 고속으로 수행하는 반도체가 등장 했고 이를 처리할 디지털 계산기(CPU)가 매우 흔해졌기 때문이다. 심지어 8비트 마이크로 컨트롤러에 조차 고속 곱셈기와 덧셈기가 내장되어 있다.

1. 동작 속도 20Mhz으로 2클럭 곱셈기 내장 [Digital Signal Processing Performance of the 8-bit AVR® Core]
2. 오픈 소스 SDR 무전기 [uSDX: micro Software Defined Transceiver]

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진폭변조된 전파신호의 복조(De-Modulation)

전파신호에서 DC의 신호파를 꺼내는 것
검파(detection): 진폭 변조된 전파신호에서 신호파는 포락선(envelope) 검출
코히런트(coherent): 사전의미는 '시종일관한'. '균일한 정현파' [참고]
Non-Coherent 복조기
- 반송파의 주파수, 위상은 활용하지 않겠다는 의미
- AM 변조된 신호는 양측파대 신호, DSB
- 신호파를 떠받치던 반송파를 단순히 제거하여 신호파를 얻음(선형변조 였기 때문)
- 반송파를 전혀 이용하지 않으므로 음질 저하(SNR 취약)

가장 간단한 복조기
- 다이오드: 전파신호를 DC로 걸러냄
- 컨덴서: DC로 올려 놓은 반송파 성분 제거 (충방전: Sample & Hold)
(전류가 양쪽으로 흐르는 AC 였다면 검파 되지 않음. 교류통과로 Hold 없음.)
- 광석 수신기: 복조(주파수 혼합)조차 없이 검파
- 선형 검파기: 반송파를 빼면 곧바로 신호파(포락선)
- 선형변조[참고]: 주파수 합성 없음. 반송파와 신호파의 주파수의 더하기와 빼기.

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반송파 억업 양측파대 변조(DSB-SC)

양측파대 변조에서 반송파를 최소화(반송파 억제, Suppressed Sarrier)하여 반송파 전송에 소요되는 전력 절약
정보신호 A(t) 에서 DC 성분 제거 후 반속파 섞기
- 공중전파를 위해 고주파수 정현파를 섞어 변조시킨 전파신호에 반송파가 포함된 원인은 정보신호 A(t) 의 DC 성분 때문
- DC 성분(f=0Hz) 없애는 법: 대역필터, 고역필터

Non-Coherent 수신기로는 원신호를 복구하기 어렵다.
- 반송파의 등락(포락선)이 정보신호 였다는 점을 상기하자.

반송파 억 양측파대 수신기(DSB-SC Coherent Receiver)

수신기에서 반송파를 주입 (Coherent Receiver)
- 반송파 없이 보내진 전파신호 X_AM(t)에 반송파 섞기
- 주파수 변환(Frequency Down Conversion)으로 원신호 복원
- 반송파 발생기와 믹서가 필요하므로 수신기가 복잡해진다.

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위상차 (π/2)인 두 삼각함수파

삼각함수의 표현에 허수체계의 도입 (오일러 공식)
- 실수축과 허수축 공간에서 극좌표로 회전자 표현
- 양의 주파수 음의 주파수
- 위상차 만 다른 삼각함수 파
- 시간영역에서 위상차 만 다른 삼각함수 파 구분 불가
- 주파수 영역에서 위상차가 다른 삼각함수 파 구분 가능

코사인 함수의 주파수 분석
- 음의 주파수와 양의 주파수
- 실수 성분 값
사인 함수의 주파수 분석
- 음의 주파수와 양의 주파수
- 허수 성분 값
- 음의 주파수 성분값과 양의 주파수 성분값이 서로 부호가 반대(비대칭, odd function)
코사인과 사인 함수는 단지 위상 만 (π/2) 차이

직교변조 (Quadrature Modulation)

코사인과 사인의 위상차 특성 활용
원신호 훼손이 없이 두 신호를 동시에 전송할 수 있다.
손실이 없으려면 변조에 사용한 반송파가 정확히 (π/2) 차이가 날 것
- 아날로그 회로에서 매우 어렵지만 디지탈 합성 주파수 발진기에서는 수월하다.

위상이 정확히 (π/2) 차이나는 두 삼각함수 파가 섞였을 경우 특성을 잃지 않는 다는 점을 시간영역에서 직관적으로 살펴볼 수 있다. 두 삼각함수 파의 꼭지점(꼭지점의 연결이 포락선이다)에서 한 삼각함수 파의 최대점이 다른 삼각함수 파의 0이 되는 지점이다. 서로다른 진폭과 주파수를 갖는 다수의 삼각함수파가 섞여 있는 경우 이처럼 단순하지 않다. 변조에 관한 구체적인 수학적 접근은 나중에 다루게 될 것이다.

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단측파대 변조(SSB, Single Side Band)