제1부(요약). 공간과 시간(Space and Time)
제2부. 우리 우주의 역학과 기하학(Geometry and Dynamics of our universe)
V2.1 로버트슨-워커 측량(The Robertson-Walker Metric)
V2.2 원주율(π, Pi)
V2.3 휘어진 공간(Curved Space)
V2.4 프리드먼 방정식(The Friedman Equation) /강좌동영상/영문자막/한글자막
[00:01] 폴: 이번 동영상 강의에서 프리드만 방정식(Friedmann equation)을 유도하려고 합니다. 이 방정식은 우주가 시간에 따라 어떻게 변화할 지 보여줍니다. 그러니까 t이 주는 의미, a(t)가 실제로 무엇인지 보여줍니다. 이 방정식은 우주론을 통털어 가장 중요하고 근본이 된다고 하도 과언이 아닙니다.
[00:17] 이 방정식을 제대로 다루려면 일반 상대론(general relativity)을 뺄 수는 없지만 이 강좌의 범위를 벗어나죠. 그래서, 이번 강좌에서는 뉴튼 (고전)물리학을 활용하여 진행 하려고 합니다. 고전 물리학으로도 핵심을 도출해 내는데 무리는 없고 실제로 정확히 바른 답을 얻을 수 있고 그 방정식이 어떤 뜻인지 충분히 이해할 수 있습니다. 그럼 운동이 무엇인지 그리고 어떻게 이해 할 수 있는지 보겠습니다.
[00:42] 자! 에너지에 대해 이야기 해봅시다. 에너지 보존법칙(Energy conservation)을 다루려고 합니다. 어느 은하(any galaxy)에 대해서도 총 에너지는 보존 됩니다. (이 강좌는 우주론을 다루고 있으므로 방대한 우주에서 한 은하는 질량을 갖는 점 하나로 간주하여 설명하고 있다) 총 에너지를 u 라 하면, 동역학 에너지(kinetic energy, KE)와 잠재 에너지(potential energy, PE)의 합입니다. 만일 하나가 올라가면 하나는 내려가죠.(총 에너지 보존)
[00:59] 그럼 동역학 에너지(Kinetic Energy, KE)는 무엇 일까요? 한 은하의 동역학(운동)에너지는 1/2 m v의 제곱입니다.
[주]------------------------------------------------------
* 등속(정지상태도 포함) 운동 중 인 질량 m을 가진 물질에 힘(F)이 가해져 가속(변속)이 발생하면 했다. 이때 힘은 F=ma 이며 이 힘으로 인해 움직인 거리를 s 라 하자. 이 힘이 한 일은 F 곱하기 s 다. 움직인 구간에서 가해진 힘을 적분한 것이 일(Work)이다. 일은 곳 에너지다.
[참조]----------------------------------------------------
1. '구구단만 알아도 미적분 쯤 한다(고전역학)'
2. '뉴튼 역학(자유낙하)'
[01:05] 동역학 에너지의 일반식은 은하의 질량(은하를 그냥 물체 한덩어리로 취급하는 우주론의 담대함!) 곱하기 은하 속도의 제곱입니다
* 우주는 팽창 중이다. 그 팽창의 시초와 종말에 대한 호기심이 프리드먼 방정식을 만들어 냈다. 방정식을 만들고, 그 방정식을 풀고, 그 방정식의 결과를 해석하는 과정이 우주론이다.
[01:11] 잠재 에너지(Potential Energy, PE)는 좀더 복잡 한데요, ('우주 팽창' 모형에서 동역학 에너지를, '등방성 균일한' 우주 모형에서 잠재 에너지를 구한다.) 질량이 구형으로 분포(spherical distribution of mass)하는데, 그 물체의 질량이 m 이라 하죠. 그럼, 잠재 에너지는 얼마가 될까요?
[01:30] 원래 뉴튼 물리학(Newtonian physics)에서 이에 대해 (만유인력) 계산해 놓았었죠. 질량을 갖는 물체의 중심에서 거리를 알고 있다면 잠재 에너지(PE)는 중력상수 G에 중심에서 (큰 물체의) 반경까지 분포하는 질량 M과 작은 물체의 질량 m을 곱하고 r로 나눈 것이 되죠. 그리고 거리 r은, 그러니까 중력 중심에서 (작은)물체가 있는 곳까지 거리입니다.
[02:01] 만일 물체의 내부에 위치한다고 하면 어떨까요? 큰 물체의 외부에 존재하는 대신 내부에 있는 질량을 따지는 겁니다. 약간의 요령을 피워 봅시다. 이 연재 강좌의 첫편에서 암흑 물질(Dark matter)을 다룰때 얘기한 적이 있었습니다. 만일 질량이 분포하는 내부에 위치하면 그 지점을 반경으로 구형으로 분포하는 질량이 있다고 보고 가상의 구를 그려 봅시다. 그 구면 밖에 있는 중력은 무시합니다. 구면 안쪽의 전 질량 M이 단일 질량으로 간주 됩니다. 이를 Newton's Superb Theorem 라고 합니다. 물론 이 이론은 다른 수많은 이론들 처럼 아이작 뉴턴의 업적입니다. 그리고 이 (물체 내부에서 중력 에너지 계산)이론은 광범위한 단순화를 거쳐 나온 겁니다. 이 이론은 우주선이 지구 궤도를 돌 수 있는지 설명하는 것이기도 하죠. 그저 질량을 가진 지구가 부피를 차지 하지만 중력은 지구의 중심으로 근사시킬 수 있습니다. 뭐니해두 중력을 물체의 중심에 근사시킨 것은 아주 유용하게 활용 됩니다. 굉장히 영리하게 요령을 피운 것이죠.
[03:13] 이 요령을 우주를 이해하는데 모두 적용할 수 있을 것이라 생각하지 않을 수 있겠지요. 왜냐면 우주는 (강체, 적어도 지구처럼) 균일하지 않고 구형으로 분포하는 것도 아니니까요.
* 뉴튼 역학을 우주에 적용 시키기 위해 우주를 둥글고 단단한 물체로 근사시키는 것은 무리라고 생각 될 수도 있을 것이다. 더구나 구의 중심을 가정한다면 현대 우주론을 부정하는 것과 같다.
[03:19] 하지만 이렇게 교묘히 생각해 보세요. 우주에서 한 점을 잡습니다. 뭐 어디가 됐든 상관 없어요. (아무데나 잡고) 그 지점은 중심이라고 칩시다. 그리고 거리 r의 위치에서 질량 m을 갖는 은하를 살펴 보는 겁니다. 보는 위치도 어디든 상관없이 임의의 위치죠. 어떤 은하를 선택하든 은하의 중심을 어느 위치에 두던지 괜찮습니다. 중심을 임의 위치에 둬도 결과는 같아요. 이제 우주를 두 부분으로 완전히 그리고 임의로 나눠 보도록 합니다.
[03:52] 우리의 위치를 반경 r로 두고 가상의 구(sphere)를 상상해 봅시다. 그리고 우리의 위치 안쪽에 있는 모든 물질과 바깥쪽에 있는 모든 물질로 나누고 그 효과를 살펴보기로 합니다. 우리의 위치에 질량이 m 인 입자가 있습니다. 그리고 임의로 잡은 여기를 공통 원점이라고 하면 허블의 법칙에 따라 이 입자는 밖으로 향하는 속도 v 를 갖습니다. 밖으로 움직이므로 반경이 변화 하겠죠.
* 우주를 이해한다는 것은 무엇을 알고 싶다는 것인가 생각해보자. 공간의 변화를 알고 싶은 것이다. 공간의 변화는 측량을 통해 알 수 있다. 그래서 측량의 수학으로 논의를 우주론을 시작 했었다.
[04:22] 그럼 동역학 에너지(KE)는 1/2 mv제곱 입니다. 그럼 은하의 질량 절반에 r닷 제곱으로 나타낼 수 있습니다. r 닷은 반경 r 의 시간 변화량(dr/dt, 즉 속도)이란 것을 알고 있죠. 그 r닷은 현재 위치에서 측정된 속도죠. 우리는 임의의 좌표계를 상정하고 모든것을 따져보는 중입니다. 물론 은하의 관점에서 보고 있다는 점을 상기하면 정지해 있는 것 같지만 물질들은 서로 멀어지는 중입니다. 하지만 우주는 균일하기 때문에 적당한 좌표를 설정 할 수 있고 그에 맞는 답을 얻을 수 있습니다. 여기를 원점이라고 하고 동역학 에너지가 1/2 m r닷 제곱입니다.
[04:58] 그럼 잠재 에너지(PE)는 어떻게 될까요? 그렇죠. 이 구의 바깥쪽 전체, 우주는 균일하고 등방형이므로 바깥은 어딜 봐도 모두 같습니다. 말하자면 구대칭(spherically symmetric) 입니다. 무한한 우주는 구대칭이라고 보고 풀어 가도록 하겠습니다. 모든 방향에 대해 질량이 같습니다. 그러니까 구 밖의 모든 질량에 대해 총 중력 효과는 없어요. 모두 상쇄 됩니다. 구 안쪽의 모든 질량은 중심에 집중 된다고 할 수 있죠. 그러므로 잠재 에너지는 음 G에 여기 m을 둘러싼 가상의 자주색 원안의 질량 나누기 r 입니다. 그럼 이 원 안의 질량은 얼마죠? 구의 체적, 그러니까 4/3 파이 r세제곱 곱하기 밀도 ρ입니다.
[05:54] 이제 총 에너지 u는 1/2m r닷 제곱 빼기, 좀전에 구한 잠재 에너지를 가져오면 4파이 나누기 3 곱하기 G 곱하기 밀도 곱하기 r 제곱 m 입니다. 이렇게 놓고 보니 무슨 소린가 하겠네요.
[06:28] 왜 이렇게 임의의 위치를 잡아 총 에너지를 측정하고 있는 걸까요? 균일하기 때문에, 등방형 이기도 하죠, 이 총 에너지 보존 식을 우주의 어디에 가져다 놓아도 됩니다. 여기 있는 가상의 자주색 원, 실은 구인데, 그리 중요치 않은 걸까요? 임의로 잡은 구가 중요한게 아닙니다. (반경이) 어떤 구 이든 어떤 위치에 놓든 임의로 원을 잡더라도 답(총 에너지 보존 법칙에 의한 방정식)은 같습니다. 어떤 위치에 있든 반경을 다르게 잡을 수도 있죠. 하지만 개의치 않습니다. 언재나 같은 답(=총 에너지)을 얻게 될 겁니다. 왜냐하면 우주는 어디든 같으니까요.
[06:55] 드디어 우리는 에너지 방정식을 구해놨네요. 이 에너지 방정식 그러니까 총 에너지 u는 보존 되어야 하죠. 말하자면, 만일 잠재 에너지(PE)가 변하면 동역학 에너지(KE)도 그만큼 상쇄하도록 변해야 합니다. 그 반대도 마찬가지 구요.
[07:10] 이제 다음 단계는 좌표를 교묘히 변환하는 것이라고 할 수 있죠. 이제까지 우리는 위치를 측정해왔고 일반적인 좌표를 사용해 왔습니다. 소위 (고정)물리 좌표계라는 것이었죠. 그 좌표계는 여기 그림 처럼 고정된 격자형 입니다. 만일 이 좌표계에서 측정 해보면 은하들이 움직이고 있습니다.
[07:31] 이번에는 또다른 방식의 좌표계를 보죠. 고정된 물리 좌표계에서 측정 하는 대신 공동이동 좌표계(comoving coordinates)라고 불리는 좌표계에서 측정해 봅시다. 공동이동 좌표계는 (시간의 개념이 포함된 것으로) 현재의 좌표계로 우주의 눈금 배율을 1로 보는 겁니다. 이 모의 화면에서 녹색의 격자가 공동이동 좌표계 이고 고정물리 좌표계는 녹색의 격자 입니다. 여기 녹색 좌표계가 은하와 함께 팽창하고 있죠. 결국 은하는 공간이 팽창 함에도 불구하고 같은 위치에 있습니다.
[08:09] 우주의 눈금배율이 1인 시점의 시간을 정해야 하는데 통상 현재라고 합시다. 현재 시점에서 고정 물리좌표계나 공동이동 좌표계는 같습니다. 하지만 시간이 지난 후, 그러니까 미래에는 공동이동 좌표계의 격자가 (팽창하는 주우)은하를 따라 확대됩니다. 따라서 어떤 은하이든 시간에 관계없이 같은 위치에 있게될 겁니다.
* 고정된 좌표계에서 은하의 움직임을 관찰 하는 것이 아니라 은하의 움직임에 맞춰 좌표계가 팽창한다. 팽창하는 은하를 따라 좌표계의 눈금 배율(scale factor)이 확대되는 좌표계가 공동이동(comoving) 좌표계다.
[08:30] 그럼 새 좌표계를 수학의 형식으로 표현해 봅시다. r을 벡터로 놓고 우주의 배율 a(t)와 공동이동 좌표계의 (위치 벡터) x를 곱할 겁니다. (a(t)는 스칼라이지만 공동이동 좌표계의 점 벡터 x를 곱하여 벡터 r 로 놓았다.) 결국 (공동이동 좌표계에서) 한 점의 벡터 x 는 변함이 없죠. 즉, 고정되어 있습니다. 하지만 벡터 r은 변합니다. 벡터 r이 변하는 이유는 시간 t에 관계된 배율요소 a(t) 때문 입니다.
[08:51] r을 앞서 구한 총에너지 식에 대입 할텐데 총 에너지에 1/2 m r닷 제곱이 있군요. 그럼 제곱했던 r닷을 미분 한다면 그 미분은 배율의 미분이 되죠. x 는 변하지 않으니까요. 따라서 a닷 곱하기 x 가 됩니다.
[09:16] (총 에너지 방정식의) r을 a의 t 함수, a(t)로 치환 하기로 하죠. 이제 우리의 최종 방정식에 가까워 졌습니다.
[09:37] 이 식을 좀 정리해 보죠. 양변을 2/ma제곱 x제곱으로 곱하고 정리합니다. 이 과정은 연습으로 남겨 둘께요. 직접 해보세요. 어쨌든 양변을 이것(2/ma제곱 x제곱)으로 곱한 겁니다.
[09:54] 마침내 고전 프리드먼 방정식을 얻었습니다(the classical Friedmann equation). a닷 나누기 a제곱은 8π 나누기 3 곱하기 밀도 ρ 빼기 k c제곱 나누기 a제곱과 같습니다. 그럼 k는 뭐죠?
[10:18] 자, 이제껏 k를 그저 상수 중 하나로 취급하고 크게 신경쓰지 않았었죠. 그럼 k는 음 2u 나누기 m c제곱 x제곱과 같습니다. 왜 k를 그저그런 상수 취급 해왔을까요?
여기 보이는 식에서 모든 것들, a닷 나누기 a, G 밀도 등등,은 우리가 정한 위치에 무관합니다. 따라서 우주의 (어느 위치에 있든) 모든 입자(물질)에 동일하게 적용할 수 있습니다. 이에 덧붙여 c 와 a는 우주의 어디에서도 같죠. 따라서 이 식의 모든 항은 우주의 어느 장소에서든 같아요. 그리고 우주는 둥방형이고 균일 하죠. 이 말은 k가 우주 어디에서든 같다는 겁니다. 그러므로 공동이동 좌표계의 x와 총 에너지 u가 보전 되어야 하므로 k가 상수로 취급하게 되었습니다. 실제로 k는 전 우주에 걸쳐 동일 합니다. 그리고 로버트슨-워커 측량에서 봤던 k가 공간의 곡률을 결정한다고 알게 됐었습니다.
[11:11] 다시 되집어 보죠. 우리가 구한 프리드먼 방정식은 뉴턴 고전 물리학으로부터 유도 되었습니다. 단언컨데 일반 상대론으로 구해도 동일한 방정식을 얻을 겁니다.
[LQ2.4] -----------------------------------------------------------
From which fundamental principle was the Friedmann equation derived?
a) Conservation of momentum
[B] Conservation of energy
c) Conservation of angular momentum
d) Newton's third law of motion
e) The second law of thermodynamics
f) The law of compound interest
g) Murphy's Law
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