Imagine that you live in a geometrically flat universe which is expanding at a uniform rate: i.e. a ∝ t. Hubble's constant in this universe is measured to be 70km (s^-1)(Mpc^-1). A Mpc (Mega-parsec) is a million parsecs, and a parsec is 3.086x10^16km.
[00:00] 브라이언: 정말 놀랍네요. 우리는 단 한개의 미분 방정식으로 우리가 사는 우주를 담아 냈습니다. 바로 프리드먼 방정식(Friedmann equation) 입니다. 미래에 우리의 우주가 현재의 상태에 따라 어찌 변해갈지 예상할 수 있게 해주었죠.
[00:17] 폴: 그리고 이 모든 계산은 밀도를 근거로 하였습니다. 우리는 그 밀도를 오메가 Ω로 표시 하였죠. Ω는 우주의 밀도를 임계밀도에 대한 비율로 나타낸 것입니다. 아울러 우주공간의 곡률(curvature of space)을 나타내는 k와 관계도 알려 주었습니다.
만일 오메가가 임계밀도보다 크면 오메가 값이 1보다 큰 값(Ω>1)을 갖게 되는데 우주가 결국 팽창을 멈추고 다시 쪼그라 들어서 은하들이 모두 갈려 합쳐지게 되는 빅 크런치 혹은 그냅 깁(Gnab Gib)이 될 겁니다. 그렇게되면 종말은 아주 참혹할 겁니다.
[00:43] 브라이언: 예. 그런 우주에 산다면 좋은 결말은 아니죠. 우주가 합쳐지는 종말 이라니요. 그 종말은 아주 끔찍 할 겁니다. 시간적으로 우주가 유한(탄생에서 종말까지) 하다는 의미는 공간이 유한하기 때문입니다. 우주를 이루는 재료의 양이 유한 하다는 의미일 테구요. 미래에 우주가 아주 커지는 반면 예를들어 만일 그런 그냅 깁이 되어 모두 합쳐지는 일이 발생하면 종말에 이르러 아무것도 남지 않을 거잖습니까. 흥미로운(이상한) 특성이라고 볼 수 있죠. 도데체 우주를 구성하는 재료의 양은 얼마나 될까요.
[01:16] 폴: 네. 그런 우주(k>0, Ω>1, 구형우주)에서 시간과 공간이 유한 합니다. 시작과 끝이 확실히 정해져 있죠. 그런데 (공간이 유한하다면서도) '여기가 땅끝'이라는 팻말이 붙은 벽을 마주칠 일도 없어요. 한길로 쭉 가다보면 시작점에 다시 도달하죠(구형 spherical universe 이다). 이론적으로 이런 우주에 살고 있다고 말할 수도 있을 겁니다. 만일 아주 큰 규모로 파이(원주율)을 측정해 보면 이제까지 믿어왔던 그 값보다 작을 것입니다. 그리고 평행한 두 선도 원칙적으로 잴 수만 있다면 만나게 됩니다. 아마도 원 둘레를 측정 할 수 있을 거라고 생각되요. 부피를 주어진 반경내에 월마나 많은 물질이 담겨 있는지 측정할텐데, 그리고 어떻게 변화 할지도.
[01:48] 브라이언: 그래서 작은 파이썬(Python) 프로그램을 작성 해봤죠. 그 프로그램을 실행해보면 우주의 여정을 살펴볼 수 있죠. 또한 우주가 광자(photon, 상대론적 물질)과 일반 물질로 구성되었을 때를 구분하여 실행 시켜 볼 수도 있어요.(k=0인 평평한 우주일 때 프리드먼 미분 장정식을 풀 수 있었다. 그 결과 배울 인자 a(t)에 대해 두가지 답을 얻었다.) 그 결과 우주가 어떤 모습으로 변해 갈지 살펴 볼 수 있을 겁니다. 그 모습을 분명하게 보여주었죠. 하지만 일반적은 수순은 다 같아요(k>0인 구형 우주와는 달리 영원히 팽창하는). 만일 당신이 광자들만으로 채워진 우주라면 팽창율이 줄어들 겁니다. (처음에는)팽창율(a닷, 기울기)이 아주 빠르게 줄어들거구요. 서서히 팽창율은 작아지죠. 만일 광자로 되어 있다면 일반 물질로 되었을 때 보다 빠르게 수축율이 줄어들 겁니다.
[02:23] 폴: 네. (k=0, Ω=1 인 평평한 우주에서는) 특이하게 (복사물질과 일반물질에 따라) 다소의 차이를 만들어 내죠. 저는 개인적으로 오메가가 1인 우주를 선호 합니다. 적어도 다른 것보다 좋아하죠. 당신이 어떤 것을 좋아하는지 모르겠네요. 항상 수업시간에 선호도 조사를 합니다. 어떤 모형을 좋아하는지. 학생들은 대개 50 대 50으로 나뉘죠. 오메가가 1보다 작거나 1이라면 우주는 영원히 팽창하는 모형입니다. 공간과 시간 모두 무한대 입니다.
[02:47] 브라이언: 저는 시작이 있다면 끝도 있는 그런 우주를 확실히 선호하는 그런류의 인간입니다. 마치 대칭성 있어 보이잖아요, 무한대를 생각할 필요도 없죠.
[02:56] 폴: 저는 무한대에 대해 생각해보는게 좋습니다. 영원한 우주를 좋아해요. 불행 하게도 이번 강죄에서 다뤄 봤듯이 우주가 영원하더라도 우리는 그렇지 않죠. 우주는 결국 자유 에너지, 엔트로피를 소모해버려 열죽음 할겁니다. 곡소리 내며 죽어가는 우주죠. 우리도 그런식으로 죽을 겁니다.
[03:14] 브라이언: 네. 맞아요.
[03:16] 폴: 그중에 어느 모형이 맞을까요? 실제로 우주가 다시 쪼그라 들지, 혹은 영원히 팽창 할지 그도 아닌 이상하게 변해갈지 실제로 관측 할 수 있게 될까요?
[03:24] 브라이언: 그거 참 흥미로운 질문인데요. 저의 경력의 상당량이 그것(우주진화 모형)에 대한 이해를 높이기 위한 연구 였습니다. 연구를 위해 이론적으로나마(사실상) 우주를 관찰하고 우주가 어떻게 움직이는지 관측해 왔다고 볼 수 있죠(실제 관측이라기 보다는 이론연구). 우리가 우주에 대해 심어진 편견을 극볼 할 수 있도록 계산해 보려고 노력했습니다.
저는 그것(굳은 편견)을 크게 신경 쓰지 않았어요.
[03:44] 폴: 이 강좌의 끝에가서 이에 대해(천체물리학의 미래) 좀더 이야기 해 볼 것입니다. 우리는 앞으로 측정(계산)과 그로부터 얻을 놀라운 결과에 대해 이야기 해보려고 합니다. 먼저 모든 연구의 시작이 우주가 어디를 보나 동일하고 균일 하다는 가정에 기반합니다. 그것(균일한 우주라는 가정)은 사실 아주 이상합니다(받아들이기 쉽지 않다). 다음 강의에서 인플레이션 이론에 대해 논의할 것입니다. 이 이론은 왜 우주의 균일함이 가장 중요한 전제조건 이어야 하는지 설명합니다.
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Three cosmological model.
k>0, Ω>0, a finite, spherical universe that will eventually collapse. In this universe, is small on large scales and parallel lines will eventually meet.
k=0, Ω=1, an infinite flat universe with normal geometry, that will expand forever but at a perpetually decreasing rate.
k<0, Ω<0, an infinite saddle-shaped universe that will expand forever. In this universe, is larger on large scales and parallel lines diverge.
Which (if any) of these models is true? That is a question to be answered experimentally.
V2.7 우주의 진화(Evolution of the Universe) /강좌 동영상/영문자막/한글자막
[00:00] 브라이언:좋습니다. 폴. 흥분 되는 군요. 모든 자료들을 모은 것 같으니 드디어 프리드먼 방정식을 풀 수 있게 되었어요.
[00:09] 폴: 이제 남은 것은 이 미분 방정식 하나 입니다. 이정도면 대학 2학년 수준의 수학이죠. 그럼 이제부터 우리가 할 일은 근사 수치해석 방법(numerical method)으로 문제를 풀어 보려고 합니다. 실제로 우주의 본질을 밝히려면 수치적으로 풀어야 하죠. 해석 수학(analytical method) 만으로 해를 구하는 방법은 사실 존재하지 않아요. 따라서 수치해석을 동원하여 근사적으로 푼다고 해서 크게 틀렸다고 볼 수 없죠.
* 변화 인자는 밀도 ρ, 곡율 k 그리고 배율 a다. 프리드먼 방정식 풀이는 이 세가지 인자에 따라 우주 팽창율이 어떻게 변하는지 살펴보는 것이다.
[주]-----------------------------------
해석적(analytical) 방법과 수치적(numerical) 방법
해석적 방법은 단적으로 말하면 연필과 종이를 가지고 수식을 푸는 것이다. 간단한 예를 들어, f(x) = x+3 의 근을 구해보자. 해석적 방법은, f(x) = 0으로 놓고, x+3=0을 푼다. 3을 우변으로 넘겨도 대수 규칙이 성립하므로 x=-3이 근이다. 종이에 쓸 필요도 없이 간단하다.
수치적 방법은 x에 임의의 숫자를 대입해 본다. f(1)=4를 얻는다. 이번에는 x=-4 를 대입하여 f(-4)=-1이다. 부호가 바뀌었으므로 근은 x=-4와 x=1사이 어딘가에 있을 것이다. 이제 범위를 좁혀보자. x=(-4+1)/2=-3/2 을 f(x)에 대입하면 f(-3/2)=3/2 다. 따라서 근은 x=-4와 x=-3/2 사이에 있다. 이런 식으로 x의 범위를 좁혀가며 f(x)=0이 되는 x를 구한다.
미리 준비된 문제가 아니라면 해석적 방법으로 방정식의 해를 구할 수 있는 경우는 아주 드물다. 대부분 물리현상을 모형화한 방정식은 고차항과 초월 함수(지수,로그,삼각함수)들을 포함한다. 이런 방정식을 풀려면 고도로 훈련된 수학 전문가라도 수십시간씩 걸릴 일이다. 더구나 그 해는 대부분 무리수들을 동원한다. 한마디로 해의 정확한 값을 모른채 개념을 남겨 놓는다.
전설속에 등장하는 천재들의 전기 영화를 보면 칠판에 뭔가 대단한 것을 써놓은 것을 본다. 자세히 보자. 외계어로 물리현상을 모형화 했을 뿐 그 방정식의 해를 풀어 놓는 경우는 없다. 실용적인 값이 필요할 경우 '인간 컴퓨터'들이 근사값을 구해 줬을 것이다. 전자계산기(컴퓨터)의 등장으로 방정식의 풀이가 매우 정밀해 졌다. 천재들은 방정식을 만들어 낸다. 그리고 그들은 그 방정식의 타당성을 주장 한다. 그 방정식의 해를 풀어 줄 수 있다면 더할 나위 없지만 대부분 그렇지 못하다.
수학 문제를 풀라고 한다. 그 문제에 등장하는 방정식들은 아주 교묘하게 만들어 져서 연필과 종이로 풀 수 있다. 왜 이런 방정식이 만들어 졌는지 어떤 의미를 가진 방정식인지 설명하지 않은채 답을 요구한다. 정작 풀면서도 이유는 모른다. 변별력이라는 미명하에 수학시험 문제는 더욱 교묘해 가고 그만큼 수포자(수학포기자)도 늘어간다.
수학의 지평이 넓어지면 더욱 복잡한 모형을 만들어 낼 수 있다. 그만큼 방정식이 복잡해지고 더많은 요인들을 방정식에 포함 시킬 수 있다. 이것이 수학을 배우는 진짜이유라고 생각한다.
이 강좌에 등장하는 수학도 대학 2학년 수준의 미적분이라고 한다. 개념은 그럴지 몰라도 사칙 연산과 증가와 감소에 대한 합리적 생각만 할 줄 안다면 우주의 비밀을 이해할 수 있도록 설명하고 있다. 겁먹지 말고 끝까지 파보기로 하자.
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[00:26] 브라이언: 그렇네요. 사실 (컴퓨터를 이용하여)수치적으로 (방정식의) 해를 구하는 방법을 해보신 분이 그리 많지는 않을 겁니다. 하지만 그 방법(수치 근사)도 사실 미적분을 기초하여 구축된 기법입니다. 따라서 그 방법을 이해하고 활용하는데 크게 어려움은 없은 겁니다.
[00:38] 폴: 그렇죠. 따라서 그 방법의 시초는 우리가 알고 있는 것들만 가지고 당장 시작 합시다. 현재의 a(t)를 1로 놓도록 합시다.
[00:47] 브라이언: 왜 그래야 하죠?
[00:49] 폴: 글쎄, 맘에 안들면 어떤 값을 넣어도 되요. 가령 47이라고 해도 좋고 2라고 해도 좋아요. 이 값은 우리가 사용할 좌표계의 눈금 크기(scale factor)를 정의 하는 것입니다. 그러니까, 공동이동좌표계(comoving coordinates) r에 대한 x의 비율 이었지요. a(t)를 1로 둠으로써) 다루기(계산하기)편한 좌표계를 정의 하는 거죠. 현재의 배율 인자(scale factor)를 1로 놓기로 합시다.
[01:03] 브라이언: 그러면 아주 수월 하겠네요.
[01:05] 폴: 맞아요.
[01:06] 브라이언: 좋습니다.
[01:06] 폴: 어떤 문헌을 찾아보면 사람들이 때로 k를 플러스 혹은 마이너스 1로 놓은 걸 보게 될겁니다. 그 말은 a 가 지금 현재 1이라는 뜻은 아닙니다. 원하면 어떤 값으로도 정할 수 있죠. 이번 계산을 위해 (편의상) 현재 값을 1 로 놓자는 것이죠. 말하자면 k 가 어느정도 범위를 갖는 값이라는 뜻입니다.
[01:22] 브라이언: 그럼 값이 1보다 크거나 작을 수도...
[01:26] 폴: 0보다 작을 수도 있죠. 좋아요 일단 배율 인자(scale factor)를 1로 둡시다. 우리가 미래에 우주의 크기가 어떻게 될지, 그리고 과거에 지금의 크기에 비해 얼마나 다를지 가늠 해보려는 겁니다. 그리고 우리는 현재 a닷(배율인자의 변화울)의 값이 얼마인지 허블 상수로 부터 구할 수 있죠. 그리고 현재의 우주밀도를 알고 있다고 해보죠. 최소한 우리는 임계밀도(critical density)에 대한 상대적인 비로 현재의 밀도를 추정해 볼 수 있죠. 아마 임계밀도보다 약간 작거나 크거나 할 겁니다. 그리고 나서 다음 단계로 넘어가보죠.
[01:49] 브라이언: 그럼 시간을 되돌려 보면 어떨까요. 문제 없겠죠.
[01:52] 폴: 우리가 필요한 모든 재료들(허블상수, 임계밀도)을 확보했어요.(자료가 아니라 재료라고 하고 있다. 확보된 재료들을 요리하여 원하는 값(자료)을 유추해 낼 수 있다.) 따라서 우리가 해야할 일은 a닷을 계산해 내는 겁니다. 바로 배율 인자의 시간 변화율로서 dt 분의 da 지요. 지금당장 위 식을 정리하여 앞에 나왔던 식에서 제곱근을 취하면 a닷을 구할 수 있습니다.
* 우리의 목표는 우주의 과거와 미래의 변화를 알고 싶다. a닷은 우주 규모의 시간 변화율이다.
[02:04] 브라이언: 아. 그렇네요. 결국 a의 (시간)변화가 a에 기타 다른 값들을 더한 식으로 나오는데, 다시 a 의 함수가 되어버렸네요.
[02:13] 폴: 그렇군요. 밀도 ρ는 a의 세제곱 분의 일(일반물질) 또는 a에 대해 네제곱(상대론적 물질)입니다. (제곱근 안에)다시 a 제곱 분의 일이 존재하네요. 약간 풀기 난해하게 되었습니다. 그럼 밀도 ρ가 1/a의 세제곱 또는 1/a의 네제곱이 될텐데 상대론적인 복사 물질인지 일반물질 인지에 따라 다를 수 있죠. 지금 사용하려는 (미분 방정식 풀이) 방법은 가장 간단한 수치해석(numerical method)적 방법입니다. 혹은 오일러 방법(Euler's method)이라고도 하지요.
[02:38] 브라이언: 오일러요. 제가 대학 들어갈 때 오일러가 누군지도 몰랐어요(브라이언 박사는 무려 노벨상 수상자다!). 이름이 율러, E-U-L-E-R 라는 줄 알았는데 그분이 오일러 더군요.
[02:50] 폴: 좋아요. 이 방법은 수치해석을 아주 간단하게 해줍니다. 실제로 좀더 복합적인 방법을 사용해서 풀 곤 했습니다. 하지만 실질적으로 아주 정확한 답을 얻게 해줍니다. 어떤 면에서 원하는 답을 답을 얻을 수 있는 실질적인 방법이죠. 어떤 방법인지 지금 해보도록 합시다.
우리가 a를 1로 놨었죠. 약간의 시간이 지난 후 혹은 이전에 a(t)가 어떻게 변했을까요? 이제 시간 간격을 델타 t (Δt), 충분히 작은 시간간격을 주면 그 시간 구간에서는 a 는 그리 크게 변하진 않은 겁니다. 이렇게 작은 시간 간격으로는 결과에 큰 변화가 오진 않습니다. 델타 t가 작은 한 이전 식에서 이것들(ρ와 a)이 모두 작은 시간 간격에서는 다소 차이는 있겠지만 상수값으로 취급 될 수 있으니까요. 따라서 미래 혹은 과거의 시간에 a, a(t+Δt) 가 현재의 a, a(t) 더하기 a닷, 그러니까 a의 변화율 곱하기 Δt 라는 겁니다. (미분의 기초)
[03:39] 브라이언: 네. Δt 시간간격 동안 값이 의미있게 변하지 않더라도 지극히 정상 입니다. 왜냐하면 a닷이 da/dt로, Δt 분의 Δa인데, 여기서 Δt가 정말 정말 작은 값이기 때문이죠.
[03:57] 폴: 네. 그러니까 이것이 미적분의 정의라는 것이죠. 말하자면 얼마나 움직였는지는 현재의 위치치에 변화량 곱하기 시간을 더한 것이네요.
[04:05] 브라이언: 바로 그겁니다. 그리고 작은 프로그램이나 스프레드 쉬트를 작성하여 계산해 볼 수 있습니다.
[04:11] 폴: 그렇죠. 간단한 파이썬 프로그램을 작성해 봤습니다. 학습 웹 페이지에 올려 뒀습니다. (다운로드) 다운 받아서 밀도 값을 여러분 스스로 (인수를) 바꿔보고 우주가 앞으로 어떻게 변화 할 지 살펴보기 바랍니다. 여러분 스스로 이 프로그램을 실행해 결과를 보기 전에 어떻게 될지 한번 보기로 합시다. 여러분 스스로 해보고 그 프로그램이 내놓는 결과를 이해하기 전에 프로그램을 신뢰하면 않됩니다. (비록 노벨상을 받은 천문학자가 제공 했더라도 신뢰 할 수 없다. 남이 해놓은 프로그램 이다.)
[04:33] 브라이언: 그렇죠.
[04:34] 폴: 그럼 간단하게 k 가 0인 평평한 우주의 경우를 보겠습니다. 무슨일이 벌어질까요? 여기에서 마지막 항이 사라졌죠. k 가 0 이니까요.
[04:43] 브라이언: 넵.
[04:44] 폴: 그럼 a닷이 a와 8 파이 G ρ0 a의 세제곱 인데 일반 물질인 경우에요. 복사가 우세한 경우 a의 네제곱이 되어야 하죠. 지금 보는 것은 물질이 우세하다는 것을 보여줍니다. 의견 있으신가요?
[04:55] 브라이언: 그럼 a의 변화율이 a의 제곱근 분의 1에 비례하는 거네요. 그말은 a가 아주 작아지면 우주의 변화율이 아주 커진다는 뜻이네요. 하지만 a 가 점점더 커지게 되면 결과적으로 우주의 팽창이 점점 줄어들어 들겠군요. a분의 1에서 큰 값이 되면 전체적으로 작아질 테니까요.
[05:20] 폴: 그러니까 이 결과의 의미는 현재 a닷이 양수라고 알고있는 우주는 팽창하고 있죠. 항상 양수가 될 겁니다. 그리고 우주는 항상 팽창할 것이구요. a가 얼마나 커질지는 중요치 않고 a값의 제곱근 분의 1이 어떻게 될런지 궁금한 겁니다. 하지만 우주가 점점더 나이를 먹어가면서 아주 아주 커지면서 팽창하는 비율은 감소 합니다. 하지만 (증가율이)0에 도달하지는 않습니다.
[05:38] 그게 전부 일까요? a가 무한대에 접근하면 이 값(a닷)은 0에 도달 하겠지만, 무한대가 되기 전에는 0이 되진 않죠.
[05:43] 브라이언: 그럼 우주가 산산이 부셔져서 종말을 맞이할 거라고 예상 할 수 있죠. 하지만 종말에 도달하지는 않을 겁니다.
[05:50] 폴: 그렇죠. 만일 이 (파이썬으로 작성한) 프로그램의 결과를 구해보면 그것은 한가지 경우에 불과 하다는 것을 알게 될 겁니다. k 가 0 인 경우의 해죠. 이에 대해서 나중에 요약 편에서 다시 보여 줄 겁니다. 이제 여러분이 구한 결과는 물질이 우세한(matter-dominated) 경우인데 a(t)가 t 나누기 t0의 2/3승 입니다. 복사(radiation)가 우세한 경우는 1/2승이죠.
[주]------------------------------------------------
프리드만 방정식은 미분 방정식이다. 이 미분 방정식은 해석적(analytic)으로 풀 수 없다. 다만 k=0일 때 풀이가 가능하다. 이때 프리드먼 방정식은 다음과 같다.
물질이 우세한 우주의 밀도를 대입하고 정리하면 다음과 같다.
배율인자(scale factor)가 시간의 함수 a(t)로서 멱법칙(power-law)을 따른다고 하자. ('경험적'으로 매우 다양한 물리, 생물 및 인간이 만들어낸 현상들이 넓지만 제한된 범위에서 근사적으로 멱법칙을 따른다. 잘 모를 때 일단 두 수의 거듭제곱 함수로 놓고 풀어보니 잘 맞더라는 얘기임.)
a 를 프리드먼 방정식에 대입하여 정리하면(상수부는 뺐다),
미분식은 적분으로 푼다(역시 비례식, 계수 따위 쯤이야 나중에 따지자).
이제 멱법칙으로 정의했던 a 와 미분 방정식으로 풀어낸 a를 등가로 놓고 미지수 q 를 구한다(간단한 연립 방정식).
결국 k=0일때 물질이 지배적인 우주의 a(t)는,
복사가 우세한 우주의 경우를 풀어보자.
[06:05] 이 도표는 우리가 봐왔던 것입니다. 아주 빠르게 팽창하기 시작해서 (팽창율은)항상 감소하죠. 1나누기 제곱근 t 가 서서히 떨어지지만 정지하진 않습니다.
[주]----------------------------------------------------
위 도표에서 곡선의 기울기 a닷에 주목하자. 가로축은 시간 Gyr, 세로축은 a(t)다. a닷은 배율인자 a(t)의 시간 미분이다. 도표에서 기울기다. k=0인 경우 기울기는 감소하나 단조 증가다. 처음 빅뱅의 순간에 엄청난 비율(거의 무한대)로 우주가 팽창 했다.
[06:16] 브라이언: 좋아요. 저는 이런 우주를 선호하죠. 제게는 아주 타당해 보이거든요.
[06:21] 폴: 좋아요. 이는 k가 0인 평평한 우주이고 영원히 지속될 겁니다. 이 우주는 계속 팽창할 것이고 아주 먼 미래에 팽창율은 아주 느리게 될 겁니다(기울기가 아주 작다). 그럼 k가 0보다 큰 경우(K>0)는 어떨까요? 그 경우 프리드먼 방정식은 어떻게 될까요?
[06:33] 브라이언: 좋아요. 같이 따져 보기로 합시다. 여기(좌변)에 a닷 항이 있어요. 여기에 곱하기를 해야 할 겁니다. 제 생각에 허블 상수를 고려해야 할 것 같네요. 우주가 팽창하는 정도를 제곱하네요. 결국 밀도가 a 세제곱 또는 네제곱으로 나눠 지겠습니다. 그리고 나서 (우변 두번째 항의 분모에) a 제곱이 있는데 a가 커지면... 어떻게 되는거죠?
[07:00] 폴: 먼저 이 (우변의) 두 항이 모두 작아지죠. 이 앞에 있는 항이 더 빠르게 작아 집니다. 왜냐하면 밀도 ρ는 a의 세제곱 혹은 네제곱 분의 1이잖아요. 그리고 뒤의 항은 a의 제곱 분의 1이구요.
[07:07] 브라이언: 맞아요. 우주가 계속 진화하게 두면(시간이 계속 흐르면) 이 (뒤의)항이 결국 더 커지겠네요. a의 제곱 분의 1에 비해 a의 세제곱 혹은 a의 네제곱 분의 1이 더 빠르게 작아질 테니까요.
[07:18] 폴: 그렇지만 잠시 생각해봐요. 만일 이 (뒤의) 항이 더 커지면, k를 양수로 놨었었죠. 따라서 전체적으로 음수가 되요. 그 뜻은 a닷이 음수가 된다는 뜻이 잖습니까. (그때가 되면)우주가 팽창을 멈추고 수축하기 시작 하겠지요.
[07:26] 브라이언: 맞아요. 그렇다면 결국, 이런 일이 벌어지면 우주는 갈길을 바꿔서 후진하게 되겠네요. 그 의미는 우주가 점점 커져서 정말 커졌다가 결국 (증가의)부호가 바뀌게 된다는 겁니다. 아주 흥미로운 사안입니다. 그렇죠?
[07:46] 폴: 여기에서 같은 프로그램으로 다른 문제를 풀어보죠. 우주가 현재 시점에서 더 커진다면 어떻게 될지 볼 수 있어요. (기울기, a닷이) 점점더 작아져서 마침내 언잰가는 정지 하겠지요. 정지는 두번째 항이 첫번째 항에 역전될 때쯤이 되겠네요. 그런 다음 수축하기 시작할 테구요.
[07:59] 브라이언: 맞아요. 우주가 여기서(도표의 왼쪽 시작점) 빅뱅(Big Bang)으로 시작되었겠군요. 이쪽에(도표 오른쪽 끝) 우주 최후(Gnab Gib) 점은 표시하기 싫었나보네요. 폴.
[08:08] 폴: 거의 30(Gyr)까지 표시해야 되거든요.(30,000,000,000, 3백억년) 맞아요. 그 끝에서 우주 크기가 0으로 되돌아 가는 지점이죠. 그러니까 모든것이 팽창하다 중지하고 다시 합쳐지는 모든 과정입니다. 그것을 때로 빅 크런치(Big Crunch)라고 부르기도 한답니다.
[08:17] 브라이언: 넵. 빅 크런치(대폭망의 느낌) 보다는 '그냅깁(Gnab Gib)'이 더 좋은데요.
* Gnab Gib, the ultimate fate of the universe, consisting of a Big Bang in reverse (as does its name).
[08:19] 폴: 빅 뱅(Big Bang)을 거꾸로 읽으면 그냅 깁(Gnab Gib)이죠.
[08:21] 브라이언: 넵. 좋습니다. 참 흥미로운 우주관이죠. 마치 처음에는 아주 창대 했다가 마침내 종말을 맞이 하네요.
[08:29] 폴: 좋아요. k 가 0보다 컸을 때(k>0), 그러니까 폐쇄된 구형의 우주(closed, spherical universe)일 때 어떻게 되는지 살펴보는 것은 이쯤 하죠. 괜찮죠?
이제 k 가 0보다 작을 땐(k<0) 어떨까요? 그 경우라면 이 (우변의) 여전히 a가 아주 커지면 첫째항이 여전히 압도 합니다.
[08:40] 브라이언: 그렇죠.
[08:40] 폴: 하지만 여기에 음수니까 k가 0보다 작으면 음수 곱하기 음수는 양수가 되죠. 따라서 두번째 항이 양수가 됩니다. 그리고 a 분의 a닷이 있죠. 그 뜻은 a제곱을 넘기면 우변의 두번째 항 분모에 있던 a제곱이 상쇄되요. 따라서 이 두번째 항이 상수가 되고 여기 kc 제곱이 남죠.
[08:55] 브라이언: 그렇군요. 결국 영원히 가속되네요. 그말은 마치 영원히 작동하는 로켓 엔진 같아요. 따라서 우주가 계속해서 커지기만 합니다.
[09:03] 폴: 맞아요. 이 경우(k<0)에서 아주 빠르게 움직이다가 좀 느려지긴 하지만 0으로 가진 않겠습니다. 느려져 봐야 kc제곱까지죠. 그리하여 점진적으로 증가하는 직선(asymptotic straight line)을 따를 텐데 여기 보이는 것처럼 말이죠. 아주 빠르게 팽창을 지속할 거라는 의미죠.
[09:16] 브라이언: 맞아요. 따라서 우주는 지속적으로, 그러니까 마치 로켓의 탈출 속도 같은 겁니다. 심지어 우주선의 엔진을 꺼도 지구로부터 끝없이 멀어지는 것과 같군요. 그 우주선이 탈출 속도보다 빠른 속도에 이르럿을 경우에요.
[09:32] 폴: 네. 이는 마치 공중으로 공을 던지는 경우에 비유 할 수 있어요. 일예로 만일 살짝 던지면 다시 땅에 떨어지죠. 그것은 k가 0보다 큰 경우 겠지요. 우주가 팽창 했다가 다시 축소됩니다. 만일 탈출 속도로 던지면 순항 속도는 언잰가 0에 이르게 되요. 이는 k가 0인 경우지요. 그리고 만일 정말 빠른 속도로 던져 공이 끝없이 가속되서 특정 속도에 이르럿다고 하죠. 마치 로켓 처럼요. 그렇게 되면 아마도...
[09:59] 폴: 맞아요. 여기에서 보는 것처럼 계속 끝을 향해 나갑니다. 자. 이제 우리는 세가지 우주 모형의 역학에 대해 알아봤어요. 지금까지 살펴본 간단한 모형에서 우주가 종말을 맞을 수도 있고 영원히 유지될 수도 있으며 영원히 빠르게 움직일(팽창할) 수도 있죠.
[주]----------------------------
미분 방정식을 풀려고 하기보다 모형을 해석하고 있다.
[LQ2.7]-----------------------------------------------
Imagine that the universe was dominated by some mysterious substance whose density does not change as the scale factor changes (we'll call it "dark energy").
How will the scale factor of the universe, a(t), evolve
a) The universe will expand at a constant rate
b) The extra mass will pull on the universe and cause it to slow down more rapidly
c] The universe will expand at an accelerating rate.
Explanation
If you plug a constant density into the Friedmann equation you will see that the rate of change of a becomes proportional to a - so the larger the universe is, the faster it will grow.
[00:00] 폴: 이제 그럼 프리드먼 방정식을 제대로 풀어보기로 합시다. 우리는 지금까지 몇가지 (현재의 우주 밀도 ρ, 허블 상수 H 등) 값들을 구해 놨습니다. 하지만 우주의 과거와 미래에 어떻게 변화해 갈지 알아보고 싶지요? 그렇습니다. 우리는 현재 우주의 모습을 알고 있어요. 밀도가 앞으로 어떻게 변할지가 중요한 관심사항 입니다. 현재의 밀도를 이론적으로 계산 할 수 있어요. 하지만 시간을 앞으로 돌리거나 뒤로 돌릴 때 밀도가 어떻게 변할까요? 이 방정식을 풀어 우리가 알게될 (중요한) 한 가지가 될 것입니다.
* "우주 크기 인자 a(t)의 현재 값을 1로 놓으면 프리드먼 방정식의 변수는 밀도 뿐"
[00:24] 브라이언: 흠. 좋아요. 그렇다면.... 원론적으로 a분에 a닷이 무엇인지 알고 있죠. 그것은 바로 허블 상수(Hubble constant) 였습니다. 저의 박사학위 논문의 주제중 하나 였습니다 (아주 오래전부터 연구대상 이었다.) 이제 우리는 그것에 대해 알게 됐습니다(이제 더이상 연구의 대상이 아니다). 그리고 현재 (우주)밀도가 어떻게 되는지 기초적인 측정도 가능해 졌죠. 그러니까 확실히 우리는 현재 밀도가 시간에 따라 어떻게 변할지는 계산해 낼 수 있다는 겁니다. 그렇죠? (밀도의) 그 계산법은 아주 직관적입니다.
[00:50] 폴: 네. 만일 우주의 단위 부피 당 차지하는 질량이 유한하다고 본다면 질량 에너지 보전법칙이 성립해야 하니까 밀도 계산은 아주 간단하죠. 초기 우주론을 되집어 보지요. 물질들이 꾸준히 만들어 진다는 '정상우주론(steady state universe)'이 있었습니다.
[주]------------------------------------------ 정상우주론(Steady State theory, Infinite Universe theory, continuous creation)은 '우주는 시간과 공간에 관계없이 항상 변하지 않는다'는 이론이며, 우주가 시작도 끝도 없이 영원히 존재하며 그 안에서 새로운 물질을 꾸준히 만들어내고 일정부분 팽창한다는 가설이다. 대폭발 이론과 반대되는 이론으로서 20세기 중반까지 지지를 받았으나, 우주 마이크로파 배경의 관측과 함께 사장되었다.
[01:03] 브라이언: 그러니까 말하자면 물질이 에테르(ether)에서 생성되었다는 거죠.
[01:06] 폴: 맞아요. 우리는 이에 대해 첫 강좌에서 다뤘었죠. 여기에서는 자세히 다루진 않을 겁니다. 물질은 보전되며 그 양은 유한하다고 가정 하죠. 그렇다면 일정한 부피의 상자가 있어요. 그 안에 일정량의 물질로 채워져 있습니다. 그 상자의 각변의 길이는 L0 곱하기 a(t) 입니다.
[01:24] 브라이언: 네. 이런 상자를 가지고 있었는데 우주의 크기가 변하도록 했습니다. 그러니까 약간 커졌다고 합시다.
[01:31] 폴: 좋습니다. 우주가 커지면 어떤 일이 벌어질까요. 상자의 각변의 길이도 증가 하겠죠. 상자의 폭, 높이 그리고 깊이가 증가 합니다. 그럼 부피도 길이의 세제곱에 비례하여 증가 합니다. 하지만 상자안에 있는 물질의 양은 변함 없습니다. 질량보전의 법칙이 유효 하다고 가정 했으니까요.
[01:44] 브라이언: 그럼 원자를 생각해보죠. 상자안에 10개의 원자가 있다면 그에 대한 밀도를 갖습니다. 열개 원자의 질량이 있구요. 그리고 상자의 부피가 a의 세제곱으로 늘어 납니다. 이에 따라 밀도ρ는 여기에 보는 것처럼 a의 세제곱에 반비례합니다.
[01:58] 폴: 네. 이는 척 보면 알 수 있는 것이죠. 밀도는 a의 세제곱 분의 1입니다. 그렇다면...
[02:03] 브라이언: 문제 없어요. 좋아요.
[02:03] 폴: 그럼 문제가 해결됐나요?
[02:04] 브라이언: 좋습니다. 된건가요?
* 시간에 따라 밀도가 어떻게 변하는지 알아내는 것이 프리드먼 방정식 풀이의 중요한 목표 였다. 그런데 단순히 질량 보전 법칙으로 밀도변화를 알아 냈다고 하자니 좀 꺼림칙하여 두 과학자가 서로 되묻고 있다.
[02:06] 폴: 글쎄요. 우리가 물질을 다뤄온 것은 사실입니다. 그 물질의 정지 질량(rest mass)이 모든 운동의 원인이었습니다. 그런데 아인슈타인에 의하면 만일 물질이 빛의 속도에 가깝게 움직이면 물질의 대부분이 그 운동에너지, 그러니까 움직임을 의미한다는 겁니다.
[02:18] 브라이언: 아. 그랬죠.
[02:19] 폴: 예를 들면 광자(photon)의 정지 질량은 없습니다. 하지만 광자는 어떤 무게(에너지가 있음)를 나타내는데 아주 빠르게(빛의 속도로) 움직이기 때문이죠.
* 고전역학에서 운동량은 정지질량(고유질량)에 속도를 곱한 것이다. 질량이 운동을 결정한다(운동에너지, E=1/2 mv^2). 양자역학의 에너지(E=hv)는 질량에 상관 없다.
[02:24] 브라이언: 맞습니다. 광자는 에너지를 가지고 있으니 그에 상응하는 질량이 있어야 겠죠. 안그래요?
[02:28] 폴: 그러니까 빛의 속도에 가깝게 움직이는 물질, 또는 마치 빛처럼 광속으로 움직이는 것들을 설명하기는 단순하지 않습니다. 우리가 아는 양자역학에서 광자 또는 빛의 속도에 가까운 속도를 가진 그 어떤 것들이 플랑크 상수 곱하기 주파수에 해당하는 에너지를 갖는다는 것을 알려 줬습니다.
* 주파수는 양의 정수다. 순간적으로 중간 실수값을 갖을수 있지만 이내 정수배로 안정된다.(양자역학)
[02:43] 브라이언: 에너지는 H 누(𝝂, 주파수) 죠. 또는 만일 우리가 (주파수 대신) 파장으로 따진다면, 저는 그렇게 하는 편이 편하게 느껴집니다만, 에너지는 hc 나누기 람다(λ 파장, 길이 차원)가 되죠. 그러니까 𝝂(주파수, 시간당 파동의 갯수)를 c 나누기 λ(파장)로 바꾼 겁니다.
[주] ------------------------------------------------------------
운동 에너지 이든 양자 에너지 이든 모든 에너지의 차원은 같다. 플랑크 상수 H 의 차원에 대해 알아보자. (차원 해석 요약 및 연습문제)
[02:52] 폴: c 는 빛의 속도, λ는 파장을 의미합니다. 자, 그럼, 광자의 경우, (정지질량은 없고 빛의 속도로 움직일때 에너지를 갖는)상대론적 입자(Relativistic matter)는 무엇이든 간에, 공간을 날아 다닙니다. 늘어(stretch) 나겠죠. 공간은 확장 중이죠. 그러면서 앞뒤로 맞잡아 당겨 떨어 뜨리려 합니다. 앞뒤 사이 공간, a의 t, a(t) 에 걸친 ds는 점점더 늘어납니다. 공간이 확장되고 있어요.
[03:13] 브라이언: 그러니까, 만일 파장이 길어지면 에너지도 떨어진다는 뜻이 되죠.
[03:19] 폴: 네.
[03:19] 브라이언: 그것참 이상한데요. 모든 것들을 이 상자안에 넣었는데 어쩐 일인가요?
[03:23] 폴: 네. 여기에 가득찬 상자가, 말하자면 광자와 파동으로 가득찬 상자가 있어요. 공간이 점점 커짐에 따라, 그러니까 상자가 점점 커지는 거죠. 상자가 커지더라도 그안에 있던 광자의 수는 같구요. 그럼 에너지 x는, 질량 밀도와 마찬가지로 a 세제곱 분의 1이 되죠. 그런데 각 광자(상대론 물질)는 (파장이 길어져서) 에너지를 잃게 되겠습니다.
[03:39] 브라이언: 맞습니다. 상자가 커진 정도 만큼 에너지를 잃습니다. 그리고 상자의 부피는 a의 세제곱 이었죠. 그리하여 상자 한변의 길이는...
[03:49,] 폴: 각 광자의 길이 또한 늘어나겠지요.
[03:51] 브라이언: 광자의 파장을 늘려놓은 상자의 한변 길이는 a에 추가적인 인자를 제공하죠. 따라서 이 네번째 인자(광자 파장 길이가 늘어남)에 반비례합니다. 그것은 결국 빛의 밀도를 계산에 영향을 주게 되고, 예를 들어, 원자의 밀도가 시간에 따라 변화율이 달라 집니다.
[04:06] 폴: 그럼 에너지 보존 법칙이 위배된 것은 아닌지 의심을 할지도 모르겠네요. 광자를 늘어지게 만든 에너지는 과연 어디에서 오는 걸까요? 프리드먼 방정식을 유도할 때 기억 나시죠. 에너지 보존 법칙부터 시작 했었죠. 여기 내부 물질의 (운동)에너지가 떨어지면 그만큼 우주의 잠재 에너지로 변화했죠.
[04:24] 브라이언: 맞아요.
[04:25] 폴: 그렇습니다. 확실히 그래야 하죠. 그 말은 현재에 동일한 밀도에서 물질과 에너지가 있다면 미래에 우주가 팽창하면 복사 에너지의 밀도가 (우주는 물질은 매우 희박하고 복사 에너지로 가득하다) 원래 보다 희박해 질 것이라는 겁니다.
[04:36] 브라이언: 당연히 그렇겠죠.
[04:37] 폴: 사실 현재의 우리가 알고 있는 비 상대론적 입자(정지 질량을 가지고 있음)의 밀도는 실제로 복사(상대론적 입자)의 밀도보다 높아요.
[04:44] 브라이언: 그렇죠. 약 5천배 가량 높다고 알려졌죠.
[04:46] 폴: 하지만 아주 아주 옛날로 돌아가면 a의 t, a(t)가 아주 작았을 때, 그러니까 지금처럼 팽창하기 이전이죠, 복사의 밀도가 a의 네제곱 분의 1보다 컸으니까 그때는 a의 세제곱 분의 1인 물질보다 컷던 그 무렵 복사가 우월 했습니다. 그렇죠?
* 상대론적 물질의 밀도는 1/(a^4)에 비례한다. 1/a 가 슬쩍 끼어 들었다.
[05:01} 브라이언: 맞습니다. 그때로 되돌아 가면 지금보다 5천분의 1이 되었죠. (복사는) a의 네제곱분의 일로 줄어들고 다른 것(물질)은 세제곱분의 일 이니까요. 그 둘의 비를 취해봅시다. 비는 결국 a분의 일이 됩니다. 그러니까 우주가 지금보다 5천배 작았을 때 물질과 복사가 얼추 비슷했겠죠. 그보다 더 이전으로 가면 복사가 우주 안에서 좀더 우세했을 겁니다.
[05:26] 폴: 좋아요. 그런데 방정식을 풀기가 좀더 복잡해 지는군요. 복사와 물질이 복잡한 관계에 놓여 있으니까요. 하지만 실질적으로는 한가지 경우로 일반화 하여 취급할 수 있습니다. 그러니까 아주 초창기, 대략 우주가 생성되고 천년이 안된 시기에 복사가 우주를 지배 했죠. 따라서 (밀도는) a의 네제곱 분의 일에 비례했습니다. 처음 천년 이후 부터는 주욱 물질이 지배 했구요. 따라서 a의 세제곱 분의 일이 적용됩니다.
[05:47] 브라이언: 네. 그리고 우주 안에 무언가 더 있을지도 모른다는 겁니다. 우리가 논의 하려고 하는, 왜냐면 우주는 복사와 일반 물질 외에 뭔가 다른 것들도 있다는 것으로 발혀 졌기 때문입니다.
[05:55] 폴: 나중에 이에 대해 더 다뤄 볼 겁니다. 거시적으로 우주는 복사와 물질들로 채워져 있다고 가정 할 것이며 당분간 암흑 물질이나 그에 관련된 사항은 제쳐 두기로 하면 비로서 안정적인 프리드먼 방정식을 푸는데 필요한 재료들을 모두 모은 셈입니다.
* 아직 프리드먼 방정식을 풀지 않았다.
[LQ2.6] ---------------------------------------------------------------------
We've discussed two possible constituents of our universe: matter (with ) and radiation/relativistic matter (with ). But let us imagine that there is a third constituent: Dark Energy, whose density is a constant (i.e. ).
When will dark energy be most dominant?
a) In the very early universe
b) Around now
c] In the future
d) It is equally dominant at all times.
Explanation
As the density of dark energy does not decrease as the universe grows, while radiation and matter both drop in density, dark energy must eventually become much larger in density than either of the others.
[00:01] 브라이언: 휴~ 폴. 정말 많이 배웠어요. 그럼 우리가 배운 것들을 되집어 보고 싶군요. 일반 상대론에 대해 그냥 개념만 다뤘었지요. 등방형이고 균일한 우주를 근거로 프리드먼 방정식을 유도해 냈습니다. 이 방정식은 일반 상대론의 결정판이라고 할 수 있어요.
[00:21] 일반 상대론은 16개의 비선형 연계 미분 방정식이 등장 하지만 (우주를) 단 한개의 일계(관련 변수가 한개) 일반 미분 방정식으로 표현한 이 방정식을 이해하고 싶어요. (한개의 방정식이라니)이 방정식은 대단한 업적입니다. 게다가 이렇게 중요한 방정식을 (유도하는 과정이) 그리 어렵지도 않았습니다.
[00:41] 폴: 그렇습니다. 앞으로 몇번의 강의를 통해 이 (미분)방정식을 풀어보려고 합니다. 그 해가 어떻게 될지 그 의미도 개략적으로 살펴볼 겁니다. 미분 방정식을 이해하려면 미적분학(calculus)을 좀 알아야 합니다. 방정식에 dt 분의 da가 포함되어 있어요. 이런 류의 문제를 풀려면 대학 2년과정 수준의 수학이 필요 합니다. 하지만 이 강좌에서는 약간의 노력으로 여러가지 내용을 얻도록 해볼께요. 먼저 이 방정식이 도데체 어떤 의미를 가지는지 의문을 가져 보는 것으로 시작해 보겠습니다. 지금 당장은 말이죠.
[01:05] 브라이언: 좋아요.
[01:06] 폴: 우리가 알고 있는 사항은 이 시간에도 우주는 팽창 중이라는 겁니다. 그 증거로 기억 하시겠지만 허블의 법칙이 있었죠. 모든 은하들이 서로 멀어지는 도표를 봤었어요. 멀리 떨어질 수록 얼마나 빠르게 멀어지는지 보여줬죠. 그럼 프리드먼 방정식이 주는 의미는 무엇일까요?
* 허블 법칙을 허블 상수(스칼라)와 함께 변위 벡터와 속도 벡터의 방향이 같다는 점에 주목하자. 그리고, '위치벡터'의 연산에서 원점을 특정하지 않는다. '벡터표현'은 서로 멀어질 뿐 원점은 없다는 우주론의 팽창 개념에 매우 부합한다.
[01:23] 브라이언: 먼저 우리가 배웠던 것들을 되새겨 허블의 법칙을 물체의 속도 벡터의 꼴로 표현해 볼텐데 물론 속도는 시간 변화에 얼마나 움직였는지 정의한 것입니다. (속도를 미분연산자로)써보면 dt분의 dr 벡터 입니다.(r 이 벡터임)
[01:38] 폴: 네. 우리의 위치를 기준으로 삼아 0이라고 치죠. 그럼 모든 것들이 우리로부터 멀어집니다.
[01:43] 브라이언: 맞아요. 그리고 움직인 량으로 그 물체들을 측정할 수 있습니다. 마치 속력측정 같은거죠. 그런다음 속력에 대해 방향과 그 길이(크기)를 줍니다.(속도 벡터를 설명중)
[01:55] 폴: 그런데 여기 이 벡터들은 수직선에 쌓여 있군요. 벡터의 크기를 의미하는 것이 겠군요. 그러니까 이 표현은 속도(변위 벡터의 미분)의 크기(속력, speed)를 길이(위치 벡터의 크기)로 나눈 것에 거리(변위 벡터)를 곱했군요. 따라서 분자와 분모가 약분되면 결국 속도(변위 벡터의 미분, 벡터 r닷)였던 겁니다.
[02:07] 브라이언: 맞아요.
[02:08] 폴: 자 그럼, 속도 벡터가 두개의 스칼라 숫자(분자의 속력, 분모의 길이)의 비로 주어진다는 의미는 두 스칼라 값의 비 곱하기 변위 벡터라는 뜻이 되겠습니다. 하지만 로버트슨-워커 측량을 상기해 보면(공동이동 좌표계) 거리를 나타내는 벡터 r은 a 곱하기 (공동이동)좌표 벡터 입니다.
[02:29] 브라이언: 맞아요. 그런데 여기 a 는 가속도를 의미하는 것이 아닙니다.(물리학에서 흔히 가속도를 a 로 표기한다) 여기에서는 배율인자(scale factor) 입니다. 우주의 크기를 가늠하게 해줍니다.
[02:37] 폴: 그렇죠. 위치 벡터 r을 미분하여 위의 식에 치환할 수 있습니다. 벡터 x 는 공동이동 좌표계 입니다. 이 좌표계는 고정되어 있어서 우주가 팽창 하더라도 변하지 않죠. 하지만 물체(은하)들 사이의 거리는 변합니다. t 의 a, a(t)가 변하니까요. 점점더 커질 수도 있고 점점더 작아질 수도 있어요. 아직 커질지 작아질지 모릅니다. (아직 방정식을 풀지 않았으므로 우주가 팽창한다는 사실은 알지 못한다고 하자.) 이 (속도 벡터의)식은 속도가 a닷 나누기 a가 된다는 것을 말해줍니다.
[03:03] 브라이언: 흠... 거기에 거리 벡터가 곱해 졌군요. 그러고 보니 허블 법칙이네요.
[03:07] 폴: 바로 그겁니다. a분의 a닷은, 그러니까 배율의 변화율을 배율로 나눈 것인데 우주가 얼마나 빠르게 팽창하는지 알려줄 겁니다.
[03:16] 브라이언: 그렇군요.
[03:17] 폴: 그럼 이런 관계식을 얻는데요.
[03:19] 브라이언: 바로 허블 법칙이네요.
[03:20] 폴: 그렇습니다.
[03:21] 브라이언: 그러니까 허블 법칙을 가지고 프리드먼 방정식을 다시 쓸 수 있겠네요. 그럼 어떻게 될지 당장 살펴볼까요.
[03:27] 폴: 그럽시다. 허블 상수의 제곱은 이 3분의 8파이 G 곱하기 밀도 더하기 k c제곱 나누기 배율 제곱이 되겠습니다. 일반적으로 현재의 배율인수(scale factor)를 1로 잡아보죠.
[03:39] 브라이언: 좋아요. a분의 a닷의 제곱이 앞선 화면에 있었으니 그것을 활용 합니다. 좋습니다. 이제 우주가 얼마나 빨리 팽창하는지 밀도를 보면 알겠네요. 그리고 크기와 곡률(curvature)에 관한 것도 알겠군요. 하지만 우리가 살고있는 우주는, 예를 들자면 곡률이 없을 수도 있잖습니까.
[04:02] 폴: 네. 먼저 한가지 집고 가자면 허블 상수가 실제로 고정된 값이 아니라는 겁니다. 다른 시간대에 밀도가 변할 테니까요. 그리고 배율인자(scale factor)도 변할 겁니다. 그러니까 과거 십억년전의 허블 상수 혹은 십억년 후의 허블 상수는 달라질 겁니다. 따라서 엄밀히 허블 상수라고 부를 수 없죠. 제 말은...
[04:17] 브라이언: 허블 변수(Hubble's parameter)라고 해야 겠네요.
[04:18] 폴: 그렇죠. 허블 변수(Hubble's parameter). 필요하다면 허블 변수의 현재값을 허블 상수라고 합시다.(워낙 긴 시간에 걸쳐 변하는 값이다.) 하지만, 기억해 보면 k 값에 대해 논의한 적이 있었는데 우주가 이런저런 모습으로 휘어 있는지 말해주는 것이었죠. 이 식은 k에 어떤 의미를 갖는지 생각해 볼 단서를 주고 있군요. 이론적으로(수학적으로) k를 계산해 낼 수 있었습니다. 아주 큰 규모에서 (로버트슨-워커 측량을 활용하여)원주율 파이를 계산하는 과정에서 였죠. 그 과정이 좀 어렵긴 했어요.
[04:34] 브라이언: 만일 현재의 밀도를 계산한다면...
[04:36] 폴: 그리고 허블 상수도 있죠.
[04:37] 브라이언: 허블 상수를 계산 할 수 있고 결국 이 항(a제곱 분의 k c제곱)이 무슨 뜻인지 짐작해 낼 수 있겠습니다. 그리고 k를 구할 수 있는 단서를 제공 할지도 모르겠네요.
[04:47] 폴: 맞아요. 가장 간단한 k가 0인 경우 입니다. 평평한 우주죠. 세개의 모형(k>0, k=0, k<0)을 가른다고 볼 수 있어요. 만일 k=0으로 두면 두번째 항이 0이 되어 없어지죠. 그리하여 이런 식을 얻습니다.
[05:00] 그럼 이식을 계산하여 밀도를 구할 수 있습니다. 그 값을 임계 밀도(critical density)라고 합시다(현재, k=0일 때의 밀도). 다시 말해두지만 밀도는 변합니다. 임계밀도는 3 곱하기 현재 허블 상수의 제곱 나누기 8πG 입니다. 여기 등장하는 모든 기호는 상수입니다.
[05:15] 브라이언: 그러니까 k가 0일때 임계 값으로 보는 거네요. 밀도가 이보다 높아지면 그러니까 우리 우주의 밀도가 임계값보다 크다고 밝혀진 것이죠. 그러면 k가 0대신 +1이 된 겁니다. 그리고 밀도가 그 아래 값이라면 k는...
[05:34] 폴: 음수죠.
[05:35] 브라이언: 음수값. 맞아요.
[05:36] 폴: 허블 상수를 메가 파섹당 초당 약 70 킬로미터로 쳐서 대략 현재의 (우주의 밀도)값을 구하면 세제곱 미터당 약 9곱하기 10의 음 27킬로그램 가량되는 것으로 나옵니다.
[05:47] 브라이언: 지구의 평균 밀도가 세제곱 미터당 5천5백 킬로그램에 비하면 아주 작은 값이군요.
[05:55] 폴: 하지만 천문학적 단위(부피를 세제곱 미터 대신 세제곱 메가파섹)로 변환하면 세제곱 메가 파섹(1파섹=3.26광년)당 10의 11승 배의 태양 질량에 해당 합니다.
[06:02] 브라이언: 아. 그러니가 태양 질량의 10의 11승. 그 정도면 한 은하라고 봐야겠습니다. 거의 은하의 무게에 근접하네요. 우리 은하처럼요.
[06:09] 폴: 그리고 세제곱 메가 파섹은 대략 은하사이의 거리 가량 됩니다.(안드로메다 은하까지 거리 2백 5십만 광년)
[06:12] 브라이언: 그럼 우리가 천문학적 관점에서 보면 우주를 채운 물질의 양에 가까운 값입니다.
[06:18] 폴: 네. 아주 밀도가 낮군요. 어쨌든 우주의 실제 밀도보다 그리 크게 차이가 나지 않습니다. (은하에 속한 별의 갯수를 10의 20승까지도 보지만 천문학에서는 이정도면 비슷하다고 본다. 천문학의 호쾌함!)
[06:23] 브라이언: 흠.... 좋아요.(의심은 가지만 그렇다고 치죠.)
[06:24] 폴: 확실히 크게 높거나 크게 낮지도 않습니다. 그럼 우주는 k가 0인 평평한 우주와 아주 다르지 않을 수도 있겠네요. 한면 혹은 다른 면일 수도 있지만 서로서로 수백배씩 다를 것 같지는 않아요.
[06:34] 브라이언: 그럼 밀도의 측정(계산)이 우리가 우주론에서 논의 해야할 큰 주제들 중 하나가 되겠네요.
[06:39] 폴: 맞아요. 임계 밀도는 매우 중요한 문제 입니다. 그 중요한 주제를 다루기 위해 오메가 Ω 라고 불리는 한 인수를 만들어 냈는데 현재의 밀도를 이 임계밀도로 나눈 비율입니다.
[06:48] 브라이언: 아. 그 의미는 만일 오메가가 1이라면(Ω=1) 우주는 평평한 겁니다. k가 0이죠.
[06:57] 폴: 그렇군요. 만일 오메가가 1보다 크면(Ω>1), k가 0보다 큰 우주(k>0)에 살고 있는 것이고, 큰 구형의 우주죠. 유한한 우주 입니다. 그리고 만일 1보다 작다면(Ω<1) 안장형 우주(k<0)인 거네요.
[07:11] 브라이언: 아. 그렇군요. 따라서 오메가(임계 밀도 비)는 아주 유용한 인자(변수)입니다.
[07:14] 폴: 좋습니다. 확실히 밀도는 이제 중요한 연구 꺼리가 되겠군요.
[07:18] 브라이언: 그렇죠.
[LQ2.5]------------------------------------------------------------
Imagine that you are able to measure the average density of the universe, and this value comes out as lower than the critical density.
What could you deduce from this?
a) k is greater than 0 and the universe is finite
b) k is equal to zero and the universe has a flat geometry
[c] k is less than zero and the universe has an open geometry
d) That you are spending too much of your life thinking about cosmology
