제1부(요약). 공간과 시간(Space and Time)
제2부. 우리 우주의 역학과 기하학(Geometry and Dynamics of our universe)
V2.1 로버트슨-워커 측량(The Robertson-Walker Metric)
V2.2 원주율(π, Pi)
V2.3 휘어진 공간(Curved Space)
V2.4 프리드먼 방정식(The Friedman Equation)
V2.5 임계 밀도(Critical density)
V2.6 밀도 변화(Density Evolution)
V2.7 우주의 진화(Evolution of the Universe) /강좌 동영상/영문자막/한글자막
[00:00] 브라이언:좋습니다. 폴. 흥분 되는 군요. 모든 자료들을 모은 것 같으니 드디어 프리드먼 방정식을 풀 수 있게 되었어요.
[00:09] 폴: 이제 남은 것은 이 미분 방정식 하나 입니다. 이정도면 대학 2학년 수준의 수학이죠. 그럼 이제부터 우리가 할 일은 근사 수치해석 방법(numerical method)으로 문제를 풀어 보려고 합니다. 실제로 우주의 본질을 밝히려면 수치적으로 풀어야 하죠. 해석 수학(analytical method) 만으로 해를 구하는 방법은 사실 존재하지 않아요. 따라서 수치해석을 동원하여 근사적으로 푼다고 해서 크게 틀렸다고 볼 수 없죠.
* 변화 인자는 밀도 ρ, 곡율 k 그리고 배율 a다. 프리드먼 방정식 풀이는 이 세가지 인자에 따라 우주 팽창율이 어떻게 변하는지 살펴보는 것이다.
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해석적(analytical) 방법과 수치적(numerical) 방법
해석적 방법은 단적으로 말하면 연필과 종이를 가지고 수식을 푸는 것이다. 간단한 예를 들어, f(x) = x+3 의 근을 구해보자. 해석적 방법은, f(x) = 0으로 놓고, x+3=0을 푼다. 3을 우변으로 넘겨도 대수 규칙이 성립하므로 x=-3이 근이다. 종이에 쓸 필요도 없이 간단하다.
수치적 방법은 x에 임의의 숫자를 대입해 본다. f(1)=4를 얻는다. 이번에는 x=-4 를 대입하여 f(-4)=-1이다. 부호가 바뀌었으므로 근은 x=-4와 x=1사이 어딘가에 있을 것이다. 이제 범위를 좁혀보자. x=(-4+1)/2=-3/2 을 f(x)에 대입하면 f(-3/2)=3/2 다. 따라서 근은 x=-4와 x=-3/2 사이에 있다. 이런 식으로 x의 범위를 좁혀가며 f(x)=0이 되는 x를 구한다.
미리 준비된 문제가 아니라면 해석적 방법으로 방정식의 해를 구할 수 있는 경우는 아주 드물다. 대부분 물리현상을 모형화한 방정식은 고차항과 초월 함수(지수,로그,삼각함수)들을 포함한다. 이런 방정식을 풀려면 고도로 훈련된 수학 전문가라도 수십시간씩 걸릴 일이다. 더구나 그 해는 대부분 무리수들을 동원한다. 한마디로 해의 정확한 값을 모른채 개념을 남겨 놓는다.
전설속에 등장하는 천재들의 전기 영화를 보면 칠판에 뭔가 대단한 것을 써놓은 것을 본다. 자세히 보자. 외계어로 물리현상을 모형화 했을 뿐 그 방정식의 해를 풀어 놓는 경우는 없다. 실용적인 값이 필요할 경우 '인간 컴퓨터'들이 근사값을 구해 줬을 것이다. 전자계산기(컴퓨터)의 등장으로 방정식의 풀이가 매우 정밀해 졌다. 천재들은 방정식을 만들어 낸다. 그리고 그들은 그 방정식의 타당성을 주장 한다. 그 방정식의 해를 풀어 줄 수 있다면 더할 나위 없지만 대부분 그렇지 못하다.
수학 문제를 풀라고 한다. 그 문제에 등장하는 방정식들은 아주 교묘하게 만들어 져서 연필과 종이로 풀 수 있다. 왜 이런 방정식이 만들어 졌는지 어떤 의미를 가진 방정식인지 설명하지 않은채 답을 요구한다. 정작 풀면서도 이유는 모른다. 변별력이라는 미명하에 수학시험 문제는 더욱 교묘해 가고 그만큼 수포자(수학포기자)도 늘어간다.
수학의 지평이 넓어지면 더욱 복잡한 모형을 만들어 낼 수 있다. 그만큼 방정식이 복잡해지고 더많은 요인들을 방정식에 포함 시킬 수 있다. 이것이 수학을 배우는 진짜이유라고 생각한다.
이 강좌에 등장하는 수학도 대학 2학년 수준의 미적분이라고 한다. 개념은 그럴지 몰라도 사칙 연산과 증가와 감소에 대한 합리적 생각만 할 줄 안다면 우주의 비밀을 이해할 수 있도록 설명하고 있다. 겁먹지 말고 끝까지 파보기로 하자.
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[00:26] 브라이언: 그렇네요. 사실 (컴퓨터를 이용하여)수치적으로 (방정식의) 해를 구하는 방법을 해보신 분이 그리 많지는 않을 겁니다. 하지만 그 방법(수치 근사)도 사실 미적분을 기초하여 구축된 기법입니다. 따라서 그 방법을 이해하고 활용하는데 크게 어려움은 없은 겁니다.
[00:38] 폴: 그렇죠. 따라서 그 방법의 시초는 우리가 알고 있는 것들만 가지고 당장 시작 합시다. 현재의 a(t)를 1로 놓도록 합시다.
[00:47] 브라이언: 왜 그래야 하죠?
[00:49] 폴: 글쎄, 맘에 안들면 어떤 값을 넣어도 되요. 가령 47이라고 해도 좋고 2라고 해도 좋아요. 이 값은 우리가 사용할 좌표계의 눈금 크기(scale factor)를 정의 하는 것입니다. 그러니까, 공동이동좌표계(comoving coordinates) r에 대한 x의 비율 이었지요. a(t)를 1로 둠으로써) 다루기(계산하기)편한 좌표계를 정의 하는 거죠. 현재의 배율 인자(scale factor)를 1로 놓기로 합시다.
[01:03] 브라이언: 그러면 아주 수월 하겠네요.
[01:05] 폴: 맞아요.
[01:06] 브라이언: 좋습니다.
[01:06] 폴: 어떤 문헌을 찾아보면 사람들이 때로 k를 플러스 혹은 마이너스 1로 놓은 걸 보게 될겁니다. 그 말은 a 가 지금 현재 1이라는 뜻은 아닙니다. 원하면 어떤 값으로도 정할 수 있죠. 이번 계산을 위해 (편의상) 현재 값을 1 로 놓자는 것이죠. 말하자면 k 가 어느정도 범위를 갖는 값이라는 뜻입니다.
[01:22] 브라이언: 그럼 값이 1보다 크거나 작을 수도...
[01:26] 폴: 0보다 작을 수도 있죠. 좋아요 일단 배율 인자(scale factor)를 1로 둡시다. 우리가 미래에 우주의 크기가 어떻게 될지, 그리고 과거에 지금의 크기에 비해 얼마나 다를지 가늠 해보려는 겁니다. 그리고 우리는 현재 a닷(배율인자의 변화울)의 값이 얼마인지 허블 상수로 부터 구할 수 있죠. 그리고 현재의 우주밀도를 알고 있다고 해보죠. 최소한 우리는 임계밀도(critical density)에 대한 상대적인 비로 현재의 밀도를 추정해 볼 수 있죠. 아마 임계밀도보다 약간 작거나 크거나 할 겁니다. 그리고 나서 다음 단계로 넘어가보죠.
[01:49] 브라이언: 그럼 시간을 되돌려 보면 어떨까요. 문제 없겠죠.
[01:52] 폴: 우리가 필요한 모든 재료들(허블상수, 임계밀도)을 확보했어요.(자료가 아니라 재료라고 하고 있다. 확보된 재료들을 요리하여 원하는 값(자료)을 유추해 낼 수 있다.) 따라서 우리가 해야할 일은 a닷을 계산해 내는 겁니다. 바로 배율 인자의 시간 변화율로서 dt 분의 da 지요. 지금당장 위 식을 정리하여 앞에 나왔던 식에서 제곱근을 취하면 a닷을 구할 수 있습니다.
* 우리의 목표는 우주의 과거와 미래의 변화를 알고 싶다. a닷은 우주 규모의 시간 변화율이다.
[02:04] 브라이언: 아. 그렇네요. 결국 a의 (시간)변화가 a에 기타 다른 값들을 더한 식으로 나오는데, 다시 a 의 함수가 되어버렸네요.
[02:13] 폴: 그렇군요. 밀도 ρ는 a의 세제곱 분의 일(일반물질) 또는 a에 대해 네제곱(상대론적 물질)입니다. (제곱근 안에)다시 a 제곱 분의 일이 존재하네요. 약간 풀기 난해하게 되었습니다. 그럼 밀도 ρ가 1/a의 세제곱 또는 1/a의 네제곱이 될텐데 상대론적인 복사 물질인지 일반물질 인지에 따라 다를 수 있죠. 지금 사용하려는 (미분 방정식 풀이) 방법은 가장 간단한 수치해석(numerical method)적 방법입니다. 혹은 오일러 방법(Euler's method)이라고도 하지요.
[02:38] 브라이언: 오일러요. 제가 대학 들어갈 때 오일러가 누군지도 몰랐어요(브라이언 박사는 무려 노벨상 수상자다!). 이름이 율러, E-U-L-E-R 라는 줄 알았는데 그분이 오일러 더군요.
[02:50] 폴: 좋아요. 이 방법은 수치해석을 아주 간단하게 해줍니다. 실제로 좀더 복합적인 방법을 사용해서 풀 곤 했습니다. 하지만 실질적으로 아주 정확한 답을 얻게 해줍니다. 어떤 면에서 원하는 답을 답을 얻을 수 있는 실질적인 방법이죠. 어떤 방법인지 지금 해보도록 합시다.
우리가 a를 1로 놨었죠. 약간의 시간이 지난 후 혹은 이전에 a(t)가 어떻게 변했을까요? 이제 시간 간격을 델타 t (Δt), 충분히 작은 시간간격을 주면 그 시간 구간에서는 a 는 그리 크게 변하진 않은 겁니다. 이렇게 작은 시간 간격으로는 결과에 큰 변화가 오진 않습니다. 델타 t가 작은 한 이전 식에서 이것들(ρ와 a)이 모두 작은 시간 간격에서는 다소 차이는 있겠지만 상수값으로 취급 될 수 있으니까요. 따라서 미래 혹은 과거의 시간에 a, a(t+Δt) 가 현재의 a, a(t) 더하기 a닷, 그러니까 a의 변화율 곱하기 Δt 라는 겁니다. (미분의 기초)
[03:39] 브라이언: 네. Δt 시간간격 동안 값이 의미있게 변하지 않더라도 지극히 정상 입니다. 왜냐하면 a닷이 da/dt로, Δt 분의 Δa인데, 여기서 Δt가 정말 정말 작은 값이기 때문이죠.
[03:57] 폴: 네. 그러니까 이것이 미적분의 정의라는 것이죠. 말하자면 얼마나 움직였는지는 현재의 위치치에 변화량 곱하기 시간을 더한 것이네요.
[04:05] 브라이언: 바로 그겁니다. 그리고 작은 프로그램이나 스프레드 쉬트를 작성하여 계산해 볼 수 있습니다.
[04:11] 폴: 그렇죠. 간단한 파이썬 프로그램을 작성해 봤습니다. 학습 웹 페이지에 올려 뒀습니다. (다운로드) 다운 받아서 밀도 값을 여러분 스스로 (인수를) 바꿔보고 우주가 앞으로 어떻게 변화 할 지 살펴보기 바랍니다. 여러분 스스로 이 프로그램을 실행해 결과를 보기 전에 어떻게 될지 한번 보기로 합시다. 여러분 스스로 해보고 그 프로그램이 내놓는 결과를 이해하기 전에 프로그램을 신뢰하면 않됩니다. (비록 노벨상을 받은 천문학자가 제공 했더라도 신뢰 할 수 없다. 남이 해놓은 프로그램 이다.)
[04:33] 브라이언: 그렇죠.
[04:34] 폴: 그럼 간단하게 k 가 0인 평평한 우주의 경우를 보겠습니다. 무슨일이 벌어질까요? 여기에서 마지막 항이 사라졌죠. k 가 0 이니까요.
[04:43] 브라이언: 넵.
[04:44] 폴: 그럼 a닷이 a와 8 파이 G ρ0 a의 세제곱 인데 일반 물질인 경우에요. 복사가 우세한 경우 a의 네제곱이 되어야 하죠. 지금 보는 것은 물질이 우세하다는 것을 보여줍니다. 의견 있으신가요?
[04:55] 브라이언: 그럼 a의 변화율이 a의 제곱근 분의 1에 비례하는 거네요. 그말은 a가 아주 작아지면 우주의 변화율이 아주 커진다는 뜻이네요. 하지만 a 가 점점더 커지게 되면 결과적으로 우주의 팽창이 점점 줄어들어 들겠군요. a분의 1에서 큰 값이 되면 전체적으로 작아질 테니까요.
[05:20] 폴: 그러니까 이 결과의 의미는 현재 a닷이 양수라고 알고있는 우주는 팽창하고 있죠. 항상 양수가 될 겁니다. 그리고 우주는 항상 팽창할 것이구요. a가 얼마나 커질지는 중요치 않고 a값의 제곱근 분의 1이 어떻게 될런지 궁금한 겁니다. 하지만 우주가 점점더 나이를 먹어가면서 아주 아주 커지면서 팽창하는 비율은 감소 합니다. 하지만 (증가율이)0에 도달하지는 않습니다.
[05:38] 그게 전부 일까요? a가 무한대에 접근하면 이 값(a닷)은 0에 도달 하겠지만, 무한대가 되기 전에는 0이 되진 않죠.
[05:43] 브라이언: 그럼 우주가 산산이 부셔져서 종말을 맞이할 거라고 예상 할 수 있죠. 하지만 종말에 도달하지는 않을 겁니다.
[05:50] 폴: 그렇죠. 만일 이 (파이썬으로 작성한) 프로그램의 결과를 구해보면 그것은 한가지 경우에 불과 하다는 것을 알게 될 겁니다. k 가 0 인 경우의 해죠. 이에 대해서 나중에 요약 편에서 다시 보여 줄 겁니다. 이제 여러분이 구한 결과는 물질이 우세한(matter-dominated) 경우인데 a(t)가 t 나누기 t0의 2/3승 입니다. 복사(radiation)가 우세한 경우는 1/2승이죠.
[주]------------------------------------------------
프리드만 방정식은 미분 방정식이다. 이 미분 방정식은 해석적(analytic)으로 풀 수 없다. 다만 k=0일 때 풀이가 가능하다. 이때 프리드먼 방정식은 다음과 같다.
물질이 우세한 우주의 밀도를 대입하고 정리하면 다음과 같다.
배율인자(scale factor)가 시간의 함수 a(t)로서 멱법칙(power-law)을 따른다고 하자. ('경험적'으로 매우 다양한 물리, 생물 및 인간이 만들어낸 현상들이 넓지만 제한된 범위에서 근사적으로 멱법칙을 따른다. 잘 모를 때 일단 두 수의 거듭제곱 함수로 놓고 풀어보니 잘 맞더라는 얘기임.)
a 를 프리드먼 방정식에 대입하여 정리하면(상수부는 뺐다),
미분식은 적분으로 푼다(역시 비례식, 계수 따위 쯤이야 나중에 따지자).
이제 멱법칙으로 정의했던 a 와 미분 방정식으로 풀어낸 a를 등가로 놓고 미지수 q 를 구한다(간단한 연립 방정식).
결국 k=0일때 물질이 지배적인 우주의 a(t)는,
복사가 우세한 우주의 경우를 풀어보자.
[06:05] 이 도표는 우리가 봐왔던 것입니다. 아주 빠르게 팽창하기 시작해서 (팽창율은)항상 감소하죠. 1나누기 제곱근 t 가 서서히 떨어지지만 정지하진 않습니다.
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위 도표에서 곡선의 기울기 a닷에 주목하자. 가로축은 시간 Gyr, 세로축은 a(t)다. a닷은 배율인자 a(t)의 시간 미분이다. 도표에서 기울기다. k=0인 경우 기울기는 감소하나 단조 증가다. 처음 빅뱅의 순간에 엄청난 비율(거의 무한대)로 우주가 팽창 했다.
[06:16] 브라이언: 좋아요. 저는 이런 우주를 선호하죠. 제게는 아주 타당해 보이거든요.
[06:21] 폴: 좋아요. 이는 k가 0인 평평한 우주이고 영원히 지속될 겁니다. 이 우주는 계속 팽창할 것이고 아주 먼 미래에 팽창율은 아주 느리게 될 겁니다(기울기가 아주 작다). 그럼 k가 0보다 큰 경우(K>0)는 어떨까요? 그 경우 프리드먼 방정식은 어떻게 될까요?
[06:33] 브라이언: 좋아요. 같이 따져 보기로 합시다. 여기(좌변)에 a닷 항이 있어요. 여기에 곱하기를 해야 할 겁니다. 제 생각에 허블 상수를 고려해야 할 것 같네요. 우주가 팽창하는 정도를 제곱하네요. 결국 밀도가 a 세제곱 또는 네제곱으로 나눠 지겠습니다. 그리고 나서 (우변 두번째 항의 분모에) a 제곱이 있는데 a가 커지면... 어떻게 되는거죠?
[07:00] 폴: 먼저 이 (우변의) 두 항이 모두 작아지죠. 이 앞에 있는 항이 더 빠르게 작아 집니다. 왜냐하면 밀도 ρ는 a의 세제곱 혹은 네제곱 분의 1이잖아요. 그리고 뒤의 항은 a의 제곱 분의 1이구요.
[07:07] 브라이언: 맞아요. 우주가 계속 진화하게 두면(시간이 계속 흐르면) 이 (뒤의)항이 결국 더 커지겠네요. a의 제곱 분의 1에 비해 a의 세제곱 혹은 a의 네제곱 분의 1이 더 빠르게 작아질 테니까요.
[07:18] 폴: 그렇지만 잠시 생각해봐요. 만일 이 (뒤의) 항이 더 커지면, k를 양수로 놨었었죠. 따라서 전체적으로 음수가 되요. 그 뜻은 a닷이 음수가 된다는 뜻이 잖습니까. (그때가 되면)우주가 팽창을 멈추고 수축하기 시작 하겠지요.
[07:26] 브라이언: 맞아요. 그렇다면 결국, 이런 일이 벌어지면 우주는 갈길을 바꿔서 후진하게 되겠네요. 그 의미는 우주가 점점 커져서 정말 커졌다가 결국 (증가의)부호가 바뀌게 된다는 겁니다. 아주 흥미로운 사안입니다. 그렇죠?
[07:46] 폴: 여기에서 같은 프로그램으로 다른 문제를 풀어보죠. 우주가 현재 시점에서 더 커진다면 어떻게 될지 볼 수 있어요. (기울기, a닷이) 점점더 작아져서 마침내 언잰가는 정지 하겠지요. 정지는 두번째 항이 첫번째 항에 역전될 때쯤이 되겠네요. 그런 다음 수축하기 시작할 테구요.
[07:59] 브라이언: 맞아요. 우주가 여기서(도표의 왼쪽 시작점) 빅뱅(Big Bang)으로 시작되었겠군요. 이쪽에(도표 오른쪽 끝) 우주 최후(Gnab Gib) 점은 표시하기 싫었나보네요. 폴.
[08:08] 폴: 거의 30(Gyr)까지 표시해야 되거든요.(30,000,000,000, 3백억년) 맞아요. 그 끝에서 우주 크기가 0으로 되돌아 가는 지점이죠. 그러니까 모든것이 팽창하다 중지하고 다시 합쳐지는 모든 과정입니다. 그것을 때로 빅 크런치(Big Crunch)라고 부르기도 한답니다.
[08:17] 브라이언: 넵. 빅 크런치(대폭망의 느낌) 보다는 '그냅깁(Gnab Gib)'이 더 좋은데요.
* Gnab Gib, the ultimate fate of the universe, consisting of a Big Bang in reverse (as does its name).
[08:19] 폴: 빅 뱅(Big Bang)을 거꾸로 읽으면 그냅 깁(Gnab Gib)이죠.
[08:21] 브라이언: 넵. 좋습니다. 참 흥미로운 우주관이죠. 마치 처음에는 아주 창대 했다가 마침내 종말을 맞이 하네요.
[08:29] 폴: 좋아요. k 가 0보다 컸을 때(k>0), 그러니까 폐쇄된 구형의 우주(closed, spherical universe)일 때 어떻게 되는지 살펴보는 것은 이쯤 하죠. 괜찮죠?
이제 k 가 0보다 작을 땐(k<0) 어떨까요? 그 경우라면 이 (우변의) 여전히 a가 아주 커지면 첫째항이 여전히 압도 합니다.
[08:40] 브라이언: 그렇죠.
[08:40] 폴: 하지만 여기에 음수니까 k가 0보다 작으면 음수 곱하기 음수는 양수가 되죠. 따라서 두번째 항이 양수가 됩니다. 그리고 a 분의 a닷이 있죠. 그 뜻은 a제곱을 넘기면 우변의 두번째 항 분모에 있던 a제곱이 상쇄되요. 따라서 이 두번째 항이 상수가 되고 여기 kc 제곱이 남죠.
[08:55] 브라이언: 그렇군요. 결국 영원히 가속되네요. 그말은 마치 영원히 작동하는 로켓 엔진 같아요. 따라서 우주가 계속해서 커지기만 합니다.
[09:03] 폴: 맞아요. 이 경우(k<0)에서 아주 빠르게 움직이다가 좀 느려지긴 하지만 0으로 가진 않겠습니다. 느려져 봐야 kc제곱까지죠. 그리하여 점진적으로 증가하는 직선(asymptotic straight line)을 따를 텐데 여기 보이는 것처럼 말이죠. 아주 빠르게 팽창을 지속할 거라는 의미죠.
[09:16] 브라이언: 맞아요. 따라서 우주는 지속적으로, 그러니까 마치 로켓의 탈출 속도 같은 겁니다. 심지어 우주선의 엔진을 꺼도 지구로부터 끝없이 멀어지는 것과 같군요. 그 우주선이 탈출 속도보다 빠른 속도에 이르럿을 경우에요.
[09:32] 폴: 네. 이는 마치 공중으로 공을 던지는 경우에 비유 할 수 있어요. 일예로 만일 살짝 던지면 다시 땅에 떨어지죠. 그것은 k가 0보다 큰 경우 겠지요. 우주가 팽창 했다가 다시 축소됩니다. 만일 탈출 속도로 던지면 순항 속도는 언잰가 0에 이르게 되요. 이는 k가 0인 경우지요. 그리고 만일 정말 빠른 속도로 던져 공이 끝없이 가속되서 특정 속도에 이르럿다고 하죠. 마치 로켓 처럼요. 그렇게 되면 아마도...
[09:57] 브라이언: 네. 마치 파이오니어 우주 탐사선(Pioneer space probes) 처럼 말이죠.
[09:59] 폴: 맞아요. 여기에서 보는 것처럼 계속 끝을 향해 나갑니다. 자. 이제 우리는 세가지 우주 모형의 역학에 대해 알아봤어요. 지금까지 살펴본 간단한 모형에서 우주가 종말을 맞을 수도 있고 영원히 유지될 수도 있으며 영원히 빠르게 움직일(팽창할) 수도 있죠.
[주]----------------------------
미분 방정식을 풀려고 하기보다 모형을 해석하고 있다.
[LQ2.7]-----------------------------------------------
Imagine that the universe was dominated by some mysterious substance whose density does not change as the scale factor changes (we'll call it "dark energy").
How will the scale factor of the universe, a(t), evolve
a) The universe will expand at a constant rate
b) The extra mass will pull on the universe and cause it to slow down more rapidly
c] The universe will expand at an accelerating rate.
Explanation
If you plug a constant density into the Friedmann equation you will see that the rate of change of a becomes proportional to a - so the larger the universe is, the faster it will grow.
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