제1부(요약). 공간과 시간(Space and Time)
제2부. 우리 우주의 역학과 기하학(Geometry and Dynamics of our universe)
V2.1 로버트슨-워커 측량(The Robertson-Walker Metric)
V2.2 원주율(π, Pi)
V2.3 휘어진 공간(Curved Space)
V2.4 프리드먼 방정식(The Friedman Equation)
V2.5 임계 밀도(Critical density)
[00:01] 브라이언: 휴~ 폴. 정말 많이 배웠어요. 그럼 우리가 배운 것들을 되집어 보고 싶군요. 일반 상대론에 대해 그냥 개념만 다뤘었지요. 등방형이고 균일한 우주를 근거로 프리드먼 방정식을 유도해 냈습니다. 이 방정식은 일반 상대론의 결정판이라고 할 수 있어요.
[00:21] 일반 상대론은 16개의 비선형 연계 미분 방정식이 등장 하지만 (우주를) 단 한개의 일계(관련 변수가 한개) 일반 미분 방정식으로 표현한 이 방정식을 이해하고 싶어요. (한개의 방정식이라니)이 방정식은 대단한 업적입니다. 게다가 이렇게 중요한 방정식을 (유도하는 과정이) 그리 어렵지도 않았습니다.
[00:41] 폴: 그렇습니다. 앞으로 몇번의 강의를 통해 이 (미분)방정식을 풀어보려고 합니다. 그 해가 어떻게 될지 그 의미도 개략적으로 살펴볼 겁니다. 미분 방정식을 이해하려면 미적분학(calculus)을 좀 알아야 합니다. 방정식에 dt 분의 da가 포함되어 있어요. 이런 류의 문제를 풀려면 대학 2년과정 수준의 수학이 필요 합니다. 하지만 이 강좌에서는 약간의 노력으로 여러가지 내용을 얻도록 해볼께요. 먼저 이 방정식이 도데체 어떤 의미를 가지는지 의문을 가져 보는 것으로 시작해 보겠습니다. 지금 당장은 말이죠.
[01:05] 브라이언: 좋아요.
[01:06] 폴: 우리가 알고 있는 사항은 이 시간에도 우주는 팽창 중이라는 겁니다. 그 증거로 기억 하시겠지만 허블의 법칙이 있었죠. 모든 은하들이 서로 멀어지는 도표를 봤었어요. 멀리 떨어질 수록 얼마나 빠르게 멀어지는지 보여줬죠. 그럼 프리드먼 방정식이 주는 의미는 무엇일까요?
* 허블 법칙을 허블 상수(스칼라)와 함께 변위 벡터와 속도 벡터의 방향이 같다는 점에 주목하자. 그리고, '위치벡터'의 연산에서 원점을 특정하지 않는다. '벡터표현'은 서로 멀어질 뿐 원점은 없다는 우주론의 팽창 개념에 매우 부합한다.
[01:23] 브라이언: 먼저 우리가 배웠던 것들을 되새겨 허블의 법칙을 물체의 속도 벡터의 꼴로 표현해 볼텐데 물론 속도는 시간 변화에 얼마나 움직였는지 정의한 것입니다. (속도를 미분연산자로)써보면 dt분의 dr 벡터 입니다.(r 이 벡터임)
[01:38] 폴: 네. 우리의 위치를 기준으로 삼아 0이라고 치죠. 그럼 모든 것들이 우리로부터 멀어집니다.
[01:43] 브라이언: 맞아요. 그리고 움직인 량으로 그 물체들을 측정할 수 있습니다. 마치 속력측정 같은거죠. 그런다음 속력에 대해 방향과 그 길이(크기)를 줍니다.(속도 벡터를 설명중)
[01:55] 폴: 그런데 여기 이 벡터들은 수직선에 쌓여 있군요. 벡터의 크기를 의미하는 것이 겠군요. 그러니까 이 표현은 속도(변위 벡터의 미분)의 크기(속력, speed)를 길이(위치 벡터의 크기)로 나눈 것에 거리(변위 벡터)를 곱했군요. 따라서 분자와 분모가 약분되면 결국 속도(변위 벡터의 미분, 벡터 r닷)였던 겁니다.
[02:07] 브라이언: 맞아요.
[02:08] 폴: 자 그럼, 속도 벡터가 두개의 스칼라 숫자(분자의 속력, 분모의 길이)의 비로 주어진다는 의미는 두 스칼라 값의 비 곱하기 변위 벡터라는 뜻이 되겠습니다. 하지만 로버트슨-워커 측량을 상기해 보면(공동이동 좌표계) 거리를 나타내는 벡터 r은 a 곱하기 (공동이동)좌표 벡터 입니다.
[02:29] 브라이언: 맞아요. 그런데 여기 a 는 가속도를 의미하는 것이 아닙니다.(물리학에서 흔히 가속도를 a 로 표기한다) 여기에서는 배율인자(scale factor) 입니다. 우주의 크기를 가늠하게 해줍니다.
[02:37] 폴: 그렇죠. 위치 벡터 r을 미분하여 위의 식에 치환할 수 있습니다. 벡터 x 는 공동이동 좌표계 입니다. 이 좌표계는 고정되어 있어서 우주가 팽창 하더라도 변하지 않죠. 하지만 물체(은하)들 사이의 거리는 변합니다. t 의 a, a(t)가 변하니까요. 점점더 커질 수도 있고 점점더 작아질 수도 있어요. 아직 커질지 작아질지 모릅니다. (아직 방정식을 풀지 않았으므로 우주가 팽창한다는 사실은 알지 못한다고 하자.) 이 (속도 벡터의)식은 속도가 a닷 나누기 a가 된다는 것을 말해줍니다.
[03:03] 브라이언: 흠... 거기에 거리 벡터가 곱해 졌군요. 그러고 보니 허블 법칙이네요.
[03:07] 폴: 바로 그겁니다. a분의 a닷은, 그러니까 배율의 변화율을 배율로 나눈 것인데 우주가 얼마나 빠르게 팽창하는지 알려줄 겁니다.
[03:16] 브라이언: 그렇군요.
[03:17] 폴: 그럼 이런 관계식을 얻는데요.
[03:19] 브라이언: 바로 허블 법칙이네요.
[03:20] 폴: 그렇습니다.
[03:21] 브라이언: 그러니까 허블 법칙을 가지고 프리드먼 방정식을 다시 쓸 수 있겠네요. 그럼 어떻게 될지 당장 살펴볼까요.
[03:27] 폴: 그럽시다. 허블 상수의 제곱은 이 3분의 8파이 G 곱하기 밀도 더하기 k c제곱 나누기 배율 제곱이 되겠습니다. 일반적으로 현재의 배율인수(scale factor)를 1로 잡아보죠.
[03:39] 브라이언: 좋아요. a분의 a닷의 제곱이 앞선 화면에 있었으니 그것을 활용 합니다. 좋습니다. 이제 우주가 얼마나 빨리 팽창하는지 밀도를 보면 알겠네요. 그리고 크기와 곡률(curvature)에 관한 것도 알겠군요. 하지만 우리가 살고있는 우주는, 예를 들자면 곡률이 없을 수도 있잖습니까.
[04:02] 폴: 네. 먼저 한가지 집고 가자면 허블 상수가 실제로 고정된 값이 아니라는 겁니다. 다른 시간대에 밀도가 변할 테니까요. 그리고 배율인자(scale factor)도 변할 겁니다. 그러니까 과거 십억년전의 허블 상수 혹은 십억년 후의 허블 상수는 달라질 겁니다. 따라서 엄밀히 허블 상수라고 부를 수 없죠. 제 말은...
[04:17] 브라이언: 허블 변수(Hubble's parameter)라고 해야 겠네요.
[04:18] 폴: 그렇죠. 허블 변수(Hubble's parameter). 필요하다면 허블 변수의 현재값을 허블 상수라고 합시다.(워낙 긴 시간에 걸쳐 변하는 값이다.) 하지만, 기억해 보면 k 값에 대해 논의한 적이 있었는데 우주가 이런저런 모습으로 휘어 있는지 말해주는 것이었죠. 이 식은 k에 어떤 의미를 갖는지 생각해 볼 단서를 주고 있군요. 이론적으로(수학적으로) k를 계산해 낼 수 있었습니다. 아주 큰 규모에서 (로버트슨-워커 측량을 활용하여)원주율 파이를 계산하는 과정에서 였죠. 그 과정이 좀 어렵긴 했어요.
[04:34] 브라이언: 만일 현재의 밀도를 계산한다면...
[04:36] 폴: 그리고 허블 상수도 있죠.
[04:37] 브라이언: 허블 상수를 계산 할 수 있고 결국 이 항(a제곱 분의 k c제곱)이 무슨 뜻인지 짐작해 낼 수 있겠습니다. 그리고 k를 구할 수 있는 단서를 제공 할지도 모르겠네요.
[04:47] 폴: 맞아요. 가장 간단한 k가 0인 경우 입니다. 평평한 우주죠. 세개의 모형(k>0, k=0, k<0)을 가른다고 볼 수 있어요. 만일 k=0으로 두면 두번째 항이 0이 되어 없어지죠. 그리하여 이런 식을 얻습니다.
[05:00] 그럼 이식을 계산하여 밀도를 구할 수 있습니다. 그 값을 임계 밀도(critical density)라고 합시다(현재, k=0일 때의 밀도). 다시 말해두지만 밀도는 변합니다. 임계밀도는 3 곱하기 현재 허블 상수의 제곱 나누기 8πG 입니다. 여기 등장하는 모든 기호는 상수입니다.
[05:15] 브라이언: 그러니까 k가 0일때 임계 값으로 보는 거네요. 밀도가 이보다 높아지면 그러니까 우리 우주의 밀도가 임계값보다 크다고 밝혀진 것이죠. 그러면 k가 0대신 +1이 된 겁니다. 그리고 밀도가 그 아래 값이라면 k는...
[05:34] 폴: 음수죠.
[05:35] 브라이언: 음수값. 맞아요.
[05:36] 폴: 허블 상수를 메가 파섹당 초당 약 70 킬로미터로 쳐서 대략 현재의 (우주의 밀도)값을 구하면 세제곱 미터당 약 9곱하기 10의 음 27킬로그램 가량되는 것으로 나옵니다.
[05:47] 브라이언: 지구의 평균 밀도가 세제곱 미터당 5천5백 킬로그램에 비하면 아주 작은 값이군요.
[05:55] 폴: 하지만 천문학적 단위(부피를 세제곱 미터 대신 세제곱 메가파섹)로 변환하면 세제곱 메가 파섹(1파섹=3.26광년)당 10의 11승 배의 태양 질량에 해당 합니다.
[06:02] 브라이언: 아. 그러니가 태양 질량의 10의 11승. 그 정도면 한 은하라고 봐야겠습니다. 거의 은하의 무게에 근접하네요. 우리 은하처럼요.
[06:09] 폴: 그리고 세제곱 메가 파섹은 대략 은하사이의 거리 가량 됩니다.(안드로메다 은하까지 거리 2백 5십만 광년)
[06:12] 브라이언: 그럼 우리가 천문학적 관점에서 보면 우주를 채운 물질의 양에 가까운 값입니다.
[06:18] 폴: 네. 아주 밀도가 낮군요. 어쨌든 우주의 실제 밀도보다 그리 크게 차이가 나지 않습니다. (은하에 속한 별의 갯수를 10의 20승까지도 보지만 천문학에서는 이정도면 비슷하다고 본다. 천문학의 호쾌함!)
[06:23] 브라이언: 흠.... 좋아요.(의심은 가지만 그렇다고 치죠.)
[06:24] 폴: 확실히 크게 높거나 크게 낮지도 않습니다. 그럼 우주는 k가 0인 평평한 우주와 아주 다르지 않을 수도 있겠네요. 한면 혹은 다른 면일 수도 있지만 서로서로 수백배씩 다를 것 같지는 않아요.
[06:34] 브라이언: 그럼 밀도의 측정(계산)이 우리가 우주론에서 논의 해야할 큰 주제들 중 하나가 되겠네요.
[06:39] 폴: 맞아요. 임계 밀도는 매우 중요한 문제 입니다. 그 중요한 주제를 다루기 위해 오메가 Ω 라고 불리는 한 인수를 만들어 냈는데 현재의 밀도를 이 임계밀도로 나눈 비율입니다.
[06:48] 브라이언: 아. 그 의미는 만일 오메가가 1이라면(Ω=1) 우주는 평평한 겁니다. k가 0이죠.
[06:57] 폴: 그렇군요. 만일 오메가가 1보다 크면(Ω>1), k가 0보다 큰 우주(k>0)에 살고 있는 것이고, 큰 구형의 우주죠. 유한한 우주 입니다. 그리고 만일 1보다 작다면(Ω<1) 안장형 우주(k<0)인 거네요.
[07:11] 브라이언: 아. 그렇군요. 따라서 오메가(임계 밀도 비)는 아주 유용한 인자(변수)입니다.
[07:14] 폴: 좋습니다. 확실히 밀도는 이제 중요한 연구 꺼리가 되겠군요.
[07:18] 브라이언: 그렇죠.
[LQ2.5]------------------------------------------------------------
Imagine that you are able to measure the average density of the universe, and this value comes out as lower than the critical density.
What could you deduce from this?
a) k is greater than 0 and the universe is finite
b) k is equal to zero and the universe has a flat geometry
[c] k is less than zero and the universe has an open geometry
d) That you are spending too much of your life thinking about cosmology
[이전글]<----------[목록]---------->[다음글]
댓글 없음:
댓글 쓰기