제1부(요약). 공간과 시간(Space and Time)
제2부. 우리 우주의 역학과 기하학(Geometry and Dynamics of our universe)
V2.1 로버트슨-워커 측량(The Robertson-Walker Metric)
V2.2 원주율(π, Pi)
V2.3 휘어진 공간(Curved Space)
V2.4 프리드먼 방정식(The Friedman Equation)
V2.5 임계 밀도(Critical density)
V2.6 밀도 변화(Density Evolution) /강좌 동영상/영문자막/한글자막
[00:00] 폴: 이제 그럼 프리드먼 방정식을 제대로 풀어보기로 합시다. 우리는 지금까지 몇가지 (현재의 우주 밀도 ρ, 허블 상수 H 등) 값들을 구해 놨습니다. 하지만 우주의 과거와 미래에 어떻게 변화해 갈지 알아보고 싶지요? 그렇습니다. 우리는 현재 우주의 모습을 알고 있어요. 밀도가 앞으로 어떻게 변할지가 중요한 관심사항 입니다. 현재의 밀도를 이론적으로 계산 할 수 있어요. 하지만 시간을 앞으로 돌리거나 뒤로 돌릴 때 밀도가 어떻게 변할까요? 이 방정식을 풀어 우리가 알게될 (중요한) 한 가지가 될 것입니다.
* "우주 크기 인자 a(t)의 현재 값을 1로 놓으면 프리드먼 방정식의 변수는 밀도 뿐"
[00:24] 브라이언: 흠. 좋아요. 그렇다면.... 원론적으로 a분에 a닷이 무엇인지 알고 있죠. 그것은 바로 허블 상수(Hubble constant) 였습니다. 저의 박사학위 논문의 주제중 하나 였습니다 (아주 오래전부터 연구대상 이었다.) 이제 우리는 그것에 대해 알게 됐습니다(이제 더이상 연구의 대상이 아니다). 그리고 현재 (우주)밀도가 어떻게 되는지 기초적인 측정도 가능해 졌죠. 그러니까 확실히 우리는 현재 밀도가 시간에 따라 어떻게 변할지는 계산해 낼 수 있다는 겁니다. 그렇죠? (밀도의) 그 계산법은 아주 직관적입니다.
[00:50] 폴: 네. 만일 우주의 단위 부피 당 차지하는 질량이 유한하다고 본다면 질량 에너지 보전법칙이 성립해야 하니까 밀도 계산은 아주 간단하죠. 초기 우주론을 되집어 보지요. 물질들이 꾸준히 만들어 진다는 '정상우주론(steady state universe)'이 있었습니다.
[주]------------------------------------------
정상우주론(Steady State theory, Infinite Universe theory, continuous creation)은 '우주는 시간과 공간에 관계없이 항상 변하지 않는다'는 이론이며, 우주가 시작도 끝도 없이 영원히 존재하며 그 안에서 새로운 물질을 꾸준히 만들어내고 일정부분 팽창한다는 가설이다. 대폭발 이론과 반대되는 이론으로서 20세기 중반까지 지지를 받았으나, 우주 마이크로파 배경의 관측과 함께 사장되었다.
[01:03] 브라이언: 그러니까 말하자면 물질이 에테르(ether)에서 생성되었다는 거죠.
[01:06] 폴: 맞아요. 우리는 이에 대해 첫 강좌에서 다뤘었죠. 여기에서는 자세히 다루진 않을 겁니다. 물질은 보전되며 그 양은 유한하다고 가정 하죠. 그렇다면 일정한 부피의 상자가 있어요. 그 안에 일정량의 물질로 채워져 있습니다. 그 상자의 각변의 길이는 L0 곱하기 a(t) 입니다.
[01:24] 브라이언: 네. 이런 상자를 가지고 있었는데 우주의 크기가 변하도록 했습니다. 그러니까 약간 커졌다고 합시다.
[01:31] 폴: 좋습니다. 우주가 커지면 어떤 일이 벌어질까요. 상자의 각변의 길이도 증가 하겠죠. 상자의 폭, 높이 그리고 깊이가 증가 합니다. 그럼 부피도 길이의 세제곱에 비례하여 증가 합니다. 하지만 상자안에 있는 물질의 양은 변함 없습니다. 질량보전의 법칙이 유효 하다고 가정 했으니까요.
[01:44] 브라이언: 그럼 원자를 생각해보죠. 상자안에 10개의 원자가 있다면 그에 대한 밀도를 갖습니다. 열개 원자의 질량이 있구요. 그리고 상자의 부피가 a의 세제곱으로 늘어 납니다. 이에 따라 밀도ρ는 여기에 보는 것처럼 a의 세제곱에 반비례합니다.
[01:58] 폴: 네. 이는 척 보면 알 수 있는 것이죠. 밀도는 a의 세제곱 분의 1입니다. 그렇다면...
[02:03] 브라이언: 문제 없어요. 좋아요.
[02:03] 폴: 그럼 문제가 해결됐나요?
[02:04] 브라이언: 좋습니다. 된건가요?
* 시간에 따라 밀도가 어떻게 변하는지 알아내는 것이 프리드먼 방정식 풀이의 중요한 목표 였다. 그런데 단순히 질량 보전 법칙으로 밀도변화를 알아 냈다고 하자니 좀 꺼림칙하여 두 과학자가 서로 되묻고 있다.
[02:06] 폴: 글쎄요. 우리가 물질을 다뤄온 것은 사실입니다. 그 물질의 정지 질량(rest mass)이 모든 운동의 원인이었습니다. 그런데 아인슈타인에 의하면 만일 물질이 빛의 속도에 가깝게 움직이면 물질의 대부분이 그 운동에너지, 그러니까 움직임을 의미한다는 겁니다.
[02:18] 브라이언: 아. 그랬죠.
[02:19] 폴: 예를 들면 광자(photon)의 정지 질량은 없습니다. 하지만 광자는 어떤 무게(에너지가 있음)를 나타내는데 아주 빠르게(빛의 속도로) 움직이기 때문이죠.
* 고전역학에서 운동량은 정지질량(고유질량)에 속도를 곱한 것이다. 질량이 운동을 결정한다(운동에너지, E=1/2 mv^2). 양자역학의 에너지(E=hv)는 질량에 상관 없다.
[02:24] 브라이언: 맞습니다. 광자는 에너지를 가지고 있으니 그에 상응하는 질량이 있어야 겠죠. 안그래요?
[02:28] 폴: 그러니까 빛의 속도에 가깝게 움직이는 물질, 또는 마치 빛처럼 광속으로 움직이는 것들을 설명하기는 단순하지 않습니다. 우리가 아는 양자역학에서 광자 또는 빛의 속도에 가까운 속도를 가진 그 어떤 것들이 플랑크 상수 곱하기 주파수에 해당하는 에너지를 갖는다는 것을 알려 줬습니다.
* 주파수는 양의 정수다. 순간적으로 중간 실수값을 갖을수 있지만 이내 정수배로 안정된다.(양자역학)
[02:43] 브라이언: 에너지는 H 누(𝝂, 주파수) 죠. 또는 만일 우리가 (주파수 대신) 파장으로 따진다면, 저는 그렇게 하는 편이 편하게 느껴집니다만, 에너지는 hc 나누기 람다(λ 파장, 길이 차원)가 되죠. 그러니까 𝝂(주파수, 시간당 파동의 갯수)를 c 나누기 λ(파장)로 바꾼 겁니다.
[주] ------------------------------------------------------------
운동 에너지 이든 양자 에너지 이든 모든 에너지의 차원은 같다. 플랑크 상수 H 의 차원에 대해 알아보자. (차원 해석 요약 및 연습문제)
[02:52] 폴: c 는 빛의 속도, λ는 파장을 의미합니다. 자, 그럼, 광자의 경우, (정지질량은 없고 빛의 속도로 움직일때 에너지를 갖는)상대론적 입자(Relativistic matter)는 무엇이든 간에, 공간을 날아 다닙니다. 늘어(stretch) 나겠죠. 공간은 확장 중이죠. 그러면서 앞뒤로 맞잡아 당겨 떨어 뜨리려 합니다. 앞뒤 사이 공간, a의 t, a(t) 에 걸친 ds는 점점더 늘어납니다. 공간이 확장되고 있어요.
[03:13] 브라이언: 그러니까, 만일 파장이 길어지면 에너지도 떨어진다는 뜻이 되죠.
[03:19] 폴: 네.
[03:19] 브라이언: 그것참 이상한데요. 모든 것들을 이 상자안에 넣었는데 어쩐 일인가요?
[03:23] 폴: 네. 여기에 가득찬 상자가, 말하자면 광자와 파동으로 가득찬 상자가 있어요. 공간이 점점 커짐에 따라, 그러니까 상자가 점점 커지는 거죠. 상자가 커지더라도 그안에 있던 광자의 수는 같구요. 그럼 에너지 x는, 질량 밀도와 마찬가지로 a 세제곱 분의 1이 되죠. 그런데 각 광자(상대론 물질)는 (파장이 길어져서) 에너지를 잃게 되겠습니다.
[03:39] 브라이언: 맞습니다. 상자가 커진 정도 만큼 에너지를 잃습니다. 그리고 상자의 부피는 a의 세제곱 이었죠. 그리하여 상자 한변의 길이는...
[03:49,] 폴: 각 광자의 길이 또한 늘어나겠지요.
[03:51] 브라이언: 광자의 파장을 늘려놓은 상자의 한변 길이는 a에 추가적인 인자를 제공하죠. 따라서 이 네번째 인자(광자 파장 길이가 늘어남)에 반비례합니다. 그것은 결국 빛의 밀도를 계산에 영향을 주게 되고, 예를 들어, 원자의 밀도가 시간에 따라 변화율이 달라 집니다.
[04:06] 폴: 그럼 에너지 보존 법칙이 위배된 것은 아닌지 의심을 할지도 모르겠네요. 광자를 늘어지게 만든 에너지는 과연 어디에서 오는 걸까요? 프리드먼 방정식을 유도할 때 기억 나시죠. 에너지 보존 법칙부터 시작 했었죠. 여기 내부 물질의 (운동)에너지가 떨어지면 그만큼 우주의 잠재 에너지로 변화했죠.
[04:24] 브라이언: 맞아요.
[04:25] 폴: 그렇습니다. 확실히 그래야 하죠. 그 말은 현재에 동일한 밀도에서 물질과 에너지가 있다면 미래에 우주가 팽창하면 복사 에너지의 밀도가 (우주는 물질은 매우 희박하고 복사 에너지로 가득하다) 원래 보다 희박해 질 것이라는 겁니다.
[04:36] 브라이언: 당연히 그렇겠죠.
[04:37] 폴: 사실 현재의 우리가 알고 있는 비 상대론적 입자(정지 질량을 가지고 있음)의 밀도는 실제로 복사(상대론적 입자)의 밀도보다 높아요.
[04:44] 브라이언: 그렇죠. 약 5천배 가량 높다고 알려졌죠.
[04:46] 폴: 하지만 아주 아주 옛날로 돌아가면 a의 t, a(t)가 아주 작았을 때, 그러니까 지금처럼 팽창하기 이전이죠, 복사의 밀도가 a의 네제곱 분의 1보다 컸으니까 그때는 a의 세제곱 분의 1인 물질보다 컷던 그 무렵 복사가 우월 했습니다. 그렇죠?
* 상대론적 물질의 밀도는 1/(a^4)에 비례한다. 1/a 가 슬쩍 끼어 들었다.
[05:01} 브라이언: 맞습니다. 그때로 되돌아 가면 지금보다 5천분의 1이 되었죠. (복사는) a의 네제곱분의 일로 줄어들고 다른 것(물질)은 세제곱분의 일 이니까요. 그 둘의 비를 취해봅시다. 비는 결국 a분의 일이 됩니다. 그러니까 우주가 지금보다 5천배 작았을 때 물질과 복사가 얼추 비슷했겠죠. 그보다 더 이전으로 가면 복사가 우주 안에서 좀더 우세했을 겁니다.
[05:26] 폴: 좋아요. 그런데 방정식을 풀기가 좀더 복잡해 지는군요. 복사와 물질이 복잡한 관계에 놓여 있으니까요. 하지만 실질적으로는 한가지 경우로 일반화 하여 취급할 수 있습니다. 그러니까 아주 초창기, 대략 우주가 생성되고 천년이 안된 시기에 복사가 우주를 지배 했죠. 따라서 (밀도는) a의 네제곱 분의 일에 비례했습니다. 처음 천년 이후 부터는 주욱 물질이 지배 했구요. 따라서 a의 세제곱 분의 일이 적용됩니다.
[05:47] 브라이언: 네. 그리고 우주 안에 무언가 더 있을지도 모른다는 겁니다. 우리가 논의 하려고 하는, 왜냐면 우주는 복사와 일반 물질 외에 뭔가 다른 것들도 있다는 것으로 발혀 졌기 때문입니다.
[05:55] 폴: 나중에 이에 대해 더 다뤄 볼 겁니다. 거시적으로 우주는 복사와 물질들로 채워져 있다고 가정 할 것이며 당분간 암흑 물질이나 그에 관련된 사항은 제쳐 두기로 하면 비로서 안정적인 프리드먼 방정식을 푸는데 필요한 재료들을 모두 모은 셈입니다.
* 아직 프리드먼 방정식을 풀지 않았다.
[LQ2.6] ---------------------------------------------------------------------
We've discussed two possible constituents of our universe: matter (with ) and radiation/relativistic matter (with ). But let us imagine that there is a third constituent: Dark Energy, whose density is a constant (i.e. ).
When will dark energy be most dominant?
a) In the very early universe
b) Around now
c] In the future
d) It is equally dominant at all times.
Explanation
As the density of dark energy does not decrease as the universe grows, while radiation and matter both drop in density, dark energy must eventually become much larger in density than either of the others.
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