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1. 신박한 할인율 계산법 (x^n의 미분법)
2. 구구단만 알아도 미적분... (1. 미분)
3. 구구단만 알아도 미적분... (2. 적분)
구구단과 약간의 수학적 상식으로 시작해서 어느새 미분과 적분의 고개를 넘어와 버렸습니다. 지난 편에서 미적분이 자연을 이해하는 도구가 될거라고 했습니다. 이제 앞서 배운 미적분을 활용하여 고전역학의 기초를 이해해 보겠습니다. 먼저 복습을 조금만 해봅시다.
- 미분과 적분은 서로 역 관계에 있다.
- 다항식의 미분과 적분
구구단을 공식이라고 할 것도 없는 듯이, 이정도 미적분은 당연하게 받아 들입시다. 구구단과 위의 미적분 공식에서 굳이 다른 점을 찾으라면 기호가 조금 복잡해졌다는 것 뿐입니다. 알고보면 별것도 아니지만 수학좀 안다고 뽐내도 좋을 그런 기호들이죠. 이참에 외워두면 좋습니다. 더블어 뉴튼의 고전역학을 미적분으로 설명할 수 있다고 생각만 해도 어디가서 체면이 선다고 아니할 수 없을 것입니다.
고전역학의 기본
인지할 수 있는 질량을 가진 물체가 역시 인지할 수 있는 속력으로 움직일 때 이를 묘사하는 학문을 "고전역학"이라고 합시다. 너무나 가벼운 입자들, 무게가 없고 빠른 속도의 빛 따위를 기술하는 방법을 상대적으로 "현대물리"라고 하면 대략 틀리지 않을 겁니다. "고전물리"의 기본은 질량을 가진 물체의 위치, 속도 그리고 가속도를 표현하는 것으로 시작 합니다.
위치
지도상의 한 점은 위도와 경도로 표현 합니다. 이를 평면에 2개의 축을 세워 놓고 좌표 (x, y)를 표시한다고 합니다. 기왕 공부하는 김에 좀 입체적으로 놀아봅시다. 3차원 공간에서 한 점의 위치를 세개의 축을 설정한 후 좌표 (x, y, z)로 표시합니다. 이 위치를 표시하기 위해 세점을 모두 쓰기 번거롭습니다. 그래서 한가지 개념을 더 정의해 봅니다. 원점에서 시작하여 이 지점까지 화살표를 그어 놓고 이를 벡터 r 이라고 부릅니다. 사실 "벡터(Vector)"에는 복잡하고 많은 의미가 있지만 지금은 그냥 "번거로워서" 한 개의 기호로 표시한 것으로 해둡시다.
"벡터"라고 하면 보통 화살표로서 표시되는데 이는 "방향"과 길이라고 하는 "크기(값)", 두가지 의미를 표현하기 때문 입니다. 사실 "방향"과 "값"에 대한 의미는 이미 알고 있었던 개념 입니다. 만일 "+100"라는 표현을 봤다면 이렇게 생각했을 겁니다. 원점 0에서 양의 방향으로 100만큼의 크기를 갖는 어떤 것, "-100"라는 표현을 봤다면, 원점 0에서 음의 방향으로 100만큼의 크기를 갖는 "무엇"인가를 떠올렸을 겁니다. +100 혹은 -100이라는 표현은 1차원 벡터로서 방향과 크기의 정보를 포함하고 있으며 "원점으로 부터"라는 사실은 암묵적으로 동의한 것이죠. 단, 1차원의 경우 벡터라고 하지 않습니다. 값에 부호만 붙이면 되므로 표기할 때 '번거롭지' 않으니까요. 2차원 쯤 되어야 두개 값의 쌍으로 한 위치를 표현하는 번거로움이 발생하겠지요. 그리고 각 값에 부호를 붙일 수 있습니다.
단순히 P(x,y,z)이라고 표현하면 3차원 좌표상의 한 위치 입니다. 만일 "원점"에서 이 "지점"까지 향한 "화살표"의 종점을 나타낸 것이라면 (x,y,z)를 "위치 벡터 r"이라고 부릅니다. 그리고 이 화살표에 r 이라는 이름표를 붙였는데 단순히 변수가 아닌 벡터라는 뜻에서 머리에 화살표를 씌웠습니다. 위의 그림에서 벡터 r의 방향은 "원점"에서 (x,y,z)로 향하며 길이(크기)는 피타고라스 정리에 따라 sqrt(x^2 + y^2 + z^2) 입니다.
언뜻 보기에 점의 위치를 P(x,y,z)으로 표현한 것이나 "벡터 r"이나 별다른 차이가 없어 보입니다. 나중에 "벡터"에 대하여 좀더 자세히 살펴 보겠지만, 위치를 벡터로 표현하면 다양한 수학적, 물리적 생각을 효과적으로 표현할 수 있는 매우 유용한 수학적 도구가 됩니다. 여기에서는 일단 원점에서 시작하여 해당 좌표에 이르는 위치를 벡터로 표현한 것이라고 해둡시다. 좌표 (x, y, z)를 "점"이라고 칭하는 것과 "벡터"라고 부르는 것에는 다른 의미가 있다는 것을 명심해 두십시요.
속도
속력는 이동 거리를 시간으로 나눈 "값"입니다. 보통 "시속 10키로미터"라고 하면서 10km/h라고 씁니다. 단위가 곧 속력을 계산하는 공식과 같습니다.
좀더 수학적으로 표현하자면 시간변화에 대한 위히변화라고 하죠. 위치와 속도가 벡터로 표현되었습니다.
1차원만 생각 한다면 "속력"만으로 충분 합니다. 한개의 값과 부호로 결정 할 수 있으니까요. 하지만 2차원, 3차원으로 올라가면 좀 "번거로워" 집니다. 각 축 마다 성분별로 표시를 해주어야 하니까요. 그래서 위치를 벡터로 표시 했듯이 속도도 벡터로 표시하기로 합니다.
3차원 공간에서 각각의 성분을 갖는 벡터로 표현된 위치는 시간이 지남에 따라 움직입니다. 이런 위치 변화는 "시간의 함수다"라고 할 수 있습니다. 그리고 한 위치의 순간 변화율, 즉 위치에서 접선의 기울기 또는 위치 벡터의 미분이 속도 입니다.
위의 그림에서 시간 t=t0일때 점 P0가 t=t1일때 점 P1으로 이동 하였습니다. 이동 경로상을 쫒는 화살표는 길이도 바뀌고 방향도 바뀝니다. 한마디로 위치 벡터가 바뀌어 간다고 할 수 있겠습니다. 위치가 벡터 이므로 움직임도 방향을 갖습니다. 결국 "속도"도 크기와 방향을 가지는 벡터입니다. 속도(velocity)의 크기를 속력(speed)이라고 합니다.
위치의 움직임을 미분하여 속도는 다음과 같이 기술합니다. 위치 벡터를 미분할 수도 있으며 위치 벡터의 각 성분별로 미분하기도 합니다. 또한 미분을 표기할 때 점을 찍습니다.
위치가 바뀜에 따라 속도도 변화 했습니다. 위 그림은 속도 벡터를 속도 좌표공간에서 표시한 것입니다. 벡터 v(t)는 P0 에서 P1 으로 움직이는 동안 방향도 바뀌고 크기도 바뀝니다. 따라서 이 움직임은 가속도가 있겠군요.
가속도
가속도는 시간에 따른 속도의 변화율 입니다. 속도를 미분하여 가속도를 얻습니다. 속도 벡터의 각 성분을 각각 미분하여 가속도를 구할 수 있으므로 가속도 역시 벡터 입니다. 위의 속도 벡터 그림에서 속도 변화가 직선 입니다(단어 뜻 그대로 "선형", Linear). 이는 가속도가 일정하다는 뜻이기도 합니다.
미분과 적분은 서로 역관계에 있다는 것을 알고 있습니다. 따라서 위치, 속도 그리고 가속도의 관계를 미분과 적분으로 관계를 표현하면 다음과 같습니다. 위치를 미분하면 속도를 얻을 수 있고, 속도를 다시한번 미분하면 가속도가 되므로, 위치 벡터를 두번 미분하면 가속도 벡터가 됩니다. 아래 그림을 보면 금방 눈에 들어올겁니다.
그렇다면, 가속도를 미분 하면 무었이 될까요. 가속도가 변화하는 그런 물리현상은 없는 것으로 합니다. 운동량 보존 법칙을 비롯해 고전역학의 운동은 모두 가속도가 일정한 "등가속도"의 조건하에 정의됩니다. "등가속도"운동이란 가속도의 변화가 없는 상수이므로 미분하면 0 입니다. 가속도가 "일정" 하려면, 속도를 미분한 것이 "상수"이어야 합니다. 이것을 속도 변화가 "선형적"이라고 하는 것입니다.
가속도가 일정하다는 조건을 미적분의 관계로 살펴보면 이렇게 표현 할 수 있습니다. 가속도 a(t)는 상수라 했으므로 변수 t는 의미 없습니다만 일관성을 위해 붙여 뒀습니다. 속도 역시 시간의 함수 입니다. 다만 미분해서 상수가 나와야 하므로 t의 1차식이 되어야 하겠지요. 1차식을 그래프로 그리면 직선 아니겠습니까. 그래서 속도변화가 "선형적"이어야 한다고 하죠. 가속도가 상수려면 위치 함수 r(t)의 최고차 항의 차수(제곱)은 2입니다. 시간 t의 2차함수 입니다.
그러고 보니 미적분의 기초를 배울 때 다항 함수의 최고차항을 n으로 두고 마치 미분을 여러번 할 수 있을 것 마냥 했습니다 만 정작 물리에서 사용 할 때는 2차 함수, 2차 미분에 그치는군요. 사실 2차방정식 이상은 잘 다루지 않습니다. 하다못해 근의 공식도 2차방정식 이상은 다루지도 않죠. 까짓거 2차 방정식 쯤이야 별거 아니니 자신감을 가져봐도 좋습니다. 따지고 보면 파동 방정식이니 상대론의 중력장 방정식이니 하는 것들도 겨우 2차 방정식입니다.
힘
위에서 위치와 속도 그리고 가속도를 정의해 봤습니다. 시간에 따라 변화하는 물리량들이므로 모두 시간의 함수 입니다. 그리고 공간상에 표현될 물리량이므로 벡터 입니다. 운동을 표현하는 도구를 배운 셈이니 이제 본격적으로 물리법칙을 다뤄 보기로 합니다.
힘(Force)이란 질량(mass)을 가진 물체를 움직이게 합니다. 통상적으로 "움직인다"는 것은 속도의 변화가 있다는 의미를 가집니다. 정지해 있던 물체가 움직였다거나, 움직이던 물체가 정지했다거나, 등속운동에서 변속운동으로 바뀌었다면 속도변화를 의미하며 이는 가속(acceleration, 또는 감속)되었다는 것으로 외부에서 힘이 가해졌다는 뜻으로 이해하기로 합니다. 물리에서는 힘을 질량과 가속도의 곱으로 정의합니다. 그리고 가속도는 속도의 미분이었죠.
위의 힘을 정의할 때 질량은 변화하지 않는 것으로 간주 했습니다. 하지만 움직이는 물체에서 질량이 항상 고정된 것은 아닙니다. 예를 들면, 로켓의 경우 내부 연료를 태우며 움직입니다. 시간이 지남에 따라 이동체의 무게가 변화 할 수도 있습니다.
운동량
질량과 속도의 곱을 운동량으로 정의 합니다. 운동량을 영어로 모멘텀(momentum) 이라고 하는데 영어 사전에서는 '탄력'이라고 해석이 달려 있기도 합니다. 현재 답보중인 어떤 현상이 변화하면 '탄력'을 받았다고 하지요. 힘을 주는 요인을 '탄력' 또는 모멘텀이라고 합니다. 등속운동에서 가속운동으로 변화 될 수 있는 요인, 즉 힘의 원인이 운동량의 변화 입니다.
힘과 운동량을 말할 때 항상 질량은 함께 곱합니다. 이는 속도 변화를 잃으키는데 질량이 역활을 하기 때문 입니다. 무거운 물체를 움직이려면 더 큰 힘이 드는 것은 당연 합니다. 시속 10키로 미터로 날아오는 1그램짜리 모래알에 부디치는 경우와 1키로그램의 돌맹이에 부디칠 때 받는 충격은 분명 다른 것입니다.
힘과 운동량의 관계
운동량으로 나타낸 힘의 관계는 다음과 같습니다. 힘을 운동량의 미분으로 표현한 것 뿐입니다. 이때 속도는 방향을 갖는 벡터 이지만 질량은 증감은 있을 지언정 공간적 방향을 갖지 않습니다.
고전역학에서 운동은 질량과 속도에서 시작 합니다. 질량과 속도의 곱을 운동량이라고 정의하며, 운동량을 미분하여 0이 아니면 힘을 받았기 때문입니다. 운동량의 변화는 곧 힘입니다.
속도가 일정한 운동, 관성의 법칙
앞서 힘을 표현하는데 굳이 운동량이라는 것을 정의하고 있다는 것에 뭔가 외워야 하는 것이 등장할 것만 같아 좀 피로감을 느꼈을지도 모릅니다. 속도와 가속도의 관계는 아주 밀접하긴 하지만 분리하여 보면 오히려 운동의 이해가 단순해지는 경우도 있기 때문 입니다. 그중 하나가 속도가 일정한 경우 입니다. 속도가 시간의 일차식이 아니라 상수라는 것이죠. 따라서 미분하면 가속도는 없는 경우 입니다.
등속운동을 하는 물체는 관성의 법칙이 적용된다고 합니다. "관성"을 배울 때 이렇게 이야기 하곤 합니다.
"움직이는 물체는 계속 움직이고 정지한 물체는 계속 정지하려 하는 성질"
정확히 말하면 '등속으로'라고 해주어야 합니다. 어짜피 정지한 물체는 속도가 0을 뜻하지만 '움직이는'에서 명확히 해둘 필요가 있습니다. 속도가 0인 경우를 포함해서, "등속으로 움직이는 물체는 계속 같은 속도로 움직이려 한다"고 해야 관성의 법칙을 정확하고 범용적으로 표현한 것이 되겠군요. 속도의 변화가 없으므로 미분하면 0 입니다. 따라서 관성을 법칙을 힘으로 표현 하면 다음과 같습니다. 힘이 작용하지 않는다는 뜻입니다.
아울러, 관성의 법칙이 적용되는 세계에서는 운동량이 보존된다고 합니다. 별도의 힘이 간여하지 않으므로 고유의 운동량은 시간이 지나도 변함이 없어야 한다는 것이 운동량 보존입니다. 등속운동에서 속도 변화가 없으니 운동량을 미분하면 0입니다. 따라서 운동량 벡터는 상수이어야 합니다.
힘을 0으로 놓고 정적분하면 적분 구간 시작점의 운동량과 끝점의 운동량이 같다는 것을 보여줌으로서 운동량 보존 법칙을 설명 할 수 있습니다. 운동량 보존은 관성의 법칙을 다른 말로 표현한 것이기도 합니다.
가속도가 일정한 운동
지구상의 모든 운동은 가속도가 일정한 운동으로 해석 됩니다. 앞서 위치, 속도 그리고 가속도의 관계를 미분과 적분으로 풀 수 있다고 했을 때, 사실 가속도를 미분하여 얻는 물리량은 정의되어 있지도 않았습니다.
가속도가 일정한 운동이란 가속도가 0이 아닌 상수라는 뜻입니다. 관성의 법칙(운동량 보존)을 적용할 때는 가속도가 0 이었다는 점과 비교됩니다. 아래 식은 비교를 위해 등가속도 운동의 오른편에 등속운동(관성계)을 함께 표시하였습니다.
위의 가속도 식을 적분하여 등가속 운동을 하는 물체의 속도를 구할 수 있습니다.
위의 수식 전개 과정에서 미분 연산자 (d/dt)를 마치 분수식 처럼 사용하고 있는 것을 볼 수 있습니다. 미분 기호를 다루는 법을 단순하게 이해해 보기로 합니다. 미분 연산자는 분수식처럼 곱하기 나누기를 할 수 있으나 변수처럼 취급하여 계산하지 말라는 것입니다. 그리고 미분 연산자에는 변수로 취급 할 기호를 명시하고 있기도 합니다. 예를 들어 분모에 dt라는 미분 연산자가 있다면 분자는 t의 함수, f(t)로 취급할 것이라는 뜻입니다. 아주 간단한 예로, 다음과 같은 미분식에서 함수 v(t)를 구하려고 합니다. 이때 a 는 상수 입니다.
마치 분수식인 것 처럼 다음과 같이 전개할 수 있습니다. 단, dt와 dv(t)의 'd'라는 기호는 미분 연산자 입니다. 마치 1+2 라는 수식에서 연산자(기호) + 를 없애려면 더해서 3이라는 값을 구하는 것과 같이 미분 연산자를 풀려면 적분해 주어야 합니다.
상수 a 는 적분 기호 밖으로 내보내도 됩니다. 상수 1을 적분하는 셈이죠. 그런데 오른편은 변수 t에 대하여 적분하는 것인데, 왼편은 함수 v(t)에 대하여 적분 하는 것이군요. 비록 함수로 나타내 지긴 했지만 v(t)도 t의 관계식 입니다. 결국 양변이 모두 t의 관계식입니다.
지금 구하고자 하는 것은 v(t) 입니다. 적분 구간을정하여 정적분 하면 v(t) 를 구할 수 있습니다. 우변의 경우 함수를 적분 변수로 하여 적분하는 것이 생소하면 치환하여 봅시다.
변수 t에 따라 v(t) 값이 변하므로 치환한 V를 변수로 보는 것입니다. 그러려면 반드시 v(t)는 적분 구간에서 연속이어야 합니다. 좌변의 적분 구간을 [0, t]로 잡고 이 구간 내에서 함수 v(t)의 적분 구간은 [v(0), v(t)]라고 놓을 수 있습니다. 그러면 위의 적분식은 정적분 가능 합니다. 그럼 적분 구간을 주고 양변을 정적분 합니다. 변수 t의 1차함수 이군요.
마침내 함수 v(t)를 구했습니다.
상수 1을 적분하는 것이 생소 하다구요? 미분하여 숫자 1이 나왔다면,
이미 알고 있는 적분 공식을 적용해 보는 겁니다.
상수를 적분 한다는 것은 t의 0차식 인 겁니다. 따라서, n=0이면 다음과 같죠.
해놓고 보니 그래도 미적분인데 어쩐지 좀 어이 없어보이긴 합니다. 하지만 방금 해본 것은 가장 간단하긴 하지만 미분 방벅식이란 것을 푼 것입니다. 미분 연산자가 포함된 방정식을 적분 하여 함수를 구하는 과정 입니다. 상대성이론의 장 방정식 풀이가 바로 이런 미분 방정식의 풀이죠. 물론 이것 보다는 훨씬 복잡하고 난해할 겁니다.
다시 운동 방정식으로 돌아가 봅시다. 운동은 힘에서 시작 했습니다. 질량이 있는 물체의 움직임을 다루는 중입니다.
미분 방정식을 푸는 과정에 집중 하기 위해 벡터의 성분 중 한개를 골라 보기로 합니다. 각 성분 마다 푸는 과정은 동일 하므로 성분의 첨자는 생략 합니다. 운동을 벡터가 아닌 모두 스칼라로 보겠다는 겁니다. 우리는 공간에 작용하는 힘을 다루고 있으며, 공간 성분이 공히 시간의 함수인데다 서로 직각인 좌표계를 상정한 고전 역학이기 때문에 이런 단순화가 가능 합니다. 시간과 공간이 엃혀 있다는 시공간에서 운동은 이렇게 단순화 시키지 못하고 방정식을 푸는 내내 벡터를 끌고 다니게 될 겁니다. 복잡할 것이라는 얘기입니다.
힘에 영향을 주는 요인은 질량과 가속도 입니다. 그렇다면 힘을 질량과 가속도를 변수로 갖는 함수 F(m,a) 라고 하면 될까요? 질량과 가속도의 곱으로 힘을 표현하는 것은 어떤 운동에 작용하는 힘을 값으로 계산하기 위한 것입니다. 특히 가속도는 변화하지 않습니다. 질량이 보존되는 운동을 다룰 때는 질량 조차 변하지 않는다고 가정합니다. 따라서 힘을 무엇의 함수라고 하지 않고 문제를 설정할 때마다 다르게 사용됩니다. 중력이나 전자기력을 다룰 때는 거리가 매우 중요한 요인이 되므로 거리의 함수로 표현 합니다. 고전적인 등속도, 등가속도 운동을 표현할 때는 시간당 움직임이 중요하므로 힘은 속도의 함수 이며, 변위의 함수이고 결국 가장 절대적인 변수는 시간입니다.
등가속도와 등속도 운동을 비교하여 설명해 봅시다. 등가속도 운동은 질량에 힘이 상시 작용합니다. 가속도가 0이아닌 상수 입니다. 이에 비해 등속 운동은 관성 법칙의 운동으로 힘이 작용하지 않습니다. 가속도는 0 입니다.
한차례의 미분 방정식 풀이로 시간의 함수인 속도를 구했습니다. 등속 운동은 시간이 지나도 같은 속도를 유지합니다. 관성의 법칙을 따릅니다.
위치를 구해 보기로 합니다. 위치는 시간에 대한 속도의 미분입니다.
미분 연산자를 양변에 나누고,
적분식을 세웁니다.
거리의 함수를 변수로 치환 하고 정적분 구간을 정합니다.
그리고 각 운동 방정식에 정적분식을 적용 합니다.
등속 운동의 속도 v(0)는 상수 입니다만 등가속도 운동의 속도는 시간의 일차함수 였습니다.
각각 정적분 합니다. 아주 간단한 적분입니다. 정적분 공식 기억해 보시죠.
마침내 시간의 함수로 나타낸 두 운동의 위치를 구했습니다.
운동의 방정식을 풀어 최종적으로 얻은 것은 위치를 기술한 함수 입니다. 이 위치 함수를 미분하면 속도와 가속도 그리고 힘을 계산 할 수 있습니다. 위치의 함수를 보면 그안에 운동의 모든 것이 담겨 있다는 것을 알게 됩니다. 힘으로부터 적분 과정을 통하여 얻어낸 것이니까 당연합니다.
위의 위치 함수에서, r(0)와 v(0)는 각각 초기(t=0일때) 위치와 속도를 나타냅니다. 함수에 값을 대입하여 얻은 것이므로 상수에 해당합니다. 만일 r(0) 원점으로 놓으면,
초기 속도가 정지해 있었다면,
당연하게도 등속운동하는 경우 이동은 없습니다. 하지만 등가속 운동의 경우 정지해 있었더라도 가속도가 존재하는 한 힘을 받게 되어 시간의 제곱으로 이동 거리가 늘어납니다. 지구상의 질량을 가진 물체에는 항상 지구라는 엄청난 무게의 질량 덩어리가 끌어당기는 중력이 작용 합니다. 순전히 질량이라는, 존재하는 것 만으로도 특별한 힘이 생기는데 이를 중력이라고 합니다. 중력도 당연히 힘인 까닭에 질량과 가속도의 곱으로 나타 냅니다. 이때 가속도를 "중력가속도"라고 합니다. 지구라는 거대한 질량이 만들어내는 중력 가속도를 측정해 보니 9.8 m/sec^2 되었다고 하는 군요. 중력 가속도는 어떻게 재나요? 진공에 질량이 있는 물체를 놓고 떨어진 거리와 시간을 재면 되겠지요.
그래서 중력 가속도를 측정해 봤더니 중력 가속도 상수 g 가 나온 겁니다. 수식과 단위가 일치한다는 점도 유념해 주세요. 수식으로는 가속도가 "시간 제곱 분의 거리"인데 측정 단위로는 "초 제곱분의 미터" 입니다.
중력 가속도에 의해 떨어진 거리 r(t)은 단지 시간과 중력 가속도 상수에 관련되어 있으며 떨어지는 물체의 질량과는 무관 합니다. 이를 증명하기 위해 이탈리아의 피사 지방에서 높은 탑에 올라가 무게가 다른 공 두개를 떨어뜨려 보았다는 이야기가 전해져 내려오는 것은 다들 아실 겁니다.
앞서 질량을 가진 물체가 등속 운동을 하는 경우와 등가속도 운동을 하는 경우를 따져 봤습니다. 관성의 법칙을 어기고 등가속도 운동을 하게 되었다면 이는 힘이 가해졌기 때문이라는 것도 알게되었습니다. 가해진 힘에 의해 위치변화가 발생 할 텐데, 이 위치변화 경로를 따라 힘이 가해진 양을 "일(work)"라고 합니다. 정지해 있는 돌덩어리가 있다고 합시다. 힘을 가해서 약간 움직였습니다. 움직인 거리와 들어간 힘의 곱으로 얼마만큼의 일(work)을 했는지 계량하는 것입니다.
일을 움직인 경로를 따라 소요된 힘의 총량으로 정의 하였습니다. 연속적인 총량을 구하는 수학적 방법은 적분입니다. 따라서 일은 구하는 방법은 다음과 같이 정의 합니다.
< 일>
"에너지(Energy)"는 "일을 할 수 있는 능력"이라고 정의합니다. 사실 "일(Work)"과 "에너지(Energy)"는 같습니다. 다만, 미묘한 의미차가 있는데 "저 일(work)을 하기위해 들어간 에너지(energy)"라는 표현을 잘 새겨 봅시다. 결국 일이나 에너지나 같은 물리량 입니다. 일은 정적분 하여 얻은 값으로 스칼라 입니다. 정적분의 결과는 누적된 값이므로 벡터가 아닙니다.
질량 m을 가진 물체가 연속적인 경로를 따라 힘들 들여 일을 했다고 합시다. 일을 시작할 시점의 속도를 재보니 v(0)였고 종점의 속도가 v(1) 이었다고 합시다. 이 물체가 미지의 경로를 따라 한 일을 구해 봅시다.
<그림> 구불구불 경로와 일
포텐셜 에너지(Potential Energy),
말 뜻 그대로 "잠재된" 에너지(일) 앞으로 할 일의 양이라고 하면 되겠습니다. 일의 양에 부호를 붙이는데, 해놓은 일에 양의 부호(+)를 할 일에는 음의 부호(-)를 붙이기로 합니다.
중력 에너지
포텐셜 에너지의 대표적인 것이 중력 에너지 입니다. 두 질량 사이에 끌어 당기는 힘을 말합니다. 질량을 가졌다는 것 만으로도 힘이 생기다니 참으로 신비한 힘이라 아니할 수 없습니다. 만유인력을 발견한 뉴턴도 이 중력이라는 신비한 힘의 원리를 이해하지는 못했다고 합니다. 사실 지금도 중력의 근원을 안다고 할 수는 없습니다. 상대론에서 중력이 어떻게 작동하는지, 중력을 어떻게 볼 것인지 제시했을 뿐 중력의 신비를 다 이해하고 있는 것은 아니랍니다. 어쨌든 만유인력 법칙에 따라 질량이 있는 두 물체 사이에 작용하는 힘은 다음과 같습니다.
에너지 보존법칙
에너지의 총량은 한일과 할일의 합이라고 볼 수 있습니다. 질량이 있는 물체를 들어 올려 놓기만 하면 이 물체는 힘을 보유한 셈입니다. 놓는 순간 힘을 소모하며 맹렬히 지구 중심을 향해 떨어 질텐데 이는 할일(중력 포텐셜 에너지)을 한일(운동 에너지)로 변환하는 중입니다.
시간차를 두고
포텐셜에너지
둘을 합치면,
시간이 흐른뒤 에너지는 보존되는 겁니다.
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그런데 은근 슬쩍 "연산자"라는 말을 마구 사용하고 있군요. "수식(expression)"은 수학이라는 언어에서 "문장(statement)"에 해당합니다. 문법에서 "절"에 해당하는데, 동사와 목적어 또는 보어가 있는 "명령문"입니다. 사람이 항상 사람이 기계 혹은 가상의 기계에게 내리는 문장이므로 "수식"에 주어는 없는게 아니라 생략됩니다. "연산자(operator)"는 동사에 해당하는 것으로 +,- 같은 가감산 기호이며 변수는 명사에 해당하는 것으로 보어(목적어)의 역활을 합니다. 연산의 대상이라는 의미로 "피 연산자(operand)"라고 합니다. 상수는 "고유명사"인 셈이겠군요.
연산자의 종류는 익히 알고 있던 가감승제(더하기,빼기,곱하기,나누기)산이 대표적이며, 제곱(제곱근) 연산자, 미분 연산자, 적분 연산자도 있습니다.
<그림> 연산자 y = x^2 + 5
다시 "가속도가 일정한 운동"에 대한 설명을 해봅시다. 질량 m울 가지고 있는 물체가 움직이고 있습니다. 시간의 변화에 따라 속도(벡터)가 다릅니다만 그 변화율이 일정합니다. 등가속도 운동이라고 합니다. 가속도가 상수라는 겁니다.
<그림>
등가속도 운동을 표현한 정의를 적분하면 시간의 함수인 이 물체의 속도를 구할 수 있습니다.
<그림>
속도를 적분하면 이 물체의 위치를 역시 시간의 함수로 구할 수 있습니다. 유념해야 할 것은, 가속도에서 속도를 구할 때 가속도를 상수 취급하였으나 속도는 상수가 아니라 시간의 함수라는 사실 입니다.
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