[커세라] 이과생을 위한 벡터 미적분
W1-11: 8강. 벡터 곱의 등가 연산공식(Vector Identities)
크로네커 델타와 레바이 시비타 기호의 정의를 이용하여 벡터의 스칼라 및 크로스 곱 공식을 만들어 낼 수 있다.
벡터 곱의 등가 연산공식(Vector Identities)이 필요했던 원인은,
- 벡터는 성분값과 방향을 갖는 추상적 객체다. 성분들 사이의 곱에 방향이 영향을 준다.
- 곱의 연산 결과에 스칼라만 나오는 곱과 벡터의 결과가 나오는 곱이 있다.
- 분배와 교환, 결합 법칙이 값만 다루는 일반 대수의 경우를 따르지 않는다.
다수의 벡터들을 연속해서 곱(스칼라 와/또는 크로스)한 경우 이 공식을 모두 외우기는 어렵다. 크로네커 델타와 레바이 시비타 기호의 정의를 활용하면 수월하게 등가식을 유도해 낼 수 있다.
단, 벡터곱 성분에 대해 곱의 모든 경우를 나열하여 더하려면 필기 소요가 너무 과하다. 다행히 아인슈타인 표기법을 활용한다. 벡터 대수에서 기호 첨자는 모두 총합기호(summation)을 생략한 아인슈타인 표기법 이라는 점을 상기해두자.
그중 몇가지 자주 활용되는 벡터곱 등가공식을 유도해 보기로 하자. 벡터 곱 도구들이다.
1. 벡터 곱의 결과를 예측해보자. 곱의 결과가 벡터인 경우 값과 방향도 고려되어야 한다.
2. 크로네커 델타와 리바이-시비타 기호의 정의는 스칼라곱과 벡터곱의 정의에 활용된다. 총합기호가 생략된 아인슈타인 표기법에 익숙해 지자. 색인이 보이면 총합기호가 붙는다.
a) 벡터 곱(Cross Product)을 정의할 때 리바이-시비타 기호 사용
벡터곱의 결과는 벡터다. 단위 벡터의 성분(값) 구하기
b) 스칼라 곱(Dot Product)을 정의할 때 크로네커 델타 기호 사용
3. 크로네커 델타와 리바이 시비타 기호는 색인을 굳이 따지면 값을 얻을 수 있다. 특히 아인슈타인 표기법에 따라 색인에 대해 총합을 구할 수 있다.
a) 반복된 색인의 경우, 색인의 갯수가 단순 하므로 총합을 적용한 값을 구한다.
b) 물론 반복되지 않는 색인에 대해서도 크로네커 델타와,
c) 리바이 시비타 기호가 값으로 정의되어 있으므로 값을 구할 수 있다.
* Index Reduction rule*
4. 벡터 곱 등가 공식 구하기 예제
a)
b)
* 강의중 크로네커 델타와 레바이 시비타를 언급하면서 '기호(symbol)' 와 '텐서(tensor)'를 혼용하여 부르고 있다. 주의해서 들어보자. 그리고 '텐서'에 대하여 익숙해지자.
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Q1.
Q2.
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