[1.1-1.9] 연습문제 풀이

[마구잡이 수학] [1.1-1.9] 연습문제 풀이

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(연습 1.1) "단위(unit)" 혹은 "차원(dimension)"

(a) 미터(Meter) : 단위
(b) 전력 (Power) : 차원
(c) 초 (Second) : 단위
(d) 에너지 (Energy): 차원
(e) 전하 (Charge): 차원
(f) 킬로그램 (Kilogram): 단위
(g) 힘 (Force): 차원

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(연습 1.2) 경제개념의 "차원"

경제개념에서 [금액]과 [시간]을 각 단위에 대한 차원을 표기한 것으로 하자. 다음과 같은 경제 개념의 차원을 [금액] 과 [시간]의 차원으로 나타내보자.

(a) 빚(debt)


"빚"은 빌린 돈의 총액이다. 따라서,


(b) 재정적자(budget deficit)


"재정"이란 연간 예산의 의미이다. 따라서,


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(연습 1.3) 플랑크상수 h의 차원을 구해보자

플랑크 상수는 양자역학의 기본상수 중 하나라고 한다. 이 상수의 물리적의미는 각자 알아보기로 하자. 한줄로 요약하면, 진동수(주파수)를 가진 전자기파는 고유의 "에너지"량을 가지고 있다.

그런데 진동수(주파수)는 정수다. 진동수가 한개 높아지면 이 전자기파의 에너지도 한 계단 높아진다. 이 한 계단의 높이가 플랑크 상수만큼이다. 한 계단(한 단계, 한 칸, quantum;양자;양이 한개씩 한개씩)은  쪼개지지 않는다. 주파수는 시간당 파동의 갯수를 의미하는 차원으로 1, 2, 3, ...이렇게 정수(계단)이며 1.1...., 2.11....., 3.0001.... 따위의 무한히 쪼개지는 연속적인(비탈)이 아니다. 그렇다면 모든것이 연속이어야 하는 미적분 수학이 아닌 뭔가 새로운 수학이 있어야 할 것 같은 생각이 든다. 그래서 양자역학에 다른 수학적 방법이 동원되는가보다. 어쨌든 플랑크 상수의 차원을 구해보자.
질량이 있는 물체가 속도의 변화(가속도)를 일으키게 한 후 얼마나 이동 했는지 계량 한 것이 바로 일(work)이다. 에너지(Energy)는 그만한 일을 할 수 있는 능력치다. 에너지와 일은 동일하게 힘(Force)과 거리(S, Displacement)의 곱으로 정의된다.
힘의 차원은,

이제 플랑크 상수의 차원을 구해보자.

정리하면,

실제로 미터법 단위의 플랑크 상수값은,

플랑크 상수는 각운동량(angular momentum)의 뜀(quantum, 계단높이)으로 해석할 수 있다(뭔 소리야? 이쯤 해두자. 조만간 다룰 것이다.) 


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(연습 1.4) 유량(flow)의 차원을 구해보자.

유량(flow)는 시간당 흐르는 유체의 체적(Volume) 이므로,

* 미분량은 차원에 포함된다.

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(연습 1.5) 속도 v 로 움직이는 물체가 반경 r의 원운동을 한다. 구심(또는 원심) 가속도의 차원을 구하라.

반경에 변화가 없고, 속도의 변화가 없어도 회전운동을 하는 경우 밖으로 쏠리는 신비함 힘이 생긴다. 바로 원심력이다. 물론, 질량을 가진 물체가 회전 운동을 하는 경우다. 이 "신비한" 원심력의 근원은 무엇인가? 뉴튼도 규명하지 못한 이 신비한 힘의 근원에 대한 의심이 상대론의 시작이다. "신비한" 원심 가속도 역시 선형 운동하는 가속도와 차원은 같다. 신비하든 아니든 "가속도"의 차원은 같아야 한다. 다만 그 가속도를 일으킨 원인이 다를 뿐이다.

원심 가속도는 반경 r 분의 속도 v의 제곱이다. 그런데 (거리) |r| 과 (속도) |v| 가 고정되어 있는데 가속도가 있다고? 도데체 이 가속도의 원인은 무엇인가? 바로 회전각도! 그런데 위의 식에 따르면 가속도 구할 때 각도의 고려 없이  r 과 v 만으로 계산하고 있다. 이상하지 않은가? 꼬리를 무슨 의심병이라니... 아무래도 이 신비한 힘을 해석하려면 이 각도를 참여시키는 해석법을 찾아봐야 겠다.

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(연습 1.6) 길거리로 나가보자. 20층 높이에서 떨어뜨린 동전이 지면에 충돌할 때 속도를 차원 해석 방법으로 구하라. 미분 방정식을 푼다거나 자유낙하 공식을 찾지말고 길거리 수학자가 되어 계산해 보자.

사건현장(?)부터 파악하자. 차원해석의 큰 잇점 이라면 주어진 값과 목표 값에 대한 차원을 모두 알고 있다는 것이다. 높이와 중력가속도의 차원을 잘 조합하여 속도의 차원을 구하면 된다.

길거리에서 암산하기 쉽게 중력 가속도 값을 10으로 근사했다. 대략 아파트의 층간 높이는 3미터다.

역시 길거리에서 암산으로 제곱근 구하기 쉽게 숫자를 6과 100의 곱으로 나눠 놓자. 100은 10의 제곱, 6은 대략 2의 제곱보다 크고 3의 제곱보다 작으므로 2.5로 잡자.

실제 미적분으로 풀어낸 충돌 속도는 다음과 같다. 처음에 정지해 있다가 자유낙하로 h 만큼 떨어진 물체의 속도다.

위의 자유낙하 속도는 초기조건이 정지 했었다는 것에 유의하자.

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(연습 1.7) 곡률반경이 2km(실제 철로의 표준반경)인 철로위를 고속(초당 60미터)으로 달리는 열차가 받는 원운동에 의한 구심 가속도는 중력 가속도에 비해 몇배가 될까?

먼저 차원해석을 해보자. 회전하며 생기는 "신비한" 힘의 원인인 원심가속도 역시 가속도다. 회전반경과 속도의 차원을 조합하여 가속도의 차원을 구해보자.

원심 가속도는 회전 반경 분에 속도의 제곱이다.

이렇게 생긴 원심 가속도는 중력가속도의 몇배에 해당하는가.

중력 가속도가 되었든, 원심 가속도가 되었든 모두 가속도다. 이것이 "등가의 원리"다. 질량으로 생긴 가속도나 운동으로 생긴 가속도나 다 똑같다. 장거리 우주여행을 하다보면 중력에 익숙한 지구인의 몸이 힘들어 한다. 무중력 상태에 오래 머물 수 없다. 동물은 몇달 정도 견딜 수 있다지만 식물은 무중력에서 어떨까?

가속도로 인공 중력을 만들어야 하는데 무작정 앞으로 내달릴 수 없으니 크게 원을 돌려 원심력으로 중력을 만들어낸다. 공상과학 영화에서 도넛 모양을 하는 회전체가 등장하는데 바로 인공 중력을 만드는 것이다.


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(연습 1.8) 수직으로 던진 공은 다시 제자리로 떨어진다. 던진 속도가 v(0)일 때 상승 정점의 높이는 얼마인가? 제자리로 떨어질 때 까지 걸리는 시간을 계산하라.

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(연습 1.9) 지면에서 각도로 쏘아올린 포탄의 운동을 기술하여 보자.

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쉽게 배우는 회로 해석(Circuit Analysis)이라고? 미적분 한번 풀고 가실께요~~

쉽게 배우는 회로 해석(Circuit Analysis)이라고? 미적분 한번 풀고 가실께요~~
(2015년 11월경 전자공작 카페에 썼던글. 부분적분의 예)

한해가.... 속절 없이 나이만 먹어 가네요. 나이는 숫자에 불과 하다지만 그래도 심난한 것은 어쩔 수 없습니다. 기왕이면 멋있게 늙을 수 없을까? 소싯적 "공대 오빠 똑똑하다~~"라는 찬사에 우쭐해 봤잖아요. 이젠 "아빠 멋지다~~" 라는 찬사를 들어보겠다고 책을 꺼냈습니다. 손쉽게 멋 있어지는 방법은 똑똑해 지는 겁니다.

무슨 과목을 해볼까? 기왕이면 좀 익숙한게 좋겠죠. "회로해석(Circuit Analysis)"이 적당 할 것 같습니다. 전자공작 취미에도 도움이 되겠고 해석이라 하니 어쩐지 있어보이기도 합니다. 회로라는 것이 저항, 컨덴서, 인덕더 같은 간단한 소자들의 조합일 뿐이고 겨우 전류와 전압 계산하는 것 아니겠어요? 게다가 책의 부제목에 "Hard stuff made easy" 라네요. 어려운 걸 쉽게 설명 했다니 안심 해 봅니다.



이 쉽다는 책의 첫 장에서 전류와 전압을 설명 합니다. 까짓거 전류 쯤이야! 하며 덤벼 보기로 합니다. 전류는 시간당 회로에 흐르는 전하량을 나타낸 것입니다.



전하량을 구하려면 전류를 적분해야 한다네요. 초장부터 미적분이라니 약간 겁나긴 하네요. 하지만 까짓거 간단한 미적분 기호일뿐인데 이해 못할 것도 없네요.



이제 배웠으니 연습문제를 풀어보겠습니다. 쉬운 책이라기에 펼쳐 들었더니 겨우 7쪽 부터 이런 문제가 나오네요. 전하량을 구하라는 문제인데 전류 식이 무려 지수함수와 삼각함수로 표현되어 있군요. 이걸 적분하라는데 쉽긴 뭐가 쉬워!



그렇다고 초장부터 집어치우면 않되 겠기에 풀어보기로 합니다. 다행히 해답(Solution)이 포함되어 있습니다. 해답을 대충 읽어보고 혼자 풀어 보기로 합니다. 그래야 내 것이 될테니까요.

[경고] 아래 내용은 의욕상실 및 혈압상승의 우려가 있음!

정적분을 구하려면 적분 기호를 없애는 방법을 찾으면 되겠습니다. 지수함수를 적분하면 그냥 지수함수가 되고 코사인 함수를 적분하면 사인 함수가 됩니다. 간단한 적분 공식인데 외워둡니다.



흔히 수학은 외우는게 아니고 이해하는 거라고 들 합니다 만 틀린 이야기 입니다. 기초 산수를 배울 때나 일일이 이해하고 증명해 보는 것이지 수학을 다룰 때는 기본 공식은 외워야 합니다. 실제로 구구단은 외웠지 이해하며 배우진 않잖아요. 특히 고등수학은 수 백년간 많은 수학자들에 의해 증명된 공식인데 그걸 일일이 이해하고 증명해 보일 수 있다면 좋지만 정력과 시간낭비 입니다. 기본공식은 외웁니다. 외우고 써먹다 보면 이해될 날이 올겁니다. 마치 어린아이가 말을 배울 때 자주 접하다 보면 익숙해 지듯이 수학의 공식도 외우고 자주 써먹다 보면 친해지죠. 외우기와 연습을 게을리 하면 수학 뿐만 아니라 국어, 영어도 못합니다.

위의 문제에서 적분 안에 두 t의 함수의 곱이 군요. 두개의 함수가 곱해진 경우 각각 함수로 풀어내야 합니다. 각 함수를 따로 적분하여 곱할 수 있겠지만 수학은 그리 만만 하지 않죠.



또한가지 외울 것이 있는데 "부분미적분"이라는 겁니다. 두가지 함수가 곱해진 경우 각각을 미적분해서 더해 줘야 하죠. 이 역시 간단한 공식 입니다.



위의 첫번째 공식은 부분 미분, 두번째 공식은 부분 적분(Integral-by-Partial) 공식 입니다. 적분 공식에서 f(t)g(t) 라는 항이 보이죠. 적분 기호가 없습니다. 적분 계산을 위해 원했던 것입니다. 그래서 q(t)를 아래와 같이 각각 f(t)와 g(t)의 미분 함수라고 정의해 봅시다. 함수에 ' 을 찍은 것은 미분 했다는 뜻이죠.



이렇게 정의한 f(t)와 g'(t)에 대해 각각 f'(t)와 g(t)를 구해 보면 다음과 같습니다. 앞서 외웠던 지수함수의 미적분, 삼각함수의 미적분 공식을 적용한 겁니다.



이를 부분적분 공식에 따라 q(t)에 대입하면 다음과 같습니다.



위식의 왼쪽 첫번째 항(1)은 공학용 계산기를 이용해서 값을 구할 수 있습니다.



그런데 두번째 항에 다시 지수함수와 코사인 함수가 곱해진 적분이 있네요. 이 적분항을 다시 풀어야 하는데 다행히 앞서 했던 부분 적분 공식을 그대로 적용 하기로 합니다. 계산 결과는 다음과 같습니다.



왼쪽 식의 첫번째 항은 역시 공학용 계산기로 값을 구할 수 있습니다. 값은 약 -0.0004 입니다. 두번째 항은 지수함수와 사인 함수의 곱으로 된 적분 항이군요. 이 결과식을 원식 q(t)에 대입하여 정리하면 다음과 같습니다.



q(t)에 대하여 정리하면,



약 2.4 미리 쿨롱 입니다.

날고기던 옛 시절을 추억하며 간단한(?) 정적분 계산 문제를 풀어 봤는데 혹시 이런 기분은 아니죠?






그렇다면, 죄송합니다...

1.2 뉴튼역학:자유낙하

[마구잡이 수학] 1.2 뉴튼역학:자유낙하

"차원"을 따져보는 일은 단지 논란을 피하기 위한 것 뿐만 아니라 올바른 답을 얻기 위해서도 매우 유용하다. "단위"와 "차원"의 이해를 넓혀보자. 다음은 무게를 가진 물체가 높은 곳에서 아무런 방해없이-공기저항도 없다- 떨어지는 '자유낙하(free fall)'에 관한 문제를 기술한 글이다.

"정지해 있던 공이 높이 h '미터'에서 낙하하여 초당 v '미터'의 속도로 지면에 추락 하였다. 이 공의 지면 충돌속도를 구하여라. 중력가속도는 초의 제곱분의 g '미터' 이며 공기저항은 무시한다."

문제의 기술에서 값 h, v, g와 "단위"를 따옴표 안에 나타내었다. 단위는 모두 미터 이다. "차원"을 무시하고 단지 "단위"만을 기술하는 것은 중대한 오류를 야기한다. 높이는 '미터'라는 단위이지만, 속도는 '시간 당 미터'로 차원으로 나타내어야 한다. 가속도 또한 '시간제곱 당 미터'로 표현되는 차원이다. 차원을 감안하지 않고 문제를 푸는 것은 마치 한 팔을 뒤로 묶고 전장에 나서는 것과 같다. 차원은 길거리에 나가 [마구잡이]로 수학을 써먹을 때 사용할 수 있는 중요한 도구중 하나다.

다시 문제로 돌아가 보자. 자유낙하 하는 물체의 운동이다. 어느 높이에서 질량을 가진 물체를 놓으면, 이 물체는 방해받지 않고 떨어진다. 이 자유낙하라는 사건이 벌어진 상황(원인)을 살펴보자.

(1) 떨어지는 원인은 중력이 끌어 당기기 때문이다. 중력가속도가 작용한다.
(2) 시간이 지나면 높이가 달라진다. 변위(높이)는 시간의 함수다. y(t)라 하자.
(3) 초기조건이 있다.

문제는 공이 지면에 닿는 순간 이 물체의 속도를 구하라는 것이다. 사건의 초기조건부터 따져보자. 초기조건이란 사건이 시작된 시간, 즉, 공을 놓는 순간을 t=0 으로 하였을 때 공의 상태를 말한다. 자유낙하의 초기조건은 다음과 같다.

(i) 공은 높이 y(0) = h에 있다.
(ii) 공은 정지해 있었으므로 속도는 v(0) = 0 이다.

공을 놓자마자 속도를 내며 떨어진다. 공의 움직임(현상)을 순간적으로 포착하여 운동을 파악(방정식을 얻는 것)하기로 한다. 순간적인 변화를 기술하는 방법은 이미 알고 있는 대로 미분이다.



순간적인 속도의 변화를 의미하는 것이므로 함수 f(t)에 시간에 대한 속도의 함수 v(t)를 적용해 보자.



d/dt 는 lim... 로 표현해 놓기 번거로우니 줄여서 표기한 것으로 미분기호(연산자)라 한다. 이것은 미분의 개념으로 운동의 순간적인 현상을 단지 기술한 것 뿐이다. 운동을 파악하기 위해서 방정식이 있어야 한다. 방정식의 의미를 잠시 짚어보고 가자.

[변수, 항등식, 방정식]

여기에 변수 x 가 있다. 이것은 그저 변수의 선언일 뿐이다. 변수의 속성에 맞는  무슨 값이든 대입할 수 있다.

다음은 항등식이다. 좌변과 우면이 완벽히 동일하다. 변수 x에 무슨 값을 넣든 좌우는 같다. 항상 같다. 그래서 항등식이다.

이제 방정식이다. 좌변과 우변이 다르다. 등호의 좌변에 어떤 연산(아래의 예에서는 3 곱하기)을 하였더니 우변과 같은 값이 나오는 관계를 나타낸 것이다. 등호를 만족 시킬 수 있는 변수 x 의 값은 유한하다. 1차 방정식 3x-2=0을 만족하는 변수 x는 단 한개다.

등호를 만족 시키는 변수 x 를 구하는 행위를 방정식을 풀어 해를 구한다고 한다. 곱셈과 나눗셈은 서로 역관계에 있는 연산이다. 나눗셈을 써서 방정식에서 곱셈의 조작(연산)을 풀어 내도록 하자.

결국 방정식의 해를 구했다.

이번에는 좀더 복잡한 2차 방정식을 보자.

이 방정식을 풀어 등호를 만족 시키는 변수 x를 구해보자. 이차 방정식을 만족하는 해는 최대 두개다. 이 방정식을 만족하는 값 x를 직접 구하기는 어렵다. 두개의 일차 방정식으로 묶어보자. 인수분해라는 것이다.

이차 방정식이 두개의 일차 방정식의 곱이 되었다. 일차 방정식이 성립하는 값 x를 구하자. 곱셈만 풀어주면 되는 일차방정식의 해를 구하기는 쉽다.

문제의 이차 방정식은 두개의 해를 갖는다.

방정식과 방정식 풀기 그리고 해의 개념을 이해했다.

다시 자유낙하 문제로 돌아가 보자. 속도를 알고 싶은데 방정식이 있어야 풀던 말던 해볼 것이 아닌가.



자유낙하 문제에서 중력 가속도가 g로 주어졌다. 가속도와 속도는 미분 관계에 있다. 고전역학에서는 운동의 끝은 등가속도다.



자유낙하 운동의 가속도는 중력가속도는 g 다. 이제 방정식을 세워보자.



가속도 값 g 에 음수 부호가 붙은 것은 지면으로 향하는 방향을 의미한다. 좌변의 속도에 어떤 조작(연산)을 가했더니 우변의 값이 나왔다는 것이다. 그 연산이 미분이다.

[미분방정식]

미분 연산이 포함된 방정식을 '미분방정식'이라 한다. 미분 방정식을 푸는 방법을 알아보자. 변수 t의 함수 F(t)와 f(t)가 서로 미분 관계에 있다고 하자.



미분 방정식을 푸는 방법은 적분이다. 구간이 정해지지 않은 일반식을 구할 것이므로 부정적분을 취한다. 부정적분은 적분 상수를 갖게되는데 유감스럽게도 미지의 상수다. 이 알려지지 않은 적분상수를 구하기 위해 초기조건을 대입하여 함수의 원형을 회복하는 것이다. 다항함수 방정식의 해 와는 달리 미분방정식을 풀면 함수(상수함수 포함)가 얻어진다.



순간속도를 표현한 미분방정식을 풀면 속도함수를 구할 수 있다. 부정적분으로 미분기호를 벗겨내 속도함수를 구해 보자.



부정적분으로 속도 함수 v(t)를 구하였으나 미지상수 C 가 포함되어 있다. 상수 C를 구해야 함수 v(t)를 완성할 수 있다. 자유낙하 운동의 초기조건에서 v(0)=0라는 것을 알고 있다. 위에서 부정적분으로 푼 함수 v(t)는 t=0일때도 성립해야 한다.



따라서 v(t)는 다음과 같다.



처음 문제에서 풀어야할 목표는 공이 지면에 충돌하는 순간의 속도를 구하는 것이다. 자유낙하 하는 공의 속도는 앞서 구한 대로 시간의 함수다. 공이 지면에 닿을 때까지 걸린 시간을 속도 함수 v(t)에 대입하면 충돌 속도가 된다.

이동한 거리를 알고 있다. 바로 높이 h 다. 그리고 속도의 함수도 구했다. 그렇다면 이동시간을 구할 수 있지 않을까?

                  시간 = 거리/속도

그런데, 공의 지면충돌 속도를 알기 위해 시간을 구하려고 속도의 함수를 활용 한다. 뭔가 이상하지 않은가?



이동거리를 이동시간으로 나눈 속도는 등속도 운동의 경우 이거나 가속도 운동인 경우라도 평군속도를 의미한다. 등가속도 운동인 자유낙하에 등속도의 개념을 적용하면 모순이다. 등속도운동 이라면서 시작속도와 충돌속도를 구분하는 것은 모순이다. 그리고 평균속도란 이동거리와 소요시간을 모두 알고 있을 때 계산하는 것이지 순간속도인 충돌속도를 의미하는 것이 아니다.

자유낙하는 등속운동이 아니다. 등가속도 운동 이다. 공이 지면으로 떨어지며 시시각각 속도가 변한다. 이는 이동거리가 시간의 함수라는 사실이다. 이를 y(t)라고 표현하자. 순간적인 높이 변화가 순간속도다. 시간에 대한 높이의 순간변화를 미분방정식으로 기술하고 이를 부정적분으로 풀어보자.

상황을 기술하고 그로부터 미분방정식을 세우며, 부정적분을 통해 거리함수를 구하는 과정은 속도함수를 구하는 과정과 동일 하다. 다만 대상이 속도에서 거리로 바뀌었다. 거리의 초기조건 y(0)=h 라는 점도 유의하자. 아울러 공이 지면에 충돌한 순간의 높이는 y(T)=0이다. 시간 T는 높이 h에서 지면까지 공이 등가속도 운동을 하며 이동했을 때 걸린 시간이다. 시간 T는 결국 문제에서 모두 알려진 h와 g로 나타낼 수 있게 되었다. 이제 T를 속도함수 v(t)에 대입하면 충돌 순간의 속도, 즉 충돌 속도를 구할 수 있다.



높이함수 y(t)의 그래프는 낙하운동의 특징을 한눈에 보여준다. 시작속도 v(0), 충돌속도 v(T), 순간속도 v(t) 그리고 평균 속도의 의미를 살펴보자.



결국 자유낙하 운동은 시간에 대한 높이 함수 y(t)로 모두 설명될 수 있다. 미적분으로 등가속도 자유낙하 운동의 속도, 위치를 설명 할 수 있게 되었다. 이 과정에서 초기조건, 충돌조건들이 활용 되었다는 점도 기억하자.



위에서 본 대로 자유낙하 운동은 결국 위치의 2차 미분 방정식이다. 사실 일반 상대론도 2차 미분방정식에 불과 하다는 것도 미리 밝혀둔다. 자유낙하의 미분 방정식은 다음과 같다.



이 미분 방정식을 풀기 위해 부정적분 하였다. 이때 초기조건의 활용에 유의하자. 움직이던 물체가 낙하할 수도 있다. 아래로 공을 던질 수도 있는 것 아닌가. 그렇다면 이때의 초기속도는 v(0)=0 이 아니다. 지상에서 대포를 쏘아올릴 수도 있다. 이때에도 포탄에 중력이 작용한다. 시간이 지나면 지면으로 떨어진다. 포탄과 자유낙하 하는 공의 운동은 모두 중력의 영향을 받는다. 단지 초기조건이 다를 뿐이다. 

미분 방정식으로 자유낙하하는 공의 운동을 분석해봤다. 특히 위치의 함수 y(t) 에서 지면 충돌 시간을 구하고 이를 다시 속도 v(t)에 적용할 때 제곱근을 다뤘다. 곱하기 나누기 그리고 제곱근을 취하는 수리적 규칙을 잘 알고 있더라도 수식을 다룰 때 주의하자.

[차원으로 기술한 자유낙하 문제]

"정지해 있던 공이 높이 h 에서 낙하하여 v 의 속도로 지면에 추락 하였다. 이 공의 지면 충돌 속도를 구하여라. 중력 가속도는 g 이며 공기저항은 무시한다."

각 변수 h, g, v에 각각 높이, 가속도, 속도와 같이 차원 만을 명시하고 있다. 이 차원들은 물리적 의미로부터 정의된 것이다. 이 차원의 해석으로 복잡하게 미분방정식을 풀지 않고도 문제의 답을 구할 수 있다. 동영상을 보자.



이 동영상은 미적분을 사용하지 않고 순전히 차원해석 만으로 자유낙하 하는 물체가 지면에 충돌 할 때까지 걸리는 시간을 구하는 문제를 풀고 있다.

차원해석의 첫단계는 사건이 일어난 상황을 파악하는 것이다. 지면에서 h 인 높이에서 공이 자유낙하 하는 사건이다.



두번째 단계는 사건에 연관된 물리량과 구하려는 목적을 명확히 한다. 공이 지면에 충돌하기까지 연관된 물리량들을 나열하면, 시간, 높이 그리고 중력 가속도다. 각각의 차원을 나열해 보자. 이 문제는 지면 충돌할 때까지 걸리는 시간을 구하려는 것이다.

끝으로, 알고있는 값들의 차원을 조합하고 대수적 기교를 부려 구하려는 값의 차원을 만들어 낸다. 결국 높이 h에서 자유낙하하여 지면에 충돌하기까지 걸린 시간 t는 다음과 같다.



이번에는 가속도 g 와 높이 h 의 차원을 조합하여 속도의 차원을 유도해 내보자.



차원 해석의 결과는 정확한 값은 아니며 실제적 근사치다. 미적분으로 구한 충돌시간, 충돌속도와 차원해석으로 구한 값을 비교해 보면 상수배 차이가 난다.



차원해석의 과정에서 이뤄지는 기교는 어디까지나 수학적 원리와 물리적 정의의 범위내에서 이뤄지는 것이며 조작 되어서는 않된다. 앞서 자유낙하 속도를 차원 해석으로 구할 때 g와 h 만을 이용하였다. 높이 h는 속도의 차원을 구하기 위한 시간의 차원을 포함하고 있지 않다. 가속도 g의 차원에는 시간의 제곱 차원을 포함하고 있다. 이로부터 속도의 차원을 얻기 위해 수학적으로 다소 복잡한 제곱근의 연산을 활용 하였다. 속도의 차원을 얻기 위한 좀더 수월한 방법은 가속도의 차원에서 시간의 제곱을 상쇄해 주는 방법도 생각해 볼 수 있다.



하지만 문제에서 주어지지 않은 시간을 직접 동원할 수 없다. 주어진 h와 g를 이용해 시간을 얻기위한 차원해석을 한번 더 거쳐야 한다. 결국 동일한 결과를 얻을 수 있긴 하지만 처음보다 복잡한 과정이 되었다.



[문제 1.5] 수직으로 던져올린 공

공을 수직으로 속도 v0로 던져 올렸다. 이 공이 다시 잡게될 때까지 걸리는 시간을 차원 해석 방법으로 구하라. 공기의 저항은 무시한다. 그리고 이 운동을 미분 방정식으로 풀어 정확한 시간을 구하라. 차원 해석의 방법으로 구했을 때와 차이가 난다면 그 이유는 무엇인지 설명 해보자.

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(연습 1.3) 플랑크 상수 h의 차원을 구해보자
(연습 1.4) 유량(flow)의 차원을 구해보자.
(연습 1.5) 속도 v 로 움직이는 물체가 반경 r의 원운동을 한다. 구심(또는 원심) 가속도의 차원을 구하라.
(연습 1.6) 길거리로 나가보자. 20층 높이에서 떨어뜨린 동전이 지면에 충돌할때 속도를 차원 해석 방법으로 구하라.
(연습 1.7) 곡률반경이 2km(실제 철로의 표준반경)인 철로위를 고속(초당 60미터)으로 달리는 열차가 받는 원운동에 의한 구심 가속도는 중력 가속도에 비해 몇배가 될까?
(연습 1.8) 수직으로 던진 공은 다시 제자리로 떨어진다. 던진 속도가 v(0)일 때 상승 정점의 높이는 얼마인가? 제자리로 떨어질 때 까지 걸리는 시간을 계산하라.
(연습 1.9) 지면에서 각도로 쏘아올린 포탄의 운동을 기술하여 보자.
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